Материалы сайта
Это интересно
Аксиоматика векторного пространства
Глава 2 1. Некоторые векторные равенства Среди векторных соотношений можно выделить несколько важных соотношений, называемых здесь основными. Эти основные соотношения являются, образно выражаясь, ключами к решению широкого класса задач. I Основное соотношение. Во всяком треугольнике ЛВС выполняется равенство [pic] (I) Где М – центроид (точка пересечения медиан) треугольника АВС. Докажем соотношение (I). Пусть М – центроид треугольника АВС. Соединим точку М со всеми вершинами треугольника. Прямая МВ пересекает сторону АС треугольника АВС в точке О, являющейся серединой стороны АС. На прямой ВМ откладываем МЕ = ВМ и соединяем точку Е с вершинами А и С. очевидно, что АМСЕ –параллелограмм. Поэтому [pic]. Откуда [pic]. Так как [pic], то [pic]. Ч.т.д. Задача. Доказать, что если М – центроид треугольника АВС и О -произвольная точка пространства, то выполняется равенство [pic] (1) Доказательство: Запишем следующие векторные равенства: [pic] [pic] [pic] Сложив эти равенства по частям, получаем: [pic], откуда [pic] Доказанное равенство также следует отнести к основным векторным соотношениям, так как оно часто используется в решении многих задач. II Основное соотношения. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка D так, что АD : DС = m : n. Тогда имеет месть следующее соотношение: [pic] (II) Доказательство: Из треугольника АВС имеем: [pic] [pic] [pic]. Ч.т.д. Задача. Через середину Е медианы СС1 треугольника АВС проведена прямая АЕ, пересекающая сторону ВС в точке F. Вычислить АЕ : ЕF и СF : FВ. Решение. Введем векторы [pic] и [pic]. Пусть СF : FВ = m : n. Тогда по формуле (II) имеем: [pic] и [pic] (1) где 0 < х < 1. С другой стороны, учитывая, что Е – середина медианы СС1 получаем для АЕ следующее выражение: [pic] (2) В силу единственности разложения вектора по двум векторам из (1) и (2) получаем систему: [pic] (3) Разделив по частям первое уравнение системы (3) на второе, получаем, что m : n = 1 : 2, т.е. СF : FВ = 1 : 2. Сложив по частям уравнение системы (3), находим, что [pic], т.е. AE : EF = 3 : 4 III Основное соотношение. Если точки М и N делят отрезки АВ и CD соответственно в равных отношениях так, что AM : MB = CN : ND = m : n, то выполняется равенство. [pic] (III) Доказательство: Для доказательства равенства (III) мы воспользуемся формулой (II). Запишем, что отрезки АВ и CD могут произвольно располагаться относительно друг друга (например, они могут лежать на скрещивающихся прямых и на прямых, принадлежащих одной плоскости). Пусть О - произвольная точка, не принадлежащая ни отрезку АВ, ни отрезку CD. Соединим точку О с точками А, М, В, С, N и D и раcсмотрим векторы [pic] и [pic]. Имеем: [pic], [pic], [pic] Ч. т. д. Задача. На прямой m даны три точки Р, Q, R, а на прямой m1 -три точки P1, Q1, R1 причем [pic], [pic]. Доказать, что середины отрезков PP1, QQ1 и RR1 принадлежат одной прямой. Решение. Пусть М, N и К - середины отрезков РР1 QQ1 и RR1 соответственно. На основании (III) запишем следующие векторные равенства: [pic] (1) [pic] (2) Из (1) и (2) следует, что векторы [pic] и [pic] коллинеарные. А так как начало одного из них является концом другого, то точки М, N и К принадлежат одной прямой. IV Основное соотношение. Дан тетраэдр ABCD и в плоскости его грани ABC точка М. Доказать, что для разложения [pic] Выполняется равенство [pic] Доказательство: Допустим, что точка М лежит внутри треугольника ABC. Проведем через точки А и М прямую, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Пусть Е делит сторону ВС в отношении m : n, т.е. BE : EC = m : n. Тогда по формуле (II) [pic] Пусть далее точка М делит отрезок АЕ в отношении p : q, т.е. AM : ME = p:q. Тогда [pic] [pic]. Откуда [pic] Ч. т. д.