Материалы сайта
Это интересно
Линейная Алгебра. Теория групп
Лекция№7 Коммутативные группы с конечным числом образующих. Часть третья: следствия из классификации. Теорема о подгруппах группы [pic] Всякая подгруппа группы [pic] изоморфна [pic], причем [pic]. Доказательство. Мы знаем, что подгруппа G группы[pic]имеет не более чем n образующих и потому для нее можно записать первое каноническое разложение: [pic], где (m+k) [pic]n. Поскольку все элементы [pic] имеют бесконечный порядок, G не содержит конечных циклических подгрупп. Таким образом, k=0 и теорема доказана. Теорема о подгруппах конечной коммутативной группы. Для всякого числа m делящего порядок n конечной коммутативной группы G в ней найдется подгруппа H порядка m. Доказательство. Используем разложение G в прямую сумму циклических подгрупп : [pic] Имеем : n=[pic]. Поскольку m делит n, можно записать: m=[pic], где каждое [pic] делит [pic]. Пусть [pic]. Теперь достаточно положить: [pic]. Замечание. Вообще говоря, подгруппа H не единственна (в отличие от случая подгруппы циклической группы ). Например, если [pic], где число p простое, то каждый неединичный элемент [pic] имеет порядок p и значит входит в циклическую подгруппу порядка p. Две такие подгруппы либо совпадают, либо пересекаются только по нейтральному элементу. Значит G содержит в точности [pic] подгрупп порядка p. Теорема о порядках элементов конечных коммутативных групп Пусть G- конечная циклическая группа и [pic]- ее первое каноническое разложение, так что каждое [pic]делит [pic]. Тогда множество порядков всех элементов G совпадает с множеством всевозможных делителей числа [pic]. Доказательство. Поскольку все [pic]являются делителями [pic], [pic]=0 и потому [pic]G=0. С другой стороны, если q делит [pic], то [pic](а значит и G !) содержит элемент g порядка q. Следствие. Если число m взаимно просто с порядком n конечной коммутативной группы G, то mG=G. В самом деле, в этом случае для каждого прямого слагаемого [pic]группы G m[pic]=[pic]. Второе каноническое разложение Напомним, что если числа p и q взаимно просты, то [pic]. Поскольку любое натуральное n можно разложить в произведение простых множителей, [pic], где все простые [pic]попарно различны, имеем: [pic] . Используя разложение конечной абелевой группы в сумму циклических подгрупп, получаем отсюда, что всякая такая группа может быть представлена в виде суммы таких циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Объединим слагаемые, относящиеся к одному простому числу p в подгруппу [pic]. Определение. Подгруппа [pic]называется p-компонентой группы G. Группа G, порядок которой равен степени простого числа p называется p-примарной. Итак, всякая конечная абелева группа G раскладывается в прямую сумму p- компонент: [pic], где p-простое число, делящее порядок G, а всякая p- компонента, в свою очередь, в прямую сумму примарных циклических подгрупп: [pic]. Прямая сумма, стоящая в правой части этого равенства обозначается [pic], а выражение, стоящее в показателе степени p,- типом компоненты [pic]. Порядок [pic]равен [pic], где [pic]- количество 1 в показателе, [pic]- количество 2 и т.д. Таким образом компонента [pic] является примарной группой. Только что построенное разложение конечной абелевой группы называется вторым каноническим разложением. Пример. Пусть [pic]. Поскольку 12=[pic], 72=[pic], имеем: [pic]. Замечание. Если [pic] - две подгруппы примарной циклической группы и s[pic]t, то [pic]. Отсюда вытекает, что примарная циклическая группа не может быть разложена в прямую сумму своих подгрупп. Таким образом, второе каноническое разложение конечной абелевой группы - это представление ее в виде суммы наименьших (далее не разложимых) слагаемых. Для сравнения заметим, что первое каноническое разложение - это представление группы в виде суммы наибольших циклических слагаемых. Теорема единственности для разложения в сумму компонент. Компоненты [pic] конечной коммутативной группы G определены однозначно. Точнее, пусть [pic]- разложение порядка n группы G в произведение простых чисел, [pic]. Тогда [pic]. Доказательство. Из разложения [pic] мы видим, что [pic]=0. Если же (p,q)=1, то q [pic] = [pic]. Поскольку при j[pic]i [pic]делится на[pic], а [pic]=1, отсюда и следует утверждение теоремы. Теорема единственности определения типа примарной группы. Тип примарной группы определен однозначно. Точнее, если p-компонента [pic]группы G представлена в виде прямой суммы циклических подгрупп: [pic]=[pic], то [pic]. Доказательство. Пусть G=[pic]- разложение G в сумму p-компоненты и остальных компонент. Таким образом, (ord([pic]),p)=1 и потому [pic][pic]=[pic]. С другой стороны, [pic][pic]=[pic] при m>k (равно 0 в противном случае). Поэтому ord([pic][pic])=[pic]. Обозначая ord([pic])=N, получаем: ord([pic]G)=N[pic]. Отсюда: ord([pic]G)/ ord([pic]G)= [pic]откуда и следует утверждение теоремы. Замечание. Обращаем внимание на существенное отличие в формулировке свойства единственности в двух последних теоремах. В первой из них утверждается единственность каждой из подгрупп [pic] , тогда как во второй подгруппы, составляющие прямые слагаемые, определены, вообще говоря, неоднозначно, но их количество и порядок каждой из них находятся уже единственным образом. Количество неизоморфных конечных абелевых групп данного порядка. Обозначим через ab(n) количество попарно неизоморфных абелевых групп порядка n. Ввиду единственности разложения такой группы в сумму примарных компонент, разложению [pic] в произведение простых отвечает равенство ab(n)=ab([pic])ab([pic])...ab([pic]). Если p- любое простое число, и G- группа порядка [pic]и типа (1,1,...1,2,2,......k) то m=1+1+...+1+2+2+...+...+k. Каждому представлению числа m в виде суммы положительных целых слагаемых (причем порядок слагаемых не играет роли) отвечает определенный тип абелевой группы порядка [pic]. Такое представление числа m называется его разбиением и обозначается [pic]. Таким образом, поскольку тип группы определяется однозначно, ab([pic])=[pic]. Примеры. Составим прежде всего следующую табличку разбиений: |m | разбиения|[pic| | | |] | |1 |1 |1 | |2 |2;1+1 |2 | |3 |3;2+1;1+1+1 |3 | |4 |4;3+1;2+2;2+1+1;1+1+1+1 |5 | |5 |5;4+1;3+2;3+1+1;2+2+1;2+1+1+1;1+1+1+1+1 |7 | |6 |6;5+1;4+2;4+1+1;3+3;3+2+1;3+1+1+1;2+2+2;2+2+1+1;2+1+1+1+|11 | | |1;1+1+1+1+1+1 | | ab(16)= [pic]=5. Соответствующие абелевы группы порядка 16 следующие: [pic], [pic], [pic], [pic],[pic]. Первые канонические разложения для них имеют вид: [pic], [pic], [pic], [pic], [pic]. ab(72)=ab(8)*ab(9)= [pic]=6. Соответствующие группы суть: [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic]. Первые канонические разложения для них имеют вид: [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic]. В заключение приведем табличку количества Г(n) попарно неизоморфных групп и ab(n) абелевых групп данного порядка n. |n |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |11 |12 |13 |14 |15 | |Г(n) |1 |1 |2 |1 |2 |1 |5 |2 |2 |1 |5 |1 |2 |1 | |ab(n)|1 |1 |2 |1 |1 |1 |3 |2 |1 |1 |2 |1 |1 |1 |