Материалы сайта
Это интересно
Линейная Алгебра. Теория групп
Лекция№6 Коммутативные группы с конечным числом образующих. Часть вторая: классификация. Как было показано на предыдущей лекции, каждая г.к.о. G с n образующими задается (n [pic]m) матрицей [pic], причем эквивалентные матрицы определяют одинаковые группы. Будем называть прямоугольную матрицу А диагональной , если все ее элементы [pic]=0 при i [pic]j. Последовательно перечисляя ее диагональные элементы, будем записывать такую матрицу в виде: A=diag([pic]). Теорема о приведении матрицы к диагональному виду. Всякая целочисленная прямоугольная матрица А эквивалентна диагональной матрице diag([pic]), с положительными [pic], причем все числа [pic]- целые. Доказательство. Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А[pic]0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться h(A). Таким образом для любого ненулевого элемента [pic]этой матрицы [pic]. Лемма Существует матрица [pic]эквивалентная А, все элементы которой кратны ее главному элементу. Доказательство леммы. Выберем среди всех матриц эквивалентных А ту матрицу[pic] , у которой h([pic]) минимально. Покажем, что эта матрица удовлетворяет условию, указанному в лемме. Проведем доказательство от противного. Пусть [pic]- главный элемент этой матрицы так что [pic]. Допустим, что некоторый элемент[pic] этой матрицы не делится на [pic] нацело и придем к противоречию. Рассмотрим 3 случая. Пусть сначала p=i, то есть выбранные элементы расположены в одной строке. Разделим [pic]на [pic]с остатком: [pic], где [pic]. Вычитая из q-ого столбца j-ый с коэффициентом s, придем к эквивалентной матрице [pic], у которой h([pic])[pic]rr). Каждый элемент [pic] однозначно представляется в виде суммы: [pic] , где 0[pic][pic]<[pic] при i=1,2,...r и[pic] при i>r . Определение. Пусть G- абелева группа и [pic]- система ее подгрупп. G называется прямой суммой системы подгрупп, если каждый элемент [pic] однозначно представляется в виде суммы [pic], где [pic]. Это записывается следующим образом: [pic]. Таким образом, диагональный вид матрицы [pic] означает, что [pic], где количество слагаемых Z равно n-r . Очевидно, что слагаемые, отвечающие тривиальным группам (d=1) могут быть исключены из этой суммы. Примеры. 1. Очевидно, что [pic]. 2. Отметим, что если все подгруппы [pic] имеют конечные порядки [pic] , то порядок [pic] равен [pic]. 3. Подгруппа [pic][pic] состоит из элементов: [pic], а [pic]- из элементов [pic]. Поскольку [pic]+[pic]=[pic] и [pic]+[pic]=[pic], мы видим, что [pic][pic]. 4. В развитие предыдущего примера установим, что, если числа p и q взаимно просты, то[pic]. Используем основную теорему теории делимости: существуют целые x и y, такие что 1=xp+yq . Отсюда для любого n получаем, что n=nyq+nxp и значит [pic]. Остается заметить, что эти группы имеют одинаковые порядки. 5. Как было показано на предыдущей лекции, группа [pic] описывается матрицей [pic]. Приводя эту матрицу к диагональному виду, получаем эквивалентную матрицу [pic]. Следовательно, [pic]. В качестве образующих этих циклических подгрупп можно взять, например, элементы [pic] и [pic]. Подводя итог всему вышесказанному, можно утверждать, что всякая г.к.о. G является прямой суммой своих циклических подгрупп [pic], (1) где порядки [pic] конечных подгрупп удовлетворяют условию: числа [pic]- целые. Разложение (1) называется первым каноническим разложением группы G.