Материалы сайта
Это интересно
Выборочные наблюдения (лекции и методические указания)
4.4. Объем выборки Определение необходимого объема выборки n основывается на формулах предельных ошибок выборочной доли и выборочной средней. Например, для повторного отбора предельные ошибки равны [pic] [pic] отсюда объемы выборок для расчета выборочной доли nw и выборочной средней nx следующие: [pic] [pic] Аналогичным образом определяются объемы выборок при различных способах отбора выборочной совокупности. Для серийного отбора определяется число отобранных серий. Формулы расчета приведены в табл.4.3. Таблица 4.3 Формулы расчета объема выборки | | | |Метод отбора |Объем выборки или число серий для определения | |выборки | | | | | | | |выборочной доли |выборочной средней | |Механический | | | |и |[pic] |[pic] | |собственно–сл| | | |учайный | | | |повторный | | | |отбор | | | |Механический | | | |и |[pic] |[pic] | |собственно–сл| | | |учайный | | | |бесповторный | | | |отбор | | | Серийный отбор при повторном отборе равновеликих серий [pic] [pic] |Серийный | | | |отбор при |[pic] |[pic] | |бесповторном | | | |отборе | | | |равновеликих | | | |серий | | | |Типический | | | |отбор при |[pic] |[pic] | |повторном | | | |случайном | | | |отборе внутри| | | |групп, | | | |пропорциональ| | | |ном объему | | | |групп | | | |Типический | | | |отбор при |[pic] |[pic] | |бесповторном | | | |случайном | | | |отборе внутри| | | |групп, | | | |пропорциональ| | | |-ном объему | | | |групп | | | где nw, nx – объемы выборок соответственно для определения ошибок выборочной доли и выборочной средней; rw, rx – число отобранных серий соответственно для определения ошибок выборочной доли и выборочной средней; [pic] – предельные ошибки соответственно выборочной доли и выборочной средней. Вариация ([pic]) признака существует объективно, независимо от исследователя, но к началу выборочного наблюдения она неизвестна. Для приближенной оценки [pic]используются следующие способы: - дисперсия определяется на основе результатов проведения "пробного" обследования (обычно небольшого объема). По данным нескольких пробных обследований выбирается наибольшее значение дисперсии; - дисперсия принимается из предыдущих исследований; - по правилу "трех сигм" общий размах вариации Н укладывается в 6 сигм, среднее квадратическое отклонение принимается равным [pic] Для большей точности размах делится на 5; - если хотя бы приблизительно известна средняя величина изучаемого признака, то [pic] - при изучении альтернативного признака (изучении доли), если нет даже приблизительных сведений о доле единиц, обладающих заданным значением этого признака, принимается максимально возможная величина дисперсии, равная 0,25. В связи с тем, что генеральная дисперсия оценивается приближенно, рекомендуется рассчитанный объем выборки округлять в большую сторону. Часто на практике задается не величина абсолютной предельной ошибки [pic], а величина относительной погрешности [pic], выраженная в процентах к средней величине [pic] откуда [pic] В этом случае объем выборки [pic] Если известен коэффициент вариации [pic] то объем выборки [pic] Например, по данным пробного обследования коэффициент вариации составляет 40%. Сколько необходимо отобрать единиц, чтобы с вероятностью 0,954 предельная относительная ошибка выборки не превышала 5%? При [pic] [pic] При серийном или типическом отборе, не пропорциональном объему групп, общее число отбираемых единиц делится на количество групп. Полученная величина является объемом выборки из каждой группы. При отборе, пропорциональном числу единиц в группе, число наблюдений по каждой группе определяется по формуле [pic] где nj - объем выборки из j -й группы; n - общий объем выборки; Nj - объем j -й группы; N - объем генеральной совокупности. При отборе с учетом вариации признака, приводящем к минимальной ошибке выборки, процент выборки из каждой типической