Материалы сайта
Это интересно
Линейная Алгебра. Теория групп
Лекция 13 Расширения полей. Формальное присоединение элементов. На прошлой лекции было показано, что исходное поле k можно расширить добавляя элементы из некоторого большего поля. В случае простого алгебраического расширения добавляется единственный элемент U, являющийся корнем некоторого неприводимого многочлена над k степени n. Это приводит к полю k(U), которое будет расширением степени n исходного поля k. Оказывается, что конструкцию присоединения можно провести “изнутри”, не выходя в большее поле K. Идея этого построения раскрывается в следующей теореме. Теорема. Пусть p[pic]k[x] - неприводимый многочлен над k, U - его корень в некотором большем поле K, (p) =pk[x] [pic]k[x] - главный идеал с образующим элементом p. Тогда k(U) [pic] k[x]/(p). Доказательство. Определим отображение [pic]:k[x] [pic] k(U) формулой [pic](q)=q(U). Поскольку каждый элемент V[pic]k(U) может быть записан в виде многочлена от U, [pic] сюръективно. По теореме о гомоморфизме k(U) [pic] k[x]/Ker[pic]. Остается доказать, что Ker[pic] = (p). Если q=pd, то q(U)=p(U)d(U) = 0 и таким образом (p) [pic] Ker[pic]. Обратно, если q(U) = 0 то поскольку p неприводим и p(U) = 0 , p | q и значит Ker[pic][pic] (p). Следствие. Если [pic] и[pic] корни одного неприводимого над k многочлена, то поля k([pic]) и k([pic]) изоморфны, причем при этом изоморфизме каждый элемент поля k отображается на себя. Замечание. Поле F = k[x]/(p), для своего построения не требует знания большего поля K, в котором лежит корень неприводимого многочлена p. Поле F содержит k. Рассмотрим естественный гомоморфизм t: k[x] [pic] F и определим элемент U поля F равенством U= t(x). Тогда, очевидно, p(U) =0 . Теперь только что доказанная теорема позволяет утверждать, что F[pic]k(U). Такой способ присоединения новых элементов к полю называется формальным. Отметим, что именно так было построено поле C комплексных чисел исходя из поля вещественных чисел R: мнимую единицу i мы присоединили, как корень (неприводимого над R) многочлена [pic]. Присоединение было формальным в вышеуказанном смысле, так как находясь в области вещественных чисел, мы не можем указать корень этого многочлена. Примеры. 1. Пусть k = Q, U =[pic]. Тогда p=[pic] имеет корни U, [pic]U, [pic]U, где [pic]- кубический корень из 1. Согласно только что сформулированному следствию, поля k=k(U) и k=k([pic]U) изоморфны, хотя они и состоят из элементов различной природы: все числа из поля k действительные, а для k это уже не так. 2. Рассмотрим k = GF(2) и неприводимый многочлен p=[pic] +x+1 над этим полем. Нам неизвестно никакое большее поле K, в котором следует искать корни этого многочлена. В соответствии с только что доказанной теоремой рассмотрим поле K=k[x]/(p). Всякий его элемент можно записать в виде a+bU, где a , b[pic]GF(2), причем [pic]+U+1 = 0 . Поле K поэтому содержит 4 элемента: 0 = 0+0U; 1=1+0U; U =0+1U; V = 1+1U. Поле K является расширением поля GF(2) и потому имеет характеристику 2. С учетом этого обстоятельства его элементы складываются очевидным образом. Что касается умножения, то (как и во всяком поле) (a+bU)(c+dU) = ac+(ad+bc)U+bd[pic]и остается воспользоваться равенством [pic]=U+1. Например, U(U+1) = [pic]+U =1 так что элементы U и U+1 взаимно обратны. Поле K обозначается GF(4). В нем многочлен p имеет корень U. Другим корнем p в том же поле будет V = U+1. Значит в поле GF(4) многочлен p раскладывается на множители первой степени: p = (x+U)(x+U+1). Поле разложения многочлена. Пусть p[pic]k[x] произвольный многочлен степени n. Разложим его в произведение неприводимых многочленов: p =[pic]. Присоединяя к k корень многочлена p построим новое поле[pic], в котором p = (x-a) [pic], где многочлены[pic] неприводимы над[pic]. Теперь присоединим к [pic]корень многочлена[pic] и так далее. В результате не более чем через n шагов мы придем к полю K в котором многочлен p распадается, то есть раскладывается в произведение многочленов первой степени: p=[pic] Определение. Построенное таким образом поле K называется полем разложения многочлена p. Это - наименьшее поле, содержащее k и все корни[pic] многочлена p: K = k([pic]). Примеры. 