Материалы сайта
Это интересно
Аксиоматика векторного пространства
§6. Аксиоматика точечно-векторного евклидова пространства §6.1. Метрические соотношения в треугольнике Теорема 18.5. (теорема косинусов для треугольника). Во всяком треугольнике [pic], [pic], [pic]. Доказательство: Рассмотрим векторное равенство [pic]. Возьмем скалярный квадрат: [pic], [pic], [pic]. Пусть [pic] - единичный вектор, отложенный от точка А на луче [АВ), [pic]- единичный вектор, отложенный от точки А на луче [АС). Тогда [pic]. Отсюда [pic], [pic]. Аналогично устанавливаются остальные две формулы теоремы косинусов для треугольника. Следствие. В треугольнике две стороны конгруэнтны тогда и только тогда, когда лежащие против них углы конгруэнтны. Доказательство: I. Пусть [pic]. Докажем, что [pic]. Имеем [pic]. II. Пусть [pic]. Докажем, что [pic]. Выполним следующие преобразования – [pic], [pic] [pic], [pic], [pic], [pic]. Докажем, что [pic]; то [pic]; [pic], но для треугольника [pic]. Таким образом, [pic]. Теорема 18.6. [pic], (1) [pic] (2) [pic] (3) Доказательство: Докажем равенство (1). Рассмотрим равенство: [pic]. Умножим его скалярно на [pic]: [pic], или так как [pic], то [pic], или [pic], это и есть равенство (1). Аналогично устанавливается остальные соотношения. Следствие 2. Если один из углов в треугольнике тупой, то два других острые. Доказательство: Пусть [pic] – прямой, то есть [pic]. Имеем: [pic], [pic]. Тогда: [pic] – острый, [pic] – острый. Следствие 3. В треугольнике более одного тупого угла быть не может. Доказательство: Пусть [pic] – тупой угол, то есть [pic]. Тогда [pic] – острый. Аналогично устанавливается, что [pic] – острый. Определение 18.6. Треугольник называется прямоугольным, если он имеет прямой угол. Теорема 18.7. (теорема Пифагора). Если в [pic] [pic] – прямой, то [pic]. Доказательство: Имеем: [pic]. Так как [pic] – прямой, то [pic]. Тогда [pic]. Теорема 18.8. (обратная теорема 18.7). Если в [pic] [pic], то этот треугольник прямоугольный. Доказательство получается в результате проведения предыдущих рассуждений в обратном порядке. Следствие 4. В прямоугольном треугольнике каждый катет меньше гипотенузы. Доказательство: Пусть [pic], тогда имеем: [pic], [pic]. Так как углы С и В острые, то [pic] и [pic]. Отсюда [pic] и [pic]. ----------------------- [pic] [pic] С В А