группы должен быть пропорционален среднему квадратическому отклонению в этой группе. Расчет численности выборки производится по формулам: для средней [pic] для доли [pic] 4.5. Малая выборка Под малой выборкой понимается такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 20–30 и может составлять 5–6. С увеличением численности выборочной совокупности повышается точность выборочных данных, однако приходится иногда ограничиваться малым числом наблюдений. Эта необходимость возникает, например, при проверке качества продукции, связанной с уничтожением проверяемой единицы продукции. В математической статистике доказывается, что при малых выборках характеристики выборочной совокупности можно распространять на генеральную, но расчет средней и предельной ошибок выборки имеет особенности. Ранее указывалось, что при большом объеме выборочной совокупности (n > 100) коэффициент [pic], на который необходимо умножить выборочную дисперсию, чтобы получить генеральную, не играет большой роли. Но когда выборочная совокупность небольшая, этот коэффициент необходимо принимать во внимание. Средняя ошибка малой выборки ( [pic]) вычисляется по формуле [pic] где [pic] – дисперсия в малой выборке, которая определяется следующим образом: [pic] Предельная ошибка имеет вид [pic] Значение коэффициента доверия [pic] зависит не только от заданной доверительной вероятности, но и от численности единиц выборки n . Английский ученый Стьюдент доказал, что в случаях малой выборки действует особый закон распределения вероятности. В табл.4.4 приводятся значения, характеризующие вероятность ([pic]) того, что предельная ошибка малой выборки не превысит [pic]–кратную среднюю ошибку: [pic] Таблица 4.4 Распределение вероятности [pic] в малых выборках в зависимости от значения коэффициента [pic] и численности выборки |[pic] |n | | |5 |7 |10 |12 |16 |18 |20 | | | | | | | | | | |1,0 |0,626 |0,644 |0,657 |0,662 |0,666 |0,668 |0,670 | |1,5 |0,792 |0,816 |0,832 |0,838 |0,846 |0,848 |0,850 | |2,0 |0,884 |0,908 |0,923 |0,930 |0,936 |0,938 |0,940 | |2,5 |0,933 |0,953 |0,966 |0,970 |0,975 |0,977 |0,978 | |3,0 |0,960 |0,976 |0,985 |0,988 |0,991 |0,992 |0,993 | Статистическая проверка гипотез Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. М.: ИНФРА-М, 1998. - 416 с. (стр.182-203) 1. Выбор критической области. Критерии согласия. 2. Проверка гипотезы о принадлежности "выделяющихся" наблюдений исследуемой генеральной совокупности. 3. Проверка гипотезы о величине средней арифметической и доли. 4. Проверка гипотезы о расхождении двух выборочных дисперсий (дисперсионный анализ). ЛИТЕРАТУРА 1. Богородская Н.А. Статистика. Методы анализа статистической информации: Текст лекций. СПб.: СПГААП. - 1997. - 80 с. 2. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. М.: ИНФРА-М, 1998. - 416 с. 3. Статистика: Курс лекций /Харченко Л.П., Долженкова В.Г., Ионин В.Г. и др.; Под ред. В.Г.Ионина. - Новосибирск: Изд-во НГАЭиУ, 1996. - 310 с. 4. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности. Учебник /А.И.Харламов, О.Э.Башина, В.Т.Бабурин и др.; Под ред.А.А.Спирина, О.Э.Башиной. М.: Финансы статистика, 1994. - 296 с. 5. Гусаров В.М. Теория статистики. - М.: Аудит, 1998. - 247 с. 6. Елисеева И.И., М.М.Юзбашев. Общая теория статистики. - М.: Финансы и статистика, 1998. - 367 с. 7. Теория статистики. Учебник/Под ред.Р.А.Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 1998. - 576 с. 8. Ряузов Н.Н. Общая теория статистики: Учебник для студентов экономич. спец. вузов. -4-е изд., перераб. и дополн. М.: Финансы и статистика, 1984. - 343 с. 9. Общая теория статистики / Под ред.Гольберга А.М., Козлова В.С. - М.: Финансы и статистика, 1986. - 367 с. 10. Общая теория статистики / Под ред.Боярского А.Я., Громыко Г.Л.. М.: Изд-во МГУ, 1985. - 326 с. 11. Практикум по теории статистики: Учебное пособие./ Под ред. Р.А.Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 1998. 