1. У нас уже появлялись поля разложения. Так мы видели,что Q([pic]) -поле разложения многочлена [pic]Q[x], Q([pic]) - поле разложения многочлена [pic]Q[x], GF(4) - поле разложения[pic]GF(2)[x]. 2. Построим поле разложения для p = [pic]Q[x]. Заметим, что поле[pic]=Q([pic]) таковым не является; в этом поле p =[pic] и второй множитель q неприводим даже над R, поскольку его дискриминант меньше нуля. Поле разложения K получится, если мы присоединим к полю [pic]один из корней уравнения q(x) = 0, то есть величину[pic], где [pic]- кубический корень из 1. Впрочем, поскольку[pic], достаточно присоединить[pic]. Первое расширение имеет базис 1, [pic],[pic]. Второе - 1, [pic]. По теореме о строении составного расширения, базис K над Q составляют элементы: 1, [pic],[pic],[pic],[pic],[pic] и [K:Q] =6. Заметим, что [pic] =[pic] K, хотя в отдельности ни i ни[pic] не входят в K. Замечание. Можно доказать ( мы этого делать не будем), что поле разложения данного многочлена определено однозначно с точностью до изоморфизма. Строение конечных полей. Теорема о количестве элементов конечного поля. Пусть K расширение конечного поля k степени n. Если k содержит q элементов, то K содержит[pic] элементов. Доказательство. Пусть [pic]- базис расширения. Любой элемент поля K однозначно записывается в виде:[pic], где[pic]k. Отсюда и вытекает наше утверждение. Следствие. Количество элементов конечного поля k характеристики p равно[pic]. В самом деле, k[pic]GF(p). Как нам известно, над полем GF(p) существуют неприводимые многочлены любой степени . Присоединяя ( формально) к GF(p) корень такого многочлена степени n, мы получим расширение K[pic]GF(p) степени n. Итак, имеем следующее утверждение. Теорема существования для конечных полей Для всякого натурального n и простого p существует конечное поле из [pic] элементов. Рассмотрим теперь многочлен t =[pic], где q =[pic] над полем GF(p). Пусть K какое либо поле, содержащее все корни этого многочлена, так что в K [pic]. Отметим, что среди элементов[pic] нет одинаковых. В самом деле, [pic] , так что ОНД(t, [pic]) = 1 и t не имеет кратных корней. Теорема. Множество T = {[pic]}[pic]K является полем из q элементов. Доказательство. Надо проверить, что[pic] и [pic] 1. [pic], Но[pic] . Значит, [pic] 2. [pic]. Следствие. Поле T из[pic] элементов является полем разложения многочлена [pic] над GF(p). Поскольку поле разложения многочлена определено однозначно с точностью до изоморфизма, мы вправе ввести для него специальное обозначение. Это поле называется полем Галуа в честь французского математика Эвариста Галуа и обозначается GF([pic]). Пусть теперь K любое поле из [pic] элементов. Как нам известно, группа K* - циклическая порядка q-1. Поэтому для любого[pic], а потому [pic] для всех без исключения элементов K. Таким образом всякий элемент x[pic]K удовлетворяет уравнению [pic]=0 и K[pic]GF(q). Поскольку они состоят из одинакового числа элементов, мы получаем: Теорема. Любое конечное поле изоморфно GF([pic]). Следствие. Всякий неприводимый над GF(p) многочлен s степени n является делителем многочлена d =[pic]. В самом деле, присоединяя к GF(p) корень многочлена s, мы получаем поле из[pic] элементов. Следовательно, этот корень содержится в GF([pic]) и неприводимый многочлен s делит d. Отметим, что после этого присоединения получается поле разложения многочлена s. Следствие. Поле разложения любого неприводимого многочлена s степени n над GF(p) получается в результате присоединения одного единственного корня этого многочлена и изоморфно GF([pic]). Многочлен s не имеет корней в полях GF([pic]) при l