Материалы сайта
Это интересно
Численные методы
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ . Пусть имеется функция [pic] которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в некоторой точке. Если задан явный вид функции, то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования. Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена [pic] Рассмотрим простейшие формулы численного дифференцирования, которые получаются указанным способом. Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах [pic] Ее значения и значения производных в узлах будем обозначать [pic] Пусть функция задана в двух точках [pic] и [pic] ее значения [pic] Посстроим интерполяционный многочлен первой степени [pic] Производная [pic] равна [pic][pic] Производную функцию [pic] в точке [pic] приближенно заменяем производной интерполяционного многочлена [pic] (1) Величина [pic] называется первой разностной производной. Пусть [pic] задана в трех точках [pic] [pic] Интерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид [pic] Берем производную [pic] В точке [pic] она равна [pic] Получаем приближенную формулу [pic] (2) Величина [pic] называется центральной разностной производной. Наконец, если взять вторую производную [pic] получаем приближенную формулу. [pic] (3) Величина [pic] называется второй разностной производной. Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования. Предполагая функцию [pic]достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, получим погрешности приближенных формул (1)-(3). В дальнейшем нам понадобится следующая лемма. Лемма 1. Пусть [pic] произвольные точки, [pic] Тогда существует такая точка [pic] что [pic] Доказательство. Очевидно неравенство [pic] По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на замкнутом отрезке она принимает все значения между [pic] и [pic] Значит существует такая точка [pic] что выполняет указанное в лемме равенство. Погрешности формул численного дифференцирования дает следующая лемма. Лемма 2. 1.Предположим, что [pic] Тогда существует такая точка [pic] , что [pic] (4) 2. Если [pic] то существует такая точка [pic] , что [pic] (5) 3. Когда [pic] то существует [pic] такая, что [pic] (6) Доказательство. По формуле Тейлора [pic] откуда следует (4). Если [pic] то по формуле Тейлора [pic] (7) где [pic] Подставим (7) в [pic] Получаем [pic] Заменяя в соответствии с леммою 1 [pic] получаем [pic] Откуда и следует (6). Равенство (5) доказывается аналогично ( доказательство провести самостоятельно). Формулы (4)-(6) называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Погрешности формул (1)-(3) оцениваются с помощью следующих неравенств, которые вытекают из соотношений (4)-(6): [pic] Говорят, что погрешность формулы (1) имеет первый порядок относительно [pic] (или порядка [pic] ), а погрешность формул (2) и (3) имеет второй порядок относительно [pic] (или порядка [pic] ). Также говорят, что формула численного дифференцирования (1) первого порядка точности (относительно [pic]), а формулы (2) и (3) имеют второй порядок точности. Указанным способом можно получать формулы численного дифференцирования для более старших производных и для большего количества узлов интерполирования. Выбор оптимального шага. Допустим, что граница абсолютной погрешности при вычислении функции [pic] в каждой точке удовлетворяет неравенству [pic] (8) Пусть в некоторой окрестности точки [pic] производные, через которые выражаются остаточные члены в формулах (5), (6), непрерывны и удовлетворяют неравенствам [pic] (9) где [pic] - некоторые числа. Тогда полная погрешность формул (2), (3) (без учета погрешностей округления) в соответствии с (5), (6), (8), (9)не превосходит соответственно величин [pic] Минимизация по [pic] этих величин приводит к следующим значениям [pic]: [pic] (12) при этом [pic] (13) Если при выбранном для какой-либо из формул (2), (3) значении [pic] отрезок [pic] не выходит за пределы окрестности точки [pic], в которой выполняется соответствующее неравенство (9), то найденное [pic] есть оптимальным и полная погрешность численного дифференцирования оценивается соответствующей величиной (13).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14