416 с. 12. Сборник задач по общей теории статистики: Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности “Статистика” / Овсиенко В.Е., Голованова Н.В., Королев Ю.Г. и др., -2-е изд., перераб. и дополн. М.: Финансы и статистика, 1986. - 191 с. 13. Практикум по общей теории статистики /Под ред. Ряузова Н.Н. - 2-е изд., перераб.и дополн. М.: Финансы и статистика, 1981. - 278 с. 14. Вайнберг Дж., Шумекер Дж. Статистика. М.: Статистика, 1979. 389 с. 15. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико–статистические понятия и формулы в экономическом анализе. М.: Статистика, 1974. 278 с. 16. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. М.: Статистика, 1977. 229 с. Приложение Таблица случайных чисел |5489 |5583 |3156 |0835 |1988 |3912 |0938 |7460 |0869 |4420 | |3522 |0935 |7877 |5665 |7020 |9555 |7375 |7124 |7878 |5544 | |7555 |7579 |2550 |2487 |9477 |0864 |2349 |1012 |8250 |2633 | |5759 |3554 |5080 |9074 |7001 |6249 |3224 |6368 |9102 |2672 | |6303 |6895 |3371 |3196 |7231 |2918 |7380 |0438 |7547 |2644 | |7351 |5634 |5323 |2623 |7803 |8374 |2191 |0464 |0696 |9529 | |7068 |7803 |8832 |5119 |6350 |0120 |5026 |3684 |5657 |0304 | |3613 |1428 |1796 |8447 |0503 |5654 |3254 |7336 |9536 |19441| |5143 |4534 |2105 |0368 |7890 |2473 |4240 |8652 |9435 |. | | | | | | | | | | |1422 | |9815 |5144 |7649 |8638 |6137 |8070 |5345 |4865 |2456 |5708 | |5780 |1277 |6816 |1013 |2867 |9938 |3930 |3203 |5696 |1769 | |1187"|0951 |5991 |5245 |5700 |5564 |7352 |0891 |6249 |6568;| |4184 |2179 |4554 |9083 |2254 |2435 |2965 |5154 |1209 |7069 | |2916 |2972 |9885 |0275 |0144 |8034 |8122 |3213 |7666 |0230 | |5524 |1341 |9860 |6565 |6981 |9842 |0171 |2284 |2707 |3008 | |0146 |5291 |2354 |5694 |0377 |5336 |6460 |9585 |3415 |2358 | |4920 |2826 |5238 |5402 |7937 |1993 |4332 |2327 |6875 |5230 | |7978 |1947 |, |3425 |7267 |7285 |1130 |7722 |0164 |8573 | | | |6380 | | | | | | | | |7453 |0653 |3645 |7497 |5969 |8682 |4191 |2976 |0361 |9334 | |1473 |6938 |4899 |5348 |1641 |3652 |0852 |5296 |4538 |4456 | |8162 |8797 |8000 |4707 |1880 |9660 |8446 |1883 |9768 |0881 | |5645 |4219 |0807 |3301 |4279 |4168 |4305 |9937 |3120 |5547 | |2042 |1192 |1175 |8851 |6432 |4635 |5757 |6656 |1660 |5389 | |5470 |7702 |6958 |9080 |5925 |8519 |0127 |9233 |2452 |7341 | |4045 |1730 |6005 |1704 |0345 |3275 |4738 |4862 |2556 |8333 | |5880 |1257 |6163 |4439 |7276 |6353 |6912 |0731 |9033 |5294 | |9083 |4260 |5277 |4998 |4298 |5204 |3965,|4028 |8936 |5148 | |1762 |8713 |1189 |1090 |8989 |7273 |3213 |1935 |9321 |4820 | |2023 |2589 |1740 |0424 |8924 |0005 |1969 |1636 |7237 |1227 | |7965 |3855 |4765 |0703 |1678 |0841 |7543 |0308 |9732 |1289 | |7690 |0480 |8098 |9629 |4819 |7219 |7241 |5128 |3853 |1921 | |9292 |0426 |9573 |4903 |5916 |6576 |8368 |3270 |6641 |0033 | |0867 |1656 |7016 |4220 |2533 |6345 |8227 |1904 |5138 |2537 | |0505 |2127 |8255 |5276 |2233 |3956 |4118 |8199 |6380 |6340 | |6295 |9795 |1112 |5761 |2575 |6837 |3336 |9322 |7403 |8345 | |6323 |2615 |3410 |3365'|1117 |2417 |3176 |2434 |5240 |5455 | |8672 |8536 |2966 |5773 |5412 |8114 |0930 |4697 |6919 |4569 | |1422 |5507 |7596 |0670 |3013 |1351 |3886 |3268 |9469 |2584 | |2653 |1472 |5113 |5735 |1469 |9545 |9331 |5303 |9914 |6394 | |0438 |4376 |3328 |8649 |8327 |0110 |4549 |7955 |5275 |2890 | |2851 |2157 |0047 |7085 |1129 |0460 |6821 |8323 |2572 |8962 | |7962 |2753 |3077 |8718 |7418 |8004 |1425 |3706 |8822 |1494 | |3837 |4098 |0220 |1217 |4732 |0150 |1637 |1097 |1040 |7372 | |8542 |4126 |9274 |2251 |0607 |4301 |8730 |7690 |6235 |3477 | |0139 |0765 |8039 |9484 |2577 |7859 |1976 |0623 |1418 |6685 | |6687 |1943 |4307 |0579 |8171 |8224 |8641 |7034 |3595 |3875 | |6242 |5582 |5872 |3197 |4919 |2792 |5991 |4058 |9769 |1918 | |6859 |9606 |0522 |4993 |0345 |8958 |1289 |8825 |6941 |7685 | |6590 |1932 |6043 |3623 |1973 |4112 |1795 |8465 |2110 |8045 | |3482 |0478 |0221 |6738 |7323 |5643 |4767 |0106 |2272 |9862 |