Материалы сайта
Это интересно
Линейная Алгебра. Теория групп
Лекция 4 Циклические группы. Определение Группа G называется циклической, если все ее элементы являются степенями одного элемента . Этот элемент g называется образующим циклической группы G. Примеры циклических групп: 1. Группа Z целых чисел с операцией сложения. 2. Группа [pic] всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку [pic], группа является циклической и элемент g= [pic] -образующий . Мы видим, что циклические группы могут быть как конечными так и бесконечными. 3. Пусть (G,*) - произвольная группа и [pic]произвольный элемент. Множество [pic] [pic] является циклической группой с образующим элементом g . Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом g, а ее порядок - порядком элемента g. По теореме Лагранжа порядок элемента является делителем порядка группы. Отображение [pic] действующее по формуле: [pic], очевидно является гомоморфизмом и его образ совпадает с [pic]. Отображение [pic] сюръективно тогда и только тогда, когда группа G - циклическая и g ее образующий элемент. В этом случае будем называть [pic] стандартным гомоморфизмом для циклической группы G c выбранной образующей g . Применяя в этом случае теорему о гомоморфизме, мы получаем важное свойство циклических групп: всякая циклическая группа является гомоморфным образом группы Z . Поскольку [pic], всякая циклическая группа коммутативна и мы будем использовать аддитивную запись, так что n-ая степень g будет выглядеть как ng и называться n-кратным элемента g, а нейтральный элемент G мы будем называть нулем и обозначать 0. Условимся еще о следующем обозначении. Если F произвольная группа, записанная аддитивно, то nF будет обозначать подмножество, элементами которого являются n-кратные элементов из F. Если группа F коммутативна, то nF - подгруппа F поскольку n(x-y)=nx-ny. Теорема о подгруппах группы Z Если H -подгруппа группы Z , то H=nZ , где n - некоторое неотрицательное целое число и значит H - циклическая группа с образующим элементом n. Доказательство: Если H-тривиальная подгруппа, то теорема верна и n=0. Пусть H нетривиальна. В этом случае в H содержатся ненулевые числа и противоположные к ним, а значит и положительные целые. Обозначим наименьшее из них буквой n. Тогда [pic]. Если [pic] - любое число, то разделив m на n с остатком, получим: m=kn+r, причем [pic]. Но тогда r=m-kn [pic]и значит r=0. Поэтому H =nZ , что и требовалось. Замечание. Если k [pic]0 - любое целое, то отображение [pic] определенное формулой [pic] является изоморфизмом и отображает подгруппу [pic] на подгруппу [pic] , а значит определяет изоморфизм [pic]. Теорема о структуре циклических групп Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z . Всякая конечная циклическая группа порядка n изоморфна Z/nZ. Доказательство. Как было отмечено выше, всякая циклическая группа G изоморфна Z/H, где H - некоторая подгруппа Z. По предыдущей теореме H=nZ, где [pic]. Если n=0, G изоморфна Z и, следовательно, бесконечна. Если n>0, Z разбивается на n смежных классов: nZ, nZ+1, nZ+2, ..., nZ+(n-1) и потому факторгруппа Z/H имеет порядок n. В дальнейшем группу Z/nZ будем обозначать [pic]. В частности, [pic]. Отметим, что в наших обозначениях, [pic] [pic] - тривиальная группа. Элементами конечной группы [pic] по определению являются смежные классы: {nZ, nZ+1, ... , nZ+n-1}, которые обозначаются [pic] и называются вычетами по модулю n , а операция в [pic]- сложением по модулю n. Теорема о подгруппах группы [pic](n>0). Если H подгруппа группы [pic], то H= [pic] причем n делится на m нацело. Порядок H равен [pic] =d , и значит [pic]. Доказательство. Рассмотрим стандартный гомоморфизм [pic]. K=[pic] - подгруппа Z и значит K=mZ для некоторого целого m. Отсюда следует, что H= [pic]. При этом [pic] и потому n=dm где d - целое. По теореме о гомоморфизме [pic] . Из доказанных теорем следует, что всякая подгруппа циклической группы циклична. Мы видим также, что для каждого целого d, делящего порядок n конечной циклической группы имеется и притом ровно одна подгруппа порядка d, то есть для конечных циклических групп справедлива теорема обратная теореме Лагранжа. Дальнейшее изучение структуры циклических групп опирается на один результат о делимости целых чисел, который мы сейчас и изложим. Напомним, что для любых целых n и m определен их наибольший общий делитель d=(n,m). Если n [pic]0 и m [pic]0, то d - это наибольшее целое число на которое без остатка делятся n и m. (0,m)=(m,0)=m по определению. Числа, для которых (n,m)=1 называются взаимно простыми. Основная теорема теории делимости. Если числа n и m взаимно просты, то можно подобрать два таких целых x и y, что xn+ym=1. *Доказательство. Поскольку числа n и m ненулевые, nn+0m= [pic]>0. Значит среди чисел вида xn+ym есть положительные. Пусть s=xn+ym - наименьшее положительное число этого вида. Предположим, что s>1. Тогда s> (n,m) и потому либо n либо m (пусть n) не делится на s нацело. Значит n=ks+r, где 0< r0, то числа [pic] и [pic] взаимно просты и по доказанной теореме для подходящих x и y имеем:[pic] , откуда и следует сформулированный результат.* Теорема о порядках элементов конечных циклических групп. Пусть p[pic]0 любое целое. Вычет[pic] в группе [pic] имеет порядок v=n/(n,p). Доказательство. Пусть (n,p)=d. Поскольку p/d - целое число, имеем: [pic]=[pic]=[pic]=[pic], откуда следует, что порядок[pic] не превосходит v. С другой стороны, если порядок [pic] равен k, то k[pic]=[pic], то есть kp делится на n. По основной теореме теории делимости d=xn+yp и значит kd=kxn+ykp также делится на n. Но если k