Материалы сайта
Это интересно
Линейная Алгебра. Теория групп
Лекция 12 Расширения полей. Присоединение элементов большего поля. Если k - подполе поля K, то говорят также, что K - расширение поля k. Отметим, что при расширении сохраняется характеристика поля. В самом деле, поле k характеристики 0 содержит подполе изоморфное Q - полю рациональных чисел, а поле k характеристики p>0 - подполе изоморфное полю GF(p) - вычетов по модулю p. По определению расширения большее поле K содержит те же подполя и, следовательно, имеет ту же характеристику. Напомним, что векторным пространством над полем k называется такое множество X (векторов), для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на элемент поля (скаляр) со следующими свойствами: 1. Относительно сложения векторы образуют абелеву группу. 2. a(U+V) = aU+aV 3. (a+b)U = aU+bU 4. a(bU) = (ab)U 5. 1U =U. Очевидно, что поле K можно рассматривать как векторное пространство над k: сложение векторов интепретируется как сложение элементов поля K, а умножение на скаляр как умножение в том же поле (ведь каждый скаляр из k в то же время является элементом K). Свойства 1 - 5 вытекают из определения поля. Таким образом, все известные нам результаты, относящиеся к векторным пространствам, применимы к случаю расширения полей. В частности, можно говорить о размерности K над k. Это число называется степенью расширения и обозначается [K:k] . Если степень расширения конечна, то и само расширение называется конечным. Примеры. 1. Поле С комплексных чисел является расширением поля R вещественных чисел. Так как каждое комплексное число однозначно записывается в виде a+bi, то числа 1 и i образуют базис С над R и значит [C:R] = 2. 2. Рассмотрим поле R как расширение поля рациональных чисел Q. Покажем, что степень расширения бесконечна. Для этого достаточно для всякого n указать линейно независимую над Q систему [pic] вещественных чисел. Положим [pic], [pic], [pic],..., [pic]. Пусть для некоторых рациональных [pic] выполнено равенство: [pic]=0. Тогда многочлен с рациональными коэффициентами q = [pic] имеет корень x= [pic].Однако тот же корень имеет неприводимый многочлен [pic], который, следовательно, делит многочлен q. Это возможно только в том случае, когда многочлен q нулевой, чем и доказано наше утверждение. Теорема о степени составного расширения. Пусть поле F является расширением поля k, а K - расширение F. Тогда степень расширения [K:k] находится по формуле: [K:k] = [K:F] [F:k]. Доказательство. Пусть [pic] - базис K над F, а [pic] - базис F над k. Для всякого U [pic]K имеем: U = [pic], где [pic]. Но, [pic], где [pic] [pic]. Значит, всякий элемент поля K записывается в виде линейной комбинации над k элементов [pic]в количестве nm штук. Остается проверить их линейную независимость. Если [pic]=0, то поскольку[pic] линейно независимы над F, для всякого i= 1,...,n имеем[pic]= 0. Но[pic] линейно независимы над k и потому все[pic]. Расширение посредством присоединения элементов. Пусть дано поле k и элементы[pic], принадлежащие некоторому большему полю K. Наименьшее (по включению) подполе поля K, содержащее поле k и все элементы [pic] обозначается k([pic]) и называется расширением k посредством присоединения элементов[pic]. Если n=1, то расширение называется простым , а соответствующий элемент U называется порождающим элементом простого расширения. Примеры. 1. Если все[pic], то k([pic])=k. 2. Если k=R, U=a+bi[pic]C, причем b[pic]0, то простое расширение R(U) совпадает с С. В самом деле, R(U) содержит U и все вещественные числа. Но тогда i = 1/b(U-a) [pic]R(U), а значит и любое комплексное число p+qi[pic]R(U). 3. Поле Q([pic]) содержит множество X всех вещественных чисел, которые можно записать в виде a+b[pic], где a,b[pic]Q. Проверим, что X - поле и тем самым установим, что Q([pic]) =X. Напомним, что подмножество T поля k будет полем тогда и только тогда, когда a) T содержит 0 и 1. b) Вместе с любыми двумя элементами t и s T содержит их разность t-s. c) Вместе с любыми двумя элементами t и s [pic]0 T содержит их частное t/s. Условия a) и b) для X очевидно выполнены. Чтобы проверить c) надо”уничтожить иррациональность” в знаменателе дроби (a+b[pic])/(c+d[pic]). Из элементарной алгебры известно, что для этого достаточно числитель и знаменатель умножить на c-d[pic]. Итак, [Q([pic]):Q]=2 и базис составляют элементы 1 и[pic]. 4. Поле Q([pic]) содержит[pic]. Но тогда оно должно содержать также и[pic], а значит и все числа вида a+b[pic]+c[pic], где a,b,c[pic]Q. Отметим, что запись числа в такой форме однозначна поскольку мы уже убедились в линейной независимости чисел 1, [pic], [pic]над Q. Чтобы доказать, что все элементы поля уже построены, надо как и в предыдущем примере уничтожить иррациональность в знаменателе дроби (a+b[pic]+c[pic])/( d+e[pic]+f[pic]). Это можно проделать, используя тождество: [pic]-3xyz= (x+y+z)( [pic] -xy-xz-yz)=(x+y+z)S. Достаточно вэять x=d, y=e[pic], z=f[pic] и домножить числитель и знаменатель на S. Следовательно, [Q([pic]) :Q]=3 и базис составляют элементы1, [pic], [pic]. Анализируя приведенные примеры, мы видим, что строение простого расширения существенно зависит от алгебраической природы порождающего элемента. В связи с этим дадим следующее определение. Пусть k[pic]K и U[pic]K. Элемент U называется алгебраическим над k, если он является корнем полинома p[pic]k[x] положительной степени. В противном случае U называется трансцендентным элементом. Если p(U)=0 и p=qr, то либо q(U)=0, либо r(U)=0, поэтому найдется такой неприводимый многочлен s[pic]k[x], что s(U)=0. Если еще потребовать, чтобы s был унитарным, то он будет определен однозначно. Это будет многочлен наимеьшей степени, имеющий U своим корнем (минимальный многочлен алгебраического элемента U ). Степень минимального многочлена называется степенью числа U над полем k. Примеры. 1. Любое комплексное число z является корнем квадратного уравнения над R: [pic] =0. Таким образом все комплексные числа алгебраичны над R и степень их не превосходит 2. 2. [pic],[pic] - алгебраические элементы над Q. Они являются корнями неприводимых уравнений[pic] -3=0 и[pic] -2=0 соответственно, так что их степени - 2 и 3. 3. Можно доказать(весьма непросто!), что числа[pic] и е трансцендентны над полем Q. Строение простых алгебраических расширений. Теорема. Если U алгебраический над k элемент степени n, то [k(U):k]=n и в качестве базиса можно выбрать элементы 1, U, [pic]. Доказательство. Ясно, что U и все его степени входят в k(U). Пусть p[pic]k[x] - минимальный многочлен элемента U. Тогда[pic] =[pic]. Умножая обе части этого равенства на[pic], получаем, что при m[pic]n[pic] выражается над k в виде линейной комбинации меньших степеней U. В то же время элементы 1, U,..., [pic] линейно независимы над k, так как в противном случае U было бы корнем уравнения степени меньше n, что невозможно. Остается проверить что множество X={[pic] [pic]} является полем, для чего достаточно установить, что элемент x=1/[pic] Положим: q=[pic]. Так как степень этого многочлена меньше n, ОНД(p,q)=1. По основной теореме теории делимости для многочленов можно подобрать такие многочлены s и t над полем k, что sq+tp=1. Но тогда s(U)q(U)=1 и следовательно x= s(U) [pic] k. Пример. Пусть k=Q, U=[pic]. Тогда[pic], откуда[pic] =24. Значит U алгебраическое число, являющееся корнем уравнения p= [pic]+1=0. Решая это биквадратное уравнение определим все его корни: x=[pic]. Если бы многочлен p был приводим, он имел бы над Q делитель вида (x-a) или (x-a)(x-b) , где a,b некоторые из указанных выше корней. Однако непосредственная проверка показывает, что ни один из этих многочленов не имеет рациональных коэффициентов. Поэтому степень числа U равна 4 и базис в расширении составляют числа : 1, U=[pic],[pic] , [pic]. Вместо них в базис можно включить 1, [pic],[pic], [pic]. Отсюда вытекает, что Q([pic])=Q([pic]) и таким образом присоединение двух элементов[pic] и[pic] равносильно присоединению единственного элементa[pic]. Можно доказать, что всякое конечное расширение поля характеристики 0 является простым алгебраическим расширением и таким образом для его построения достаточно к исходному полю присоединить один единственный элемент.