Материалы сайта
Это интересно
Теория управления
22. Принцип максимума Понтрягина на языке опорных функций. Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) [pic], x- n-мерный вектор, [pic], [pic].Задано [pic], u: I[pic][pic] и полагается, что u(t) измеримо и [pic]- где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I . В фазовом пространстве [pic]заданы два не пустых множества[pic][pic]. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-ва [pic] в конечное множество [pic], если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям [pic]и [pic]. Цель управления- перевод динамический объекта из [pic]в [pic], а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества [pic]в [pic]за наименьшее время. [pic](4). [pic], где [pic]-ненулевая вектор-функция. [pic], [pic]. Если [pic]- оптимальное управление, переводящее [pic], то [pic]. Для нашей задачи [pic]: [pic]. [pic]удовлетворяет принципу максимума Понтрягина на [pic], если существует не нулевая вектор -функция. [pic], удовлетворяющая системе [pic]с нач. условием [pic], такая что выполняется условие: 1) [pic]-здесь достигается максимум. 2)[pic]; 3)[pic]. Теорема о необходимых условиях оптимальности. Если в линейной задаче быстродействия мн-ва [pic]выпуклы, [pic]-оптимальное управление, переводящее [pic]на отр. [pic], а [pic]-соответствующая траектория, то пара [pic]удовлетворяет принципу максимума Понтрягина. 23. Применение необходимых условий оптимальности(схема и пояснения к ней). Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) [pic], x- n-мерный вектор, [pic], A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и [pic], [pic].Задано [pic], u: I[pic][pic] и полагается, что u(t) измеримо и [pic]- где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью из многозначного отображения U u(t)[pic]U(t) - ограничения на управления . В фазовом пространстве [pic]заданы два не пустых множества [pic][pic], [pic]- выпуклы. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-ва [pic] в конечное множество [pic], если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям [pic]и [pic]. Цель управления- перевод динамический объекта из [pic]в [pic], а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества [pic]в [pic]за наименьшее время.[pic]. Пусть [pic]оптимальное управление, [pic]-соответствующая траектория, переводящая [pic]за время I . И [pic]- ненулевая функция, такая что [pic](2). 1)[pic](3); 2)[pic](4); 3)[pic](5) Найти [pic]: [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] 24. Достаточное условие оптимальности. ( Вначале написать вопрос «Применение необходимых условий оптимальности(схема и пояснения к ней») Для линейной задачи существует дост. условие. Для этого необходимо выполнение дополнительных условий: усиление условия трансверсальности 4) решение [pic]удовлетворяет усиленному условию трансверсальности на [pic]на отр.[pic], если для [pic](6). Достаточное условие: если [pic]допустимое управление, [pic]- соответствующая траектория, переводящая [pic]за время I и пара [pic]удовлетворяет принципу максимума Понтрягина (2-5) и усиленному условию трансверсальности (6), то [pic]- оптимальное управление. Следствие из теоремы достаточного условия трансверсальности. Используем локальную управляемость: [pic].Если [pic]некоторое допустимое управление, а [pic]- соответствующее решение (1), переводящее [pic] за время I, удовлетворяет принципу максимума Понтрягина и объект явл. локально управляемым в т.0 на любом отр.[pic], то управление [pic]- оптимально. 25. Единственность оптимального управления для линейной задачи. ( В начале написать вопрос «Применение необходимых условий оптимальности(схема и пояснения к ней)») При решении с использованием принципа максимума Понтрягина в пунктах 3,4 нарушается единственность. При выборе [pic]из условия 4 и выборе [pic] из условия (3). Пусть задана [pic]и сопряженная функция [pic]удовлетворяющая системе (2), если опорная функция[pic]является дифференцируемой по [pic] в точке [pic], т.е. в этой точке существует градиент функции [pic]и для почти всех [pic] дифференцируемая по [pic], то соответствующая пара [pic], удовлетворяющая принципу максимума Понтрягина, является единственной. Следствие: Если мн-во [pic]и [pic] строго выпуклы для почти всех t , принадлежащих I, тогда для любого начального значения [pic], соответствующая пара [pic], удовлетворяющая принципу максимума Понтрягина, является единственной.