Материалы сайта
Это интересно
Линейная Алгебра. Теория групп
Лекция 3 Изоморфизмы и гомоморфизмы Определение Пусть [pic] и [pic] две группы и [pic] некоторое отображение. [pic] называется изоморфизмом, а группы [pic] и [pic] - изоморфными (однотипными), если 1. [pic] - взаимно однозначно и 2. [pic]. Изоморфизм групп [pic] и [pic] обозначается символом [pic]. Если выполнено только условие 2. , то отображение [pic] называется гомоморфизмом (подобием). Примеры 1. Пусть группы [pic] и [pic] заданы таблицами умножения: [pic] [pic] и [pic] [pic] Отображение [pic] является изоморфизмом. ( При всяком изоморфизме просто меняются обозначения элементов. “Внутренняя структура” группы остается неизменной). 2. Пусть [pic]=Z (группа целых чисел с операцией сложения), [pic] - группа из предыдущего примера. Положим: [pic](2n)=p; [pic](2n+1)=q. Тогда [pic] - гомоморфизм. 3. Пусть H - нормальная подгруппа в G и G/H соответствующая факторгруппа. Напомним, что ее элементами являются всевозможные смежные классы x*H, где [pic]. Определим отображение [pic] формулой: [pic](x)=x*H. Поскольку смежные классы перемножаются по формуле (x*H)*(y*H)= (x*y)*H, отображение [pic] является гомоморфизмом. Оно называется естественным гомоморфизмом группы на факторгруппу. Простейшие свойства гомоморфизмов групп. Пусть [pic] - гомоморфизм. Тогда: 1. [pic] 2. [pic]. 3. Если [pic] -подгруппа, то [pic] -подгруппа в [pic]. 4. Если [pic] - (нормальная) подгруппа, то [pic] - (нормальная) подгруппа в [pic]. Доказательство 1. Пусть[pic] - любой элемент. Тогда [pic] и по признаку нейтрального элемента [pic]. 2. Имеем: [pic]. По признаку обратного элемента получаем: [pic]. 3. Применим признак подгруппы: [pic] 4. Пусть [pic] - подгруппа. [pic]- элементы из [pic], то есть [pic]и [pic] входят в К. Тогда [pic] и потому[pic]. Значит, [pic] - подгруппа [pic]. Пусть теперь К - нормальная подгруппа и [pic] - любой элемент. Тогда [pic] и значит[pic]. Аналогично, [pic]. Поскольку [pic], то и [pic], то есть подгруппа [pic] нормальна в [pic]. Замечание Образ нормальной подгруппы не всегда нормален. Из доказанной теоремы следует в частности, что для всякого гомоморфизма [pic] [pic] подгруппа в [pic]. Она называется образом гомоморфизма [pic] и обозначается Im [pic]. Точно также, [pic] - подгруппа в [pic], причем нормальная, поскольку тривиальная подгруппа {e} нормальна в любой группе. Она называется ядром гомоморфизма [pic] и обозначается Ker [pic]. Инъективные и сюръективные гомоморфизмы. Напомним, что отображение[pic] называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм [pic] cюръективен тогда и только тогда, когда Im [pic]. Критерий инъективности гомоморфизма групп Гомоморфизм групп [pic] инъективен тогда и только тогда, когда Ker [pic] ={[pic]}. Доказательство Поскольку [pic], [pic] и значит, если [pic] инъективно в ядре не может быть других элементов и таким образом Ker [pic] ={e}. Обратно, пусть ядро [pic] состоит только из нейтрального элемента и x и y - два таких элемента [pic], что [pic]. Тогда [pic] и значит [pic] и потому равно [pic] . Отсюда получаем x=y и [pic] инъективно. Следствие Если Ker [pic]= {e}, то [pic] изоморфно отображает [pic] на подгруппу Im [pic]. Теорема Кэли Всякая конечная группа порядка n изоморфна подгруппе группы перестановок из n элементов. Доказательство Пусть G={[pic]}- группа порядка n. Составим для нее таблицу Кэли. В i-ой строке этой таблицы выписаны элементы [pic], которые только порядком следования отличаются от первоначального набора элементов группы. Обозначим полученную перестановку [pic]. Определим отображение [pic] по формуле [pic]. Как нам известно, произведению элементов группы G отвечает композиция перестановок, то есть [pic] -гомоморфизм. Если[pic], то, в частности, [pic] и значит[pic]. Таким образом, Ker[pic] тривиально и[pic] определяет изоморфизм между G и подгруппой Im [pic] в [pic]. Теорема о гомоморфизме для групп Пусть [pic] сюръективный гомоморфизм. Тогда факторгруппа [pic] изоморфна [pic]. Если эти изоморфные группы отождествить, то [pic] превращается в естественный гомоморфизм [pic]. Доказательство Обозначим H=ker [pic]. Следующим образом определим отображение [pic]. Пусть С произвольный элемент [pic] то есть некоторый смежный класс группы [pic] по ее подгруппе H. Возьмем любой [pic]. Тогда [pic] не зависит от выбора элемента x. В самом деле, если [pic] любой другой элемент, то y=x*h, где [pic] и значит, [pic]. Положим: [pic]. Используя правило перемножения смежных классов, получаем: Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)= [pic] = Ф(x*H)[pic]Ф(y*H), то есть построенное отображение - гомоморфизм. Если [pic] любой элемент, то поскольку [pic] сюръективно, найдется такой [pic] , что [pic]. Но тогда Ф(x*H)=[pic]. Значит Ф - сюръективно. Если Ф(x*H)= [pic], то ф(x)= [pic], [pic] и потому x*H=H= [pic]. Это доказывает, что Ker Ф=е и значит Ф - инъективно и, следовательно, является изоморфизмом. Поскольку[pic](x)= Ф(x*H), мы видим, что если считать изоморфизм Ф тождественным отображением ( то есть отождествить[pic] и G/H), отображение [pic] совпадет с естественным гомоморфизмом, переводящим x в x*H. Следствие Всякий гомоморфизм [pic] определяет изоморфизм между факторгруппой [pic] и подгруппой Im [pic]. Примеры 1. Пусть [pic]={1, -1} с операцией умножения. Определим гомоморфизм [pic]), сопоставляя каждой четной перестановке число 1, а нечетной - число (-1). Тогда Ker [pic] - подгруппа четных перестановок. Очевидно, что при n>1 [pic] сюръективно. По теореме о гомоморфизме [pic] -нормальная подгруппа в [pic] и [pic]. 2. Отображение [pic](А)=det(A) является сюръективным гомоморфизмом группы GL(n,R) всех невырожденных матриц порядка n в группу [pic] не равных нулю чисел с операцией умножения. При этом Ker [pic]= SL(n,R) -подгруппа матриц с определителем 1. Значит эта подгруппа нормальна и GL(n,R) /SL(n,R) [pic].