Материалы сайта
Это интересно
Выборочные наблюдения (лекции и методические указания)
2.2. Серийный отбор Задача 1. В одном из цехов предприятия в десяти бригадах работает 100 рабочих. В целях изучения квалификации рабочих была проведена 20%-я серийная бесповторная выборка, в которую вошли 2 бригады. Получено следующее распределение обследованных рабочих по разрядам: Таблица 2.5 |Номер |Разряды рабочих | |рабочего |в бригаде 1 |в бригаде 2 | | 1 |2 |3 | |2 |4 |6 | |3 |5 |1 | |4 |2 |5 | |5 |5 |3 | |6 |6 |4 | |7 |5 |2 | |8 |8 |1 | |9 |4 |3 | |10 |5 |2 | Определить с вероятностью 0,997 предел, в котором находится средний разряд рабочих цеха. Решение. Средняя ошибка выборочной средней (см.табл.1.2) определяется по следующей формуле: [pic], где [pic] – межсерийная дисперсия выборочных средних; R – число серий в генеральной совокупности; r – число отобранных серий. Для определения межсерийной (межгрупповой) дисперсии выборочных средних необходимо рассчитать групповые и общую среднюю величину. Средний разряд: в первой бригаде [pic] разр. во второй бригаде [pic] разр. Средний разряд рабочего в двух бригадах (общая средняя) [pic] разр. Межсерийная (межгрупповая) дисперсия [pic] где [pic] – среднее значение показателя в j – й серии (группе); [pic] – среднее значение показателя во всех сериях (общая средняя). Средняя ошибка среднего разряда рабочего в двух бригадах (выборочной средней) [pic]разр. Значению вероятности 0,997 соответствует значение гарантийного коэффициента [pic] Тогда предельная ошибка выборочной средней [pic] разр. С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний разряд рабочих цеха находится в пределах [pic] Задача 2. Детали упакованы в 200 ящиков по 40 деталей в каждый. Для проверки качества деталей был проведен сплошной контроль деталей в 20 ящиках (10%-й серийный бесповторный отбор). В результате контроля установлено, что доля бракованных деталей составляет 15%. Межсерийная дисперсия равна 0,002. С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится доля бракованной продукции во всей партии ящиков. Решение. Средняя ошибка выборочной доли (см.табл.1.2) [pic] где [pic] – межсерийная дисперсия выборочной доли. Предельная ошибка выборочной доли (доли бракованных деталей в выборке) с вероятностью 0,954 (гарантийный коэффициент[pic]) составит [pic] С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля дефектной продукции в партии (в 200 ящиках) находится в пределах [pic] Задача 3. В механическом цехе предприятия имеется 10 бригад по 20 рабочих в каждой бригаде. Для установления квалификации (среднего разряда) рабочих цеха используется метод серийного бесповторного отбора. Определить необходимое количество бригад, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки (средний разряд рабочего в цехе) не превышала одного разряда. На основе предыдущих исследований известно, что межсерийная дисперсия равна 0,9. Решение. С вероятностью 0,997 (гарантийный коэффициент [pic]) численность выборочной совокупности (число отобранных бригад) определяется следующим образом (см.табл1.3): [pic]бр. Задача 4. На предприятии работает 200 бригад с одинаковой численностью рабочих. Для изучения доли рабочих, выполняющих норму выработки, используется метод серийного бесповторного отбора. Определить необходимую численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки (предельная ошибка доли рабочих, выполняющих норму выработки) не превышала 5%, если межсерийная дисперсия выборочной доли равна 2,25. Решение. Необходимая численность выборки для изучения выборочной доли (см.табл.1.3) с вероятностью 0,954 (гарантийный коэффициент[pic]) равна [pic] бр. Задача 5. Для определения средней наработки до отказа 1000 приборов, распределенных на партии (серии) по 10 шт., проводится серийная 4%-я бесповторная выборка. Результаты испытаний отобранных приборов характеризуются следующими данными: Таблица 2.6 |Показатели |Номер партии приборов | | |1 |2 |3 |4 | |Средняя наработка до отказа, тыс.ч |10 |12 |15 |18 | | | | | | | |Доля приборов с наработкой до отказа| | | | | |не менее 12 тыс.ч |0,80 |0,85 |0,90 |0,95 | Определить: 1) средние ошибки репрезентативности: - наработки приборов до отказа; - удельного веса приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс.ч; 2) с вероятностью 0,954 пределы, в которых будет находиться: - средняя наработка до отказа всех приборов; - доля приборов в генеральной совокупности, наработка до отказа которых не менее 12 тыс.ч; 3) вероятность того, что - предельная ошибка выборки при установлении средней наработки до отказа не превысит 1,0 тыс.ч; - доля приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс.ч будет находиться в пределах от 83% до 92%. Решение. 1. При бесповторном отборе серий средняя ошибка репрезентативности определяется по формулам (см.табл.1.3) соответственно для средней и для доли [pic] [pic] где r – число отобранных серий; R – число серий в генеральной совокупности; [pic] – межсерийная дисперсия выборочных средних; [pic] – межсерийная дисперсия выборочной доли. Средняя наработка до отказа приборов в отобранных 4 партиях [pic] тыс. ч. Средний удельный вес приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс.ч [pic] Межсерийная дисперсия для средней и для доли определяется по формулам [pic] [pic] Расчет приведен в табл.2.7 Таблица 2.7 |Но-м|Средняя | | |Доля | | | |ер |наработка |[pic] |[pic] |приборов с |[pic] |[pic] | |парт|до отказа, | | |наработкой | | | |ии |тыс.ч | | |до отказа не| | | | |[pic] | | |менее 12 | | | | | | | |тыс. ч, | | | | | | | |[pic] | | | |1 |10 |-3,75 |14,06 |0,80 |-0,075 |0,005625 | |2 |12 |-1,75 |3,06 |0,85 |-0,025 |0,000625 | |3 |15 |1,25 |1,56 |0,90 |0,025 |0,000625 | |4 |18 |4,25 |18,06 |0,95 |0,075 |0,005625 | | | |0 |36,