Материалы сайта
Это интересно
Численные методы
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. На практике редко удается вычислить точно определенный интеграл. Например, в элементарных функциях не вычисляется функция Лапласа [pic] широко используемая в теории вероятностей для вычисления вероятностей, связанных с нормально распределенными случайными величинами. Рассмотрим некотрые широко используемые приемы приближенного вычисления определенных интегралов. Квадратурные формулы. Введем понятие квадратурные формулы. Пусть дан определенный интеграл [pic] (1) от непрерывной на отрезке [pic] функции [pic] . Приближенное неравенство [pic] (2) где [pic] - некоторые числа, [pic] - некотрые точки отрезка [pic] , называется квадратурной формулой, определяемой весами [pic] и узлами [pic]. Говорят, что квадратурная формула точна для многочленов степени [pic] , если при замене [pic] на произвольный алгебраический многочлен степени [pic] приближенное равенство (2) становится точным. Рассмотрим наиболее простые квадратурные формулы. Формула прямоугольников. Допустим, что [pic] [pic] . Положим приближенно [pic] (3) где [pic], т.е. площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции [pic], аппроксимируется площадью прямоугольника, высота которого равна значению [pic] в средней точке основания трапеции . [pic] Найдем остаточный член , т.е. погрешность формулы (3) . Пусть [pic] (4) [pic] Так как [pic] [pic] то согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеем [pic][pic] (5) где [pic] -некоторые точки , [pic] Функция [pic] является первообразной для [pic] Поэтому для интеграла, стоящего в левой части приближенного равенства (3), из формулы Ньтона - Лейбница с расчетом (5) вытекает следующее соотношеие [pic] Отсюда с помощью ранее доказанной леммы получаем формулу прямоугольников с остаточным членом : [pic] (6) Формула трапеций. Пусть [pic] Полагаем [pic] (7) где [pic] т.е. интеграл [pic] приближенно заменяется площадью заштрихованной трапеции, показанной на рисунке. [pic] Найдем остаточный член, т.е. погрешность формулы (7). Выразим [pic] і [pic] где [pic] - функция (4), по формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме [pic]: [pic] (8) [pic] (9) Согласно (8) имеем [pic] (10) Отделив в правой части (9) слагаемое [pic] и заменив его выражением (10), с учетом того, что [pic] находим [pic] [pic] Преобразуем теперь второе слагаемое в правой части, используя обобщенную теорему о среднем. * Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме [pic] Теорема 1 (обобщенная теорема о среднем). Пусть [pic] причем [pic] на [pic] Тогда существует такая точка [pic] что [pic] Доказательство. Положим [pic] (11) Тогд, так как [pic] то [pic] и, следовательно, [pic] [pic] Если [pic] то [pic] и в качестве [pic] можн взять любую точку из [pic] Если [pic] то вытекает существование такого числа с, удовлетворяющего неравенствам ( для этого делим все части [pic] на [pic]): [pic] (12) что [pic] (13) По теореме о промежуточных значениях непрерывной функции в силу (11) , (12) найдется точка [pic] , в которой [pic] что вместе с равенством (13) доказывает теорему . Теперь, так как [pic] то по доказанной теоремою [pic] где [pic] - некоторая точка . Подставляя полученное в [pic], приходим к формуле трапеций с остаточным членом : [pic] (14) Формула Симпсона . Предположим, что [pic] Интеграл [pic] приближенного заменяем площадью заштрихованной криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, проходящей через точки [pic] де [pic] [pic] Указанная парабола задается уравнением [pic] в чем нетрудно убедиться, положив поочередно [pic] [pic] (ее можно также получить, построив интерполяционный многочлен второй степени и приводя подобные ) Отсюда находи ( проверить самостоятельно) [pic] Таким образом , формула Симпсона , называемая также формулой парабол , имеет вид [pic] (15) Положим [pic] где [pic]-функция (4). Поскольку [pic] то согласно формул Тейлора с остаточным членом в интегральной форме имеем [pic] Отсюда получаем [pic] (16) т.