Материалы сайта
Это интересно
Аксиоматика векторного пространства
§4. Аксиоматика Евклидово-векторного пространства n-мерное векторное пространство называется евклидовым, если оно удовлетворяет дополнительной группе аксиом (называемыми аксиомами скалярного произведения). Эти аксиомы вводят в n-мерное векторное пространство новое понятие – понятие скалярного произведения двух векторов. Аксиомы: XII. Для любых двух векторов [pic] и [pic]существует единственное число (, называемое их скалярным произведением. Обозначение: [pic] - скалярное произведение векторов [pic] и [pic]. Таким образом, [pic] Аксиома XII утверждает по сути дела, существование отображения VxV(R, ставшего в соответствие каждой паре векторов единственное число из R. Это отображение называется скалярным умножением двух векторов. XIII. Скалярное умножение двух векторов коммутативно: [pic] [pic] XIV. Скалярное умножение ассоциативно относительно умножения вектора на число: [pic] XV. Скалярное умножение диструбутивно относительно сложения векторов: [pic] XVI. Для любого вектора [pic] и [pic] Примеры. 1. рассмотрим трехмерное пространство геометрических векторов. Под скалярным произведением двух векторов [pic] и [pic] будем понимать число [pic], где [pic][pic] и [pic] длины векторов [pic] и [pic]соответственно, а ( - угол между данными векторами. Нетрудно установить, что, определив скалярное произведение таким образом, мы удовлетворим всем аксиомам скалярного произведения двух векторов. Следовательно, трехмерное пространство геометрических векторов с введенным таким образом скалярным произведением является евклидовым. 2. Рассмотрим трехмерное пространство арифметических векторов. Под скалярным произведением векторов (x1;y1;z1) и (x2;y2;z2) будем понимать число [pic] легко можно проверить, что аксиомы скалярного произведения двух векторов будут удовлетворены. Следовательно, трехмерное пространство арифметических векторов (с введенным таким образом скалярным произведением) является евклидовым. 3. Рассмотренный пример можно обобщить на n-мерное пространство арифметических векторов, если скалярное произведение двух векторов [pic] и [pic]. Определить равенством [pic] (1) Таким образом, n-мерное пространство арифметических векторов с введенным равенством (1) скалярным произведением, является евклидовым.