Материалы сайта
Это интересно
Теория управления
17.Численное решение задачи управляемости. Объект управляем на I=[pic], если выполняется [pic][pic] [pic]. Если множнство [pic],[pic], [pic] таковы что аналитически невозможно получить значение опорной функции u Вычисление матрицы [pic] и интеграл, тогда задача решается с применением ЭВМ. На ЭВМ решается для конечного числа [pic]. Для этого сфера покрывается [pic]-сетью. В двумерном пространстве [pic]-сеть определяется углом [pic]. В трехмерном пространстве [pic]-сеть определяется двумя углами. Пусть [pic]некоторая [pic]-сеть некоторой единичной сферы S, где [pic]-конечное множество. Какой бы вектор [pic], найдется [pic], такой что [pic]. Пусть [pic]вычислимое приближенное значение [pic] в точках [pic]-сети. [pic], [pic]. Необходимо, чтобы [pic]- в этом случае говорим, что объект [pic]- управляем и при этом [pic]. Отсюда имеем следующее [pic]. Если [pic], то [pic]-объект E-управляем. Если [pic]<0, то [pic]<[pic]-объект не управляем. Если [pic], то в этом случае неопределенность. Выясним вопрос о погрешности.[pic]и [pic]-погрешность для вычисления опорной функций [pic]и [pic].[pic]- погрешность для вычисления [pic]. По условию Липшица [pic], [pic]. Используем эти формулы , получим следующие погрешности: [pic] - погрешность для вычисления [pic]-предполагается, что она интегрируема по Лебегу. [pic]-это вычисление интеграла [pic]. [pic]- погрешность для вычисления [pic]. [pic]-погрешность вычисления минимума функций. [pic], [pic]. [pic]+[pic]+[pic]+[pic]+[pic]+[pic]+[pic]+[pic] 18. Лемма о внутренней точке. Пусть А- квадратичная матрица размера nxn , V-произвольный вектор пр- ва[pic], отрезок I=[pic]. Тогда [pic], тогда и только тогда , когда векторы [pic]линейно независимы. Под интегралом- многозначное отображения, интеграл от многозначного отображения – тоже многозначное отображения. Доказательство : Обозначим F=[pic]. По свойствам опорной функции для того чтобы [pic]нужно, чтобы выполнялось условие [pic], [pic]. [pic][pic][pic]=[pic] =[pic][pic]= =[pic]=[pic][pic].Т.к. подынтегральная функция непрерывна и неотрицательна, то условие [pic], [pic] выполняется тогда и только тогда, когда [pic] на интервале I . Покажем, что для этого необходимо и достаточно, чтобы векторы [pic]были лин. независимы. Необходимость: (доказательство от противного) [pic] эквивалентно [pic], [pic]-лин.независимы .Предположим, что векторы [pic] лин. зависимы. Для 3-х векторов : [pic]; [pic]- лежат в одной плоскости, [pic][pic]; [pic]. Тоже самое для n- векторов: [pic][pic], [pic][pic][pic]Пришли к противоречию, необходимость доказана. Достаточность: (от противного) Если векторы линейно независимы, то [pic] такой, что [pic][pic], [pic]. Продифференцируем [pic]n-1 раз:0= [pic].Отсюда следует: [pic], где [pic]- невырожденная матрица, [pic] -не нулевой вектор и [pic], а это означает, что векторы [pic] лин.зависимы .Получили противоречие. [pic]перпендикуярен [pic]. 19. Локальная управляемость. Теорема о локальной управляемости.. Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) [pic], x- n-мерный вектор, [pic], A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и [pic], [pic].Задано [pic], u: I[pic][pic] и полагается, что u(t) измеримо и [pic]- где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью из многозначного отображения U (2) u(t)[pic]U(t)- ограничения на управления . В фазовом пространстве [pic]заданы два не пустых множества[pic][pic]. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн- ва [pic] в конечное множество [pic], если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4) [pic]и [pic]. Цель управления- перевод динамический объекта из [pic]в [pic], а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества [pic]в [pic]за наименьшее время.[pic] (4). Предположим, что [pic][pic], а мн-во [pic]-произвольные точки [pic]из окрестности [pic][pic]. Сделаем линейную замену:[pic],где [pic]-функции, получим [pic], [pic], где [pic],[pic], поэтому вместо точки [pic]можно рассматривать т.0 и будем говорить о локальной управляемости в т.0. Т.е. если объект локально управляем в т.0, то он локально управляем в любой точки [pic]. Определение: Объект наз. локально управляем в т. [pic]=0 на отр.I , если [pic] объект явл. Управляемым на отр.I из т.[pic]. Для решения задачи применим теорему об управляемости, но для конкретной местности. Исходя из теоремы об управляемости, объект явл. управляемым из [pic]в [pic] на I , если [pic][pic]>=0. 20. Теорема о локальной управляемости. (дает достаточное условие локальной управляемости) Если [pic]вектор [pic] и выполняются два условия: 1)[pic], [pic]; 2) [pic]-лин. независимы, тогда объект явл. локально управляем в точке x=0 на отр. I. Доказательство: В силу определения локальной управляемости выполняется условие [pic][pic]. [pic], получим (1) [pic][pic]. Покажем, что [pic], такое , что выполняется (1) [pic]и [pic]. По предположению теоремы 1) выполняется [pic], получим [pic][pic]. Сделаем оценку для левой части неравенства. Оценим интеграл: [pic][pic][pic][pic][pic], т.к. [pic] и выполняется 2) , то 0 явл. внутренней точкой интеграла:[pic], а это означает, что опорная функция >0, [pic]. Из свойств опорной функции следует, что опорная функция непрерывна по [pic]. Если опорная функция непрерывна, >0, и S –компактное, это означает, что [pic], такое что , [pic], [pic]. Т.о. оценили левую часть неравенства (1), покажем , что для правой части , которая зависит от [pic], по этому [pic]можно найти [pic]. Покажем , что [pic]. Оценим [pic] , отсюда имеем [pic][pic]. [pic][pic],[pic], а это значит , [pic]объект локально управляем в точке x=0. 21. Теорема о существовании оптимального управления. Если объект является управляемым из множества [pic] на отр. [pic], то существует [pic][pic] переводящее объект из [pic] за время [pic]- оптимально управляем. Рассмотрим [pic] -множество всех допустимых управлений, переводящих объект из [pic]. Т.к. объект является управляемым , то [pic]. Обозначим через [pic]попадания фазового вектора [pic]на множестве [pic], т.е. [pic]. Следовательно за меньшее [pic]невозможно перейти. Докажем, что [pic], переводящее объект из [pic]за [pic], при этом [pic]считается фиксированым. Т.к. [pic], то [pic]последовательность [pic]перехода, сходящаяся к [pic]. [pic] удовлетворяет мн-во достижимости [pic](пустое мн-во). Пусть для [pic][pic]. Т.к. множество [pic]замкнуто и ограничено, то из [pic]можно выбрать подпоследовательность [pic]. Пусть дано [pic]. Т.к. [pic]сходящаяся к[pic]. Т.о. [pic]. Множество [pic]непрерывно по аргументу [pic], т.е. начиная с какого-то номера [pic] [pic]. [pic]. Т.к. [pic] произвольная, а мн-во [pic]компактно, то [pic]. Т.к. [pic]и [pic], то это обозначает, что [pic] (пустое мн-во) и это означает, что [pic], переводящее объект из [pic]за [pic]. И т.к. [pic], то [pic]- оптимальное управление. Теорема док-на.