Материалы сайта
Это интересно
Аксиоматика векторного пространства
§2. Следствие из аксиом векторного пространства Из аксиом I-X можно вывести целый ряд предложений. Теорема 2.1. Существует единственный нулевой вектор. Доказательство: Предложим, что существует два различных вектора [pic] и [pic] таких, что [pic] и [pic] для любого вектора [pic]. Положим [pic]. Тогда [pic] и [pic] (1) Положим теперь [pic]. Аналогично получим: [pic] и [pic] (2) Так как [pic] (по аксиоме II), то из (1) и (2) следует, что [pic]. Таким образом, векторное пространство содержит единственный вектор [pic], удовлетворяющий равенству [pic]. Теорема 2.2. Для любого вектора [pic] существует единственный противоположный вектор [pic]. Или: [pic] и [pic] Доказательство: Допустим, что [pic] и [pic] и [pic], т.е. существует [pic], имеющий два различных противоположных вектора [pic] и [pic]. [pic] и (1) [pic] (2) Тогда [pic] и [pic] (3) Левые части равенств (3) равны между собой. Действительно: [pic] (4) Из равенства (3) и (4) следует, что [pic]. Теорема 2.3. Для любых векторов [pic] и [pic] существует единственный вектор [pic], такой, что [pic]. Доказательство: I. Существование. Убедимся, что в качестве вектора [pic] можно будет выбрать вектор [pic]. В самом деле, [pic] Таким образом, для векторов [pic] и [pic] существует вектор [pic], удовлетворяющий равенству: [pic]. II. Единственность (от противного). Пусть [pic] и [pic] (1) Тогда: [pic] Отсюда [pic]. Получим противоречие с допущением. Таким образом, единственность вектора [pic] доказана. Определение 2.1. Вектор[pic], удовлетворяющий равенству [pic], называется разностью векторов [pic] и [pic], и обозначается через [pic]- [pic]. Таким образом [pic] Теорема 2.3., как видно, вводит на множестве v новую операцию "–": [pic] называемую вычитанием, которая является обратной по отношению к операции сложения. Следствие 1. [pic] Теорема 2.4. [pic] Доказательство: [pic], т.к. [pic] - вектор, противоположный вектору [pic]. Тогда [pic] Ч.т.д. Теорема 2.5. [pic] Доказательство: Имеем: [pic]; [pic] Отсюда следует, что [pic]. Ч.т.д. Теорема 2.6. [pic]. Доказательство: Имеем: [pic] [pic] Отсюда следует, что [pic]. Теорема 2.7. [pic] Доказательство: Имеем: [pic] (по Теореме 2.6.) Отсюда следует, что [pic]. Следствие 2. [pic]. Теорема 2.8. [pic] или [pic]. Доказательство: Возможны два случая: I. [pic] и II. [pic]. I. Если [pic], то дизъюнкция [pic] или [pic] истинна и теорема доказана. II. Пусть [pic]. Тогда существует число [pic], отсюда имеем: [pic] (по условию Т. 2.5.) [pic], (по Т. 2.5.) [pic]. Таким образом, в случае II имеем, что [pic]. Итак, если [pic], то [pic] или [pic]. Теорема 2.9. [pic]. Доказательство: Для того, чтобы установить, что вектор [pic] является противоположным для вектора [pic], необходимо и достаточно проверить, выполняется ли следующее равенство: [pic], или все равно, что [pic]. Имеем: [pic] Таким образом [pic] или [pic]. И, следовательно, [pic]. Рассмотренные свойства операций над векторами аналогичны соответствующим свойствам арифметических операций над числом. Так, например, сумма конечного числа векторов, как и сумма в любой коммуникативной группе, не зависит ни от порядка слагаемых в этой сумме, ни от способа расстановки скобок: [pic] и т.д. Однако между векторной и числовой алгеброй существуют серьезные отличия. Одно из наиболее существенных отличий состоит в том, что множество векторов не является упорядоченным, т.е. для векторов нельзя ввести отношение «меньше» и «больше». Например для двух противоположных чисел [pic] и [pic] мы знаем, что [pic] и, что одно из этих двух чисел больше 0, а другое – меньше 0. Для векторов же, удовлетворяющих равенству [pic], постановка вопроса о том, какой из векторов [pic] или [pic] больше нулевого, а какой меньше нулевого, бессмысленна.