Материалы сайта
Это интересно
Аксиоматика векторного пространства
§7. Элементы тригонометрии §7.1. Билинейная кососимметричная функция Определение 19.1. Если каждым двум векторам [pic] и [pic] ставится в соответствие каждое действительное число [pic] такое, что: 1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic]. то функция [pic] называется билинейной кососимметрической функцией. Теорема 19.1. Пусть [pic] и [pic]– произвольная база плоскости и [pic] – некоторое действительное число. Тогда существует одна и только одна кососимметрическая функция [pic] такая, что: [pic]. Доказательство: Пусть в заданном базисе два произвольных вектора [pic] и [pic] имеют разложения: [pic] [pic] Составим функцию [pic] (1) Нетрудно проверить, что [pic] билинейная кососимметрическая функция, причем, если [pic], то [pic]. Доказательства единственности. (методом от противного). Допустим, что существует билинейная кососимметрическая функция [pic], такая, что [pic]. Если [pic] – билинейная функция, то [pic] = [pic] = = [pic] = = [pic]. Учитывая, что [pic], получим [pic]. Аналогично [pic]. Кроме того, [pic]. Тогда [pic] По предположению [pic]. Поэтому: [pic] (2) Из (1) и (2) следует, что [pic]. Примечание. Из проведенного рассуждения видно, что какое бы число [pic] мы ни взяли и какую бы мы ни взяли базу векторов [pic] и [pic], существует единственная билинейная кососимметрическая функция [pic] такая, что [pic]. Это обстоятельство говорит, что с помощью кососимметрической функции нельзя отличить ортонормированную базу от прочих. На этот счет требуется специальное соглашение. Договоримся, если база ортонормированная, то будем полагать [pic]. Определение 19.2. Пусть [pic] – два произвольных единичных вектора. Значение билинейной кососимметрической функции [pic] при выбранном ортонормированном базисе [pic], [pic]и выполнении соглашения [pic] называется синусом угла между векторами [pic] и [pic]. Итак, [pic] В иной форме: [pic] Теорема 19.2. [pic]или [pic]. На основании определения 19.2. имеем: [pic]. Отсюда,[pic]. Докажем достаточность. Пусть [pic], где [pic]. Докажем, что [pic]. В силу определения 19.2. имеем: [pic] Теорема 19.3. [pic]. Доказательство: Пусть [pic] – единичные векторы и [pic]. Имеем: [pic], [pic] Тогда [pic] [pic] [pic].