Материалы сайта
Это интересно
Численные методы
СКІНЧЕННІ ТА ПОДІЛЕНІ РІЗНИЦІ. Скінченні різниці. Нехай [pic] де [pic] - ціле, [pic]. Величина [pic] (1) називається скінченною різницею першого порядку функції [pic] у точці [pic] (з кроком [pic]). Величина [pic]називається скінченною різницею другого порядку функції [pic] у точці [pic] . Взагалі, скінченна різниця n-го порядку функції [pic] у точці [pic] означається рекурентним співвідношенням [pic] (3) де [pic]. При обчисленнях скінченні різниці зручно записувати у вигляді таблиці [pic] Розглянемо деякі властивості скінченних різниць. Лема 1. Якщо [pic], то існує така точка [pic] , що [pic] . (4) Доведення . При n=1 маємо з формули скінченних приростів Лагранжа та з (1) [pic] При [pic] маємо. Позначимо [pic] Тоді згідно (2) [pic] і тому за формулою скінченних приростів Лагранжа [pic] (5) Але [pic]. Застосовуючи ще раз формулу скінченних приростів Лагранжа до [pic], маємо [pic] (6) де [pic] деяка точка. З (5), (6) виходить [pic] тобто твердження леми при [pic]. Для [pic] лема доводиться аналогічно. Висновок з леми 1. Скінченна різниця [pic]-го порядку алгебраічного многочлена [pic]-го ступеню стала, тобто не залежить від [pic], а скінченні різниці ще вищих порядків дорівнюють нулеві. Одне з практичних застосувань скінченних різниць полягає у наступному. Згідно леми 1, якщо [pic] , то величина [pic] яку можна обчислити через табличні значення функції [pic] за допомогою формули (3), дорівнює значенню похідної [pic] у деякій точці [pic], де [pic] Тому , якщо [pic] мале, то число [pic] можна наближено прийняти за величину [pic] та використати в оцінці похибки інтерполяції з рівновіддаленими вузлами. Такою нестрогою оцінкою похибки користуються, якщо достатньо складне обчислення похідної [pic], або, взагалі, маємо у розпорядженні тільки табличні значення n+1 раз диференційовної функції. Поділені різниці. Нехай тепер [pic]-довільні точки (вузли) осі [pic], причому [pic] при [pic]. Значення [pic] функції [pic] у вузлах називаються поділеними різницями нульового порядку. Число [pic] (7) називається поділеною різницею першого порядку функції [pic] (відповідно точкам [pic]). Очевидно [pic] (8) тобто поділена різниця першого порядку є симетричною функцією аргументів [pic] і [pic]. Поділена різниця [pic]-го порядку означається через поділені різниці [pic]-го порядку за рекурентною формулою [pic] (9) При обчисленнях поділені різниці записують у вигляді таблиці [pic] Лема 2. Поділена різниця [pic]-го порядку може бути подана через вузлові значення функції за формулою [pic] тобто є симетричною функцією своїх аргументів . Доведення . При [pic] твердження леми виходить з рівності (8). При [pic] згідно з (9) маємо [pic] Для довільного [pic] доведення проводиться за індукцією . Згідно леми 2 значення поділеної різниці не залежить від порядку нумерації [pic] вузлів, за якими вона будується. Всього маємо [pic] варіантів нумерації вузлів цілими числами від 0 до [pic]. Лема 3. Якщо [pic] тобто вузли розміщуються на осі з сталим кроком [pic] то між поділеною різницею [pic]-го порядку та скінченною різницею [pic]-го порядку існує наступний зв’язок: [pic] . (12) Доведення. Для [pic]=1 рівність (12) виходить з (1), (7). При довільному [pic] доведення провадиться за індукцією. При цьому враховується той факт, що при визначенні кожної наступної за порядком скінченної різниці відбувається згідно (3) віднімання попередніх різниць , а при обчисленні наступної поділеної різниці згідно з формулою (9) провадиться додаткове ділення на величину [pic] Звідси й виникає величина [pic]у знаменнику правої частини рівності (12). Лема 4. Нехай [pic] -мінімальний відрізок, що містить вузли [pic] [pic]. Тоді існує така точка [pic] що [pic]. (13) Доведення . Для вузлів, що розміщені з сталим кроком, рівність (13) безпосередньо виходить з лем 1, 3. Доведення у загальному випадку можна здійснити наступним чином. Візьмемо точку [pic] [pic] [pic] та побудуємо поділену різницю [pic]- го порядку [pic]З цього виразу можна одержати [pic] Співставляючи останнє з раніш одержаним виразом для похибки [pic], одержуємо [pic] Покладаючи тепер [pic], одержимо (13). Висновок з леми 4. Поділена різниця [pic]-го порядку від алгебраічного многочлена [pic]-го ступеню має стале значення, що не залежить від вузлів [pic] а поділені різниці ще вищих порядків дорівнюють