Материалы сайта
Это интересно
Численные методы
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МЕТОДОМ ГАУССА С ВЫБОРОМ ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА. Одновременно с решением системы линейных алгебраических уравнений [pic] можно вычислить определитель матрицы А. Пусть в процессе исключения найдено распожение [pic] т.е. построены матрицы L и U . Тогда [pic] и, таким образом, произведение диагональных елементов матрицы L (ведущих, главных елементов метода исключения) равно определителю матрицы РА. Поскольку матрицы РА и А отличаются только перестановкой строк, определитель матрицы РА может отличаться от определителей матрицы А только знаком. А именно, [pic] Таким образом, для вычисления определителя необходимо знать, сколько перестановок было осуществлено в процессе сключения. Если матрица А выроджена, то при использовании метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу на некотором шаге исключения К все элементы которого столбца, находящиеся ниже главной диагонали и на ней, окажутся равными нулю.При этом дальнейшее исключение становится невозможным и программа должна выдать информацию о том, что определитель матрицы равен нулю. ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ. Нахождение матрицы, обратной матрице А , еквивалентно решению матричного уравнения [pic] (1) где Е - единичная матрица, X - искомая квадратная матрица. Уравнение (1) можно записать в виде системы [pic] уравнений [pic] (2) где [pic] Можно заметить, что система (2) распадается на m независимых систем уравнений с одной и той же матрицей А , но с различными правыми частями. Эти системы имеют вид ( фиксируем j ) : [pic] (3) где [pic] у вектора - столбца [pic] равна единице j-та компонента и равны нулю остальные компоненты. Например, для матрицы второго порядка система (2) распадается на две независимые системы: [pic] Для решения систем (3) используется метод Гаусса ( обычный или с выбором главного элемента). Рассмотрим применение метода Гаусса без выбора главного элемента. Поскольку все системы (3) имеют одну и ту же матрицу А , достаточно один раз совершить прямой ход метода Гаусса, т.е. получить разложение A=LU и запомнить матрицы L i U . Обратный ход осуществляется путем решения систем уравнений [pic] с треугольными матрицами L и U. При осуществлении обратного хода можно сократить число действий, принимая во внимание специальный вид правых частей системы (4). Запишем подробнее первые j-1 уравнений системы (4): [pic] Учитывая невырожденность матрицы L ( т.е. [pic] отсюда получаем [pic] При этом оставшиеся уравнения системы (4) имеют вид [pic] Отсюда последовательно находятся неизвестные [pic] по формулам: [pic] Можно показать, что общее число действий умножения и деления, необходимое для обращения матрицы указанным способом, порядка [pic]. Тем самым обращение матрицы требует не намного больше времени, чем решение системы уравнений.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14