к. остальные члены взаимно уничтожаются. Поскольку [pic] то применяя к интегралу (16) теорему 1 , а затем к полученному результату лемму, находим [pic] [pic] (17) где [pic] нектрые точки. Принимая во внимание, что [pic] из (16), (17) приходим к формуле [pic] (18) т.е. к формуле Симпсона с остаточным членом. Рассмотрим квадратурные формулы прямоугольников (3), трапеций (7) и Симпсона (15) называются каноничными. Усложненные квадратурные формулы. На практике, если требуется вычислить приближенно интеграл (1) , обычно делят заданный отрезок [pic] на [pic] равных частей и на кождом частичном отрезке применяют какую-либо одну каноничную квадратурную формулу, а затем суммируют полученные результаты. Построенная таким путем квадратурная формула на отрезке [pic] называется усложненной. При применении формул прямугольников и трапеций длину частичных отрезков удобно применять за [pic] , а при использовании формулы Симпсона - за [pic]. Остановимся сначала на применении формулы прямоугольников. Пусть [pic] Обозначим частичные отрезки через [pic] где [pic] В соответствии с (3) полагаем [pic] (19) где [pic] значение [pic] в середине частичного отрезка [pic]. При этом справедливо аналогичное (6) равенство [pic] (20) где [pic]некоторая точка. Суммирование по всем частичным отрезкам приближенного равенства (19) приводит к усложненной квадратурной формуле прямоугольников: [pic] (21) а суммирование равенств (20) с учетом того,что по лемме [pic] где [pic] -некоторая точка отрезка [pic], дает усложненную формулу прямоугольников с остаточным членом: [pic][pic] (22) [pic] Совершенно аналогично при услвии, что [pic] с использованием формул (7), (14) получается усложненная квадратурная формула трапеций [pic] (23) и отвечающая ей формула с остаточным членом [pic] (24) где [pic]некоторая точка. Пусть теперь [pic] и, как обычно, [pic] [pic] Перепишем каноническую квадратурную формулу Симпсона (15) применительно к отрезку [pic] длины [pic] : [pic] Суммируя левую и правую части этого соотношения от 0 до N-1, получаем усложненную квадратурную формулу Симпсона (25) Сответствующая ей формула с остаточным членом, полученная суммированием по частичным отрезкам [pic] равенств вида (18), при условии, что [pic], такова : [pic] (26) где [pic] Введем краткие обозначения [pic] (27) где [pic] а также положим [pic] (28) где [pic] Приближенные равенства [pic] (29) [pic] (30) назовем сответственно формулами прямоугольников, трапеций и формулой Симпсона, опуская слова ‘’усложненная квадратурная’’. Из виражений остаточных членов в (22), (24), (26) видно, что формулы (29) прямоугольников трапеций точны для многочленов первой степени, т.е. для линейных функций, а формула (30) Симпсона точна для многочленов третьей степени (для них остаточный член равен нулю ). Погрешность формул (29) имеет второй порядок относительно [pic] (заведомо не лучше, если [pic] непрерывна на [pic] и не обращается в нуль), а формула Симпсона при соответствующей гладкости [pic] является формулой четвертого порядка точности. Поэтму для функций класса [pic] при малом [pic] формула Симпсона обычно дает более высокую точность, чем формула (29). Погрешность формулы прямугольников и формулы Симпсона при вычислении интеграла (1) в силу (22), (26) удовлетворяет неравенствам [pic] (31) [pic] (32) Аналогичное неравенство имеет место и для погрешности формули трапеций. Наряду с оценками погрешноси сверху полезны оценки снизу. В частности, для погрешности формулы прямоугольников оценка снизу, вытекающая из (22), такова: [pic] (33) Пример. Исследовать погрешность квадратурных формул для интеграла [pic] при [pic]. Имеем о [pic] [pic] [pic]на [pic] Согласно (31)-(33) получаем [pic] Формулы прямоугольников трапеций в отдельности уступают при интегрировании гладких функций формуле Симпсона. Однако в паре они обладают ценным качеством, а именно, если [pic] не изменяет знака на [pic] то формулы (29) дают двусторонние приближения для интеграла (1), так как согласно (22), (24) их остаточные члены имеют противоположные знаки. В рассмотренном примере [pic] Поэтому [pic] В данной ситуации естественно положить [pic] Тогда [pic] т.е. погрешность оценивается через самые приближенные значения интеграла.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14