нулеві. Скінченні і поділені різниці мають різноманітні застосування. Далі розглянемо їх використання для побудови інтерполяційних многочленів. Інтерполяційний многочлен Ньютона . Нехай [pic]-довільні вузли, що не співпадають і у яких відомі значення функції [pic]. Лема 1. Алгебраїчний многочлен [pic]-го ступеню [pic]є інтерполяційним, тобто [pic] (2) Доведення. Поперш за все зауважимо,що поділені різниці [pic] є числа (не залежать від [pic] ), і тому функція (1) дійсно є алгебраїчний многочлен [pic]-го ступеню. Доведемо (2) при [pic]. Маємо [pic] Очевидно [pic], [pic] [pic]Тобто при n=1 рівності (2) справедливі. Доведемо (2) при [pic]. Маємо [pic][pic] [pic] [pic] При [pic] рівності (2) доведені . При довільному натуральному [pic] рівності (2) доводяться за індукцією. Многочлен (1) називається інтерполяційним многочленом Ньютона для нерівних проміжків . Згідно теоремі єдності він тотожньо співпадає з інтерполяційним многочленом Лагранжа, тобто [pic] Таким чином ми маємо різні записи інтерполяційного многочлена.Залишковий член інтерполяційного многочлена Ньютона той же, що і інтерполяційного многочлена Лагранжа, тобто всюди в оціночних рівностях і нерівностях можна замінити [pic] на [pic] У інтерполяційного многочлена Лагранжа видно його явну залежність від кожного значення функції [pic] Це у багатьох випадках буває корисним. Але при зміні [pic] інтерполяційний многочлен Лагранжа треба будувати заново. У цьому є його недолік. Інтерполяційний многочлен Лагранжа (1) містить не значення функції [pic], а її поділені різниці. При зміні степеню [pic] у інтерполяційного многочлена Ньютона треба добавити або відкинути відповідну кількість стандартних доданків. Це зручно на практиці. Випадок равновіддалених вузлів. Нехай [pic] [pic] Тоді, враховуючи зв’язок поділеної різниці із скінченною різницею [pic] і вводячи безрозмірну змінну [pic] інтерполяційний многочлен (1) можна переписати у вигляді [pic] Цей многочлен називається інтерполяційним многочленом Ньютона для інтерполяції вперед. У ньому початок відліку знаходиться у крайньому вузлі [pic], а використані скінченні різниці йдуть у таблиці різниць від [pic] вправо униз. Інтерполяційний многочлен (3) зручно використовувати на початку таблиці. Інтерполяційний многочлен з вулами [pic], ,де [pic], має вигляд [pic] (4) і називається інтерполяційним многочленом Ньютона для інтерполяції назад. У ньому початок відліку [pic] розташований у крайньому правому вузлі [pic], а вікористані скінченні різниці йдуть у таблиці від [pic] вправо угору . [pic] Інтерполяційний многочлен (4) зручно використовувати при інтерполяції у кінці таблиці. Якщо при заданому [pic] у таблиці значень функції [pic] з кроком [pic] маємо достатню кількість вузлів з кожного боку від [pic], то доцільно вузли інтерполяції [pic] вибирати так, щоб точка [pic] опинилась як можна ближче до середини мінімального відрізку, що містить вузли. При цьому інтерполяційний многочлен можна будувати по- різному. Найбільш істотньо задати інтерполяційний многочлен у вигляді (1), де за [pic] береться найближчий до [pic] вузол, далі за [pic] приймається найближчий до [pic] вузол, що міститься з протилежного від [pic] боку, ніж [pic]. Наступні вузли призначаються по черзі з різних боків від [pic], що містяться як можливо ближче до [pic]. При токому виборі вузлів доданки, що слідують один за одним у виразі (1), як правило, спадають, якщо [pic] мале, а [pic] невелике. Можливо також у розглянутому випадку використовувати інтерполяційні многочлени (3), (4), а також інтерполяційний многочлен Лагранжа. На закінчення зазначимо, що залишковий член многочлена (3) має той же вигляд, що і у випадку інтерполяційного многочлена Лагранжа з рівновіддаленими вуздами, тобто [pic]а залишковий член інтерполяційного многочлена (4) може бути подано у вигляді [pic]де [pic] -похідна від [pic], [pic]-деяка точка мінімального відрізку, що містить вузли інтерполяції [pic] і точку [pic]. Згідно лемі, у якій показано, що [pic] та при умові, що [pic] мале, а функція [pic] достатньо гладка, поточний доданок у виразі (3) інтерполяційного многочлена Ньютона приблизно дорівнює похибці інтерполяції многочленом, побудованим з усіх попередніх доданків. Це зауваження стосується й до інтерполяційного многочлена (4) для інтерполяції назад.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14