Материалы сайта
Это интересно
Аксиоматика векторного пространства
§3. Размерность Определение 3.1. Векторное пространство называется n-мерным, если в нем имеется n линейно независимых векторов, а всякие n+1 векторы линейно зависимы. Иначе говоря, размерность векторного пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Если максимальное число линейно независимых векторов равно 1, то векторное пространство называется одномерным, если это число равно 2,. То векторное пространство называется двумерным, и т.д. Векторное пространство, имеющее конечную размерность, называется конечномерным. Пространство, в котором существует сколь угодно линейно независимых векторов, называется бесконечномерным. Определение 3.2. Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства называется его базой. Теорема 3.1. Каждый вектор [pic] n-мерного векторного пространства можно представить, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации векторов базы. Доказательство: Пусть [pic] – произвольная база n-мерного векторного пространства. Так как любые n+1 векторы n-мерного векторного пространства линейно зависимы, то векторы [pic], линейно зависимы, т.е. нулевой вектор является нетривиальной линейной комбинацией векторов [pic]: [pic], где [pic] не все равны нулю. При этом [pic]. Если бы [pic], то тогда среди чисел [pic] хотя бы одно было отлично от нуля, а отсюда следует, что векторы [pic] линейно зависимы. Пусть например, [pic], тогда [pic]. Откуда следует линейная зависимость векторов [pic], что противоречит условию. Итак, [pic]. Если [pic], то [pic] Полученное представление вектора [pic] является искомым. Докажем, что оно единственно. Допустим, что возможны два представления вектора [pic] в виде линейной комбинации базы: [pic] и [pic]. Тогда [pic], отсюда [pic]. Так как векторы [pic] линейно независимы, то [pic] и, следовательно, [pic]. Ч.т.д. Примеры. 1. Определим размерность векторного пространства геометрических векторов трехмерного пространства. Докажем, что любые три вектора [pic] выходящие из одной точки О и не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми, а всякие четыре вектора линейно зависимы. В самом деле, векторы [pic] независимы, т.к. в противном случае один из них, например [pic], должен был бы линейно выражаться через два других. Однако равенство [pic]: вектор [pic] является диагональю параллелограмма, построенного на векторах [pic] и [pic]. Отсюда векторы [pic] и [pic] и [pic] – компланарны, что противоречит условию их выбора. Докажем теперь, что любые четыре вектора [pic] – линейно зависимы. Возможны следующие случаи. а) Векторы [pic] компланарны, тогда любая тройка векторов линейно зависима. Если система [pic] имеет подсистему линейно зависимых векторов, то эта система линейно зависима. б) Из четырех векторов существует три компланарных, а следовательно, три линейно зависимых вектора. Как и выше, вся система векторов будет линейно зависимой. в) Из четырех данных векторов никакие три не являются компланарными. В этом случае никакие три, а следовательно, и никакие два вектора из числа данных не являются линейно зависимыми. Пусть [pic]. Обозначим плоскость (OBC) через П1, а плоскость (AOD) через П2. (Такие плоскости существуют, так как пара векторов [pic] и [pic] и пара векторов [pic] и [pic] - пары линейно независимых векторов). Плоскости П1 и П2 имеют общую точку О. Тогда эти плоскости имеют общую прямую m, проходящую через эту точку О. В плоскости П2 построим параллелограмм OPDR с диагональю OD. Тогда [pic], где [pic]. Вектор [pic], лежащий в плоскости П1 является линейной комбинацией векторов [pic] и [pic]: [pic]. Тогда [pic], или [pic]. Отсюда, по теореме 5.1., векторы [pic] линейно независимы. Итак, множество геометрических векторов трехмерного евклидового пространства представляет собой трехмерное векторное пространство. 2. Пространство арифметических векторов длины n представляет собой n- мерное векторное пространство. Докажем это. Прежде всего, нетрудно установить существование n линейно независимых векторов. Возьмем векторы: [pic] и докажем, что они линейно независимы. В самом деле, если допустить, что эти векторы линейно зависимы, тогда на основании теоремы 5.1. хотя бы один из них есть линейная комбинация остальных. Пусть, например, [pic] есть линейная комбинация остальных: [pic] (1) тогда [pic]. Отсюда [pic] (2) Система (2) является несовместной. Следовательно, не существует такого выбора коэффициентов [pic], чтобы равенство (1) удовлетворялось. Таким образом, линейная независимость системы векторов [pic] доказана. Докажем теперь, что всякие n+1 арифметические вектора линейно зависимы. Пусть имеется система из n+1 векторов: [pic] Выясним, существуют ли числа [pic], не все равны нулю, такие, что [pic] (3) Равенство (3) эквивалентно системе: [pic] (4) Получим систему однородных уравнений, в которых число уравнений n, а число неизвестных m=n+1. Такая система всегда имеет ненулевое решение и, следовательно, система векторов [pic] является линейно зависимой. Контрпример. Рассмотрим совокупность всех непрерывных функций на сегменте [0; 1]. Нетрудно убедиться, что в данном случае мы имеем дело с векторным пространством над полем действительных чисел R. Пусть n – произвольное натуральное число. Положим: [pic] Докажем, что система векторов [pic] является линейно независимой. Запишем равенство. [pic]. Положив последовательно [pic], [pic] , получим [pic] Таким образом, равенство [pic] влечет за собой равенство [pic] Отсюда, векторы [pic] линейно независимы. Так как n – любое натуральное число, то, следовательно, векторное пространство всех непрерывных функций заданных на отрезке [0; 1] не имеет конечной системы линейно независимых векторов, для которых всякая система, содержащая на один больше векторов, была бы линейно зависима. Поэтому в этом пространстве нельзя ввести понятие конечной размерности. Такие пространства называются бесконечными. ----------------------- [pic]??????????"???–??/?????†???????????"???–??/?????†????–??/?????†???????? ???"???–??/?????†???–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–??/?? ???†???????????"???–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–??/??? ??†???????? [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]