Материалы сайта
Это интересно
Теория управления
13. Теоремы 1, 2 о других видах многозначных отображений. F-многозначное отображение, такое что F: I[pic][pic], где [pic] , [pic]- замкнутое, ограниченное, не пустое, компактное множество. Интегралом от многозначного отображения на отрезке I называется множество G (G[pic]) вида: [pic]. Это мн-во значений интеграла по всем однозначным ветвям отображения F(t) . Теорема 1: Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: [pic], где k(t)- скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда G является не пустым, компактным множеством в пространстве [pic], [pic]и выпукло. Теорема 2 : Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: [pic], где k(t)- скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда опорная функция [pic]. 14. Линейная задача быстродействия. Определение абс. непрерывной функции. Теорема Каратеодори. Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) [pic], x- n-мерный вектор, [pic], A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и [pic], [pic].Задано [pic], u: I[pic][pic] и полагается, что u(t) измеримо и [pic]- где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью (2) u(t)[pic]U(t) - ограничения на управления . В фазовом пространстве [pic]заданы два не пустых множества [pic][pic]. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-ва [pic] в конечное множество [pic], если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4) [pic]и [pic]. Цель управления- перевод динамический объекта из [pic]в [pic], а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества [pic]в [pic]за наименьшее время.[pic] (4). Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений: [pic], [pic], где u известное . Решение задачи Коши записывается в виде: [pic], оно справедливо, если u- непрерывная. Вычислим [pic](это следует из [pic][pic]). Определение: Функцию x(t) наз. абсолютно непрерывной на отр. I, если ее производная существует для почти всех t, принадлежащих I, интегрируемая по Лебегу производная [pic]и выполняется условие: [pic]. Если имеем измеримое допустимое управление u(t), то решение системы (1) также можно определить с помощью формулы Коши, но в этом случае x(t) не будет непрерывно дифференцируема, а будет абсолютно непрерывной. Теорема Каратеородори: Если функция u(t) интегрируемая по Лебегу на отр. I, то для любого начального значения [pic]существует и при том единое абс. непрерывное решение задачи Коши, которая задается формулой Коши. 15. Множество достижимости и его свойства. Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) [pic], x- n-мерный вектор, [pic], A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и [pic], [pic].Задано [pic], u: I[pic][pic] и полагается, что u(t) измеримо и [pic]- где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью (2) u(t)[pic]U(t)- ограничения на управления . В фазовом пространстве [pic]заданы два не пустых множества[pic][pic]. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-ва [pic] в конечное множество [pic], если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4) [pic]и [pic]. Цель управления- перевод динамический объекта из [pic] в [pic], а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества [pic] в [pic]за наименьшее время. [pic] (4). Введем понятия мн-ва достижимости: [pic]-это множество все точек фазового пространства [pic], в котором можно перейти на отр.[pic] из начального множества [pic]по решениям (1) при всех допустимых значениях управления u(t) в момент времени [pic]. Рассмотрим свойства множества достижимости: 1) Используем формулу Коши:[pic] [pic], [pic]-интеграл от многозначного отображения. Доказательство непосредственно подставлением в уравн (1). 2) Множество достижимости является не пустым, компактным подмножеством пр- ва [pic]. [pic][pic]. Доказательство следует из формулы Коши и 1-ой теоремы для интеграла многозначных отображений. 3) Если начальное множество [pic]выпукло, то множество достижимости [pic]также выпукло. Доказательство следует из формулы [pic] и теоремы о выпуклости интеграла от многозначного отображения. 4) Опорная функция множества достижимости имеет вид: [pic], u(s)=U. Доказательство следует из формулы [pic], свойств (3), (4) опорных функций , теоремы 2 и того факта, что [pic]. Доказательство: [pic][pic] [pic][pic]. 5) Мн-во достижимости: [pic]: I[pic][pic]непрерывно зависит от аргумента [pic]. Множество достижимости имеет вид : [pic][pic][pic]-непрерывна по теореме 3, матрица [pic]также непрерывна по [pic], следовательно линейное отображение непрерывная функция. Пример: Найти мн-во достижимости для управляемого объекта, описываемого уравнением:[pic][pic]. [pic] , [pic]и [pic], I[pic][pic]. [pic],[pic], [pic], [pic], [pic], [pic][pic]. [pic], [pic]. 16. Общая задача управляемости. Теорема об управляемости. Рассмотрим вопрос: «Оптимален ли объект?» Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) [pic], x- n-мерный вектор, [pic], A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и [pic], [pic].Задано [pic], u: I[pic][pic] и полагается, что u(t) измеримо и [pic]- где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью из многозначного отображения U (2) u(t)[pic]U(t)- ограничения на управления . В фазовом пространстве [pic]заданы два не пустых множества[pic][pic]. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн- ва [pic] в конечное множество [pic], если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4) [pic]и [pic]. Цель управления- перевод динамический объекта из [pic]в [pic], а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества [pic]в [pic]за наименьшее время.[pic] (4). Задача управления- решение вопроса : существует хотя бы одно допустимое управление u(t) , переводящий динамический объекта из [pic]в [pic], на отр. времени I. Это соответствует решению краевой задачи: [pic], [pic]. Определим [pic][pic]таким образом. Теорема об уравляемости.Если [pic]и [pic]выпуклы, то объект явл. управляемым на отр. I из мн-ва [pic] в [pic], тогда и только тогда, когда для [pic] Док-во: Очевидно, объект управляем тогда и только тогда, когда множество достижимости и [pic] пересекаются. Т.к. [pic]и [pic] выпуклы, то для него применим следствие из 11 св-ва опорных фун-ий ([pic][pic]). [pic],[pic]; [pic] [pic] [pic]; Bocпользуемся еще одним св-ом опрных функий: если [pic]- невырожденная матрица, то можно воспользоваться св-вом , что [pic]: [pic][pic] [pic]. В силу положительной опорной фун-ии относительно аргумента [pic] , получаем, что это верно [pic]. Теорема док-на, т.к. левая часть неравенства и есть [pic].