Материалы сайта
Это интересно
Линейная Алгебра. Теория групп
Лекция№11 Характеристика поля; автоморфизм Фробениуса. Пусть k - произвольное поле, [pic] его единица. Рассмотрим отображение [pic], действующее по формуле t(n) = ne. Это отображение является гомоморфизмом колец. Пусть I [pic]Z его ядро. Возможны два случая: 1. I ={0}. В этом случае говорят, что характеристика поля k равна 0. Поскольку тогда при n [pic]0 элементы ne обратимы, t можно продолжить до инъективного отображения T: Q [pic]k, положив: T(n/m) = ne* [pic]. Значит k содержит подполе Im T [pic]. 2. I[pic]{0}. Тогда I = pZ и k содержит Im T[pic] в качестве подкольца. В этом случае говорят, что характеристика поля k равна p. Заметим, что число p обязательно простое, так как в противном случае Z/pZ содержит делители нуля. Итак, если char(k) =0, то k содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел Q, а если char(k) =p, то k содержит подполе, изоморфное конечному полю GF(p). Примеры. 1. Поля Q, R, C - очевидно имеют характеристику 0. 2. Поле, содержащее конечное число элементов, очевидно имеет положительную характеристику. Рассмотрим следующий пример. Пусть множество X содержит 4 элемента: 0, 1, a, b, которые складываются и перемножаются в соответствие со следующими таблицами: [pic] [pic] Нетрудно проверить, что относительно введенных операций X является полем, причем 0 - нейтральный элемент для операции сложения, а 1 - нейтральный элемент для умножения. Поскольку [pic] 2*x = x + x = 0, поле X имеет характеристику 2. Отметим, что (X,+) [pic], а [pic]. Поскольку поле X содержит 4 элемента, в наших обозначениях это - GF(4). 3. Приведем пример бесконечного поля положительной характеристики. Пусть k - произвольное поле. Построим новое поле k(x) - поле рациональных функций над k. По определению, элементами этого поля, то есть рациональными функциями, являются отношения многочленов ( то есть дроби) r = p/q, где p,q [pic]k[x], причем q [pic]0. Считается, что [pic], если[pic]. Отсюда следует, что [pic]: (dp)/(dq) = p/q так что дроби можно приводить к общему знаменателю, что дает возможность их складывать: p/q + u/v = (pv)/(qv) + (qu)/(qv) =(pv+qu)/qv. Умножение дробей определяется естественным образом: (p/q)*(u/v) = (pu)/(qv). Отметим, что k[x] [pic]k(x) - каждый многочлен p отождествляется с дробью p/1. Ясно, что эта конструкция действительно дает поле. Если в качестве k взять конечное поле GF(q) характеристики p, то мы придем к бесконечному полю GF(q)(x), которое также имеет характеристику p. Продолжение алгебраических тождеств в произвольные поля. Любое тождество A = B, где A и B целые алгебраические выражения ( то есть построенные из переменных с использованием только операций сложения, вычитания и умножения ) с целыми коэффициентами может быть перенесено в любое поле k, путем замены каждого целого z [pic] Z на соответствующий элемент t(z) [pic] k (см. начало лекции). В случае поля характеристики 0 такое перенесение возможно и для выражений с рациональными коэффициентами, так как t продолжается до отображения Q в k. Например, формула Тейлора для многочленов: [pic] имеет смысл в любом поле характеристики 0, но в поле положительной характеристики некоторые из факториалов, стоящих в знаменателе, могут обратиться в 0 и в таком виде формула не имеет смысла. Однако, если переписать ее в виде: [pic] она будет иметь смысл и в поле характеристики q, если каждое целое число s, входящее в нее, заменить на остаток [pic] от деления на q. Формула бинома Ньютона: [pic] имеет смысл в любом поле, поскольку биномиальные коэффициенты [pic] - целые числа. Лемма. Если p простое число, то p |[pic] при s=1,2,...,p-1. Действительно, [pic]=[pic] - целое число, так что каждый множитель знаменателя сокращается с некоторым множителем числителя. Так как s < p и p - простое, ОНД( p, s!) = 1 и потому в этом сокращении не участвует p, так что k = [pic][pic] Z и значит [pic]=pk при s > 0. Следствие. В поле k характеристики p имеет место формула: [pic]. В самом деле, все промежуточные слагаемые в формуле бинома входят с нулевыми коэффициентами: [pic]=0. Гомоморфизм Фробениуса. Пусть k - поле характеристики p. Рассмотрим отображение [pic][pic], действующее по формуле: Ф(a) = [pic]. Только что мы проверили, что Ф(a+b) = Ф(a)+Ф(b). Кроме того, очевидно, что Ф(ab) = Ф(a)Ф(b). Это означает, что Ф - гомоморфизм поля k в себя. Поскольку [pic]= 0 [pic]a = 0, Ф инъективен. Если поле k конечно отсюда следует, что Ф взаимно однозначно, то есть является изоморфизмом поля k с самим собой (автоморфизмом) . Ф называется автоморфизмом Фробениуса. Если k = GF(p), то поскольку [pic] - циклическая группа порядка ( p-1), для всякого [pic] [pic], то есть Ф(а) = а. Возвращаясь к случаю произвольного поля k характеристики p заметим, что так как уравнение [pic] в поле k имеет не более p корней, этими корнями будут в точности все элементы [pic], так что для элементов [pic] и не входящих в GF(p), Ф(а) [pic]а. Например, для рассмотренного выше поля GF(4) характеристики 2 (см. пример 2), имеем: Ф(0) = 0 ; Ф(1) = 1 ; Ф(а) = b ; Ф(b) = а. Если q любой многочлен над полем GF(p), k - некоторое поле характеристики p и [pic], то[pic]Ф([pic])) = Ф([pic]) , а потому, если [pic] - корень q, то Ф([pic]) также является его корнем, причем отличным от исходного, если [pic]. (Отметим очевидную аналогию с комплексным корнем многочлена с вещественными коэффициентами; здесь роль автоморфизма Ф играет комплексное сопряжение). Пример. Пусть q = [pic] - многочлен над полем GF(2), [pic] =а[pic]. Используя таблицы примера 3, легко проверить, что [pic]. Значит, Ф([pic]) = [pic] = b также будет корнем этого многочлена, причем не совпадающим с a. Это можно проверить «в лоб» или использовать формулы Виета: a + b = 1 и ab = 1. Замечание. В случае бесконечного поля положительной характеристики гомоморфизм Ф может не быть сюръективным. Например, для поля GF(p)(x), построенного в примере 3, гомоморфизм Ф, очевидно, действует по формуле: Ф(r(x)) = r([pic]) и потому элемент r = x не входит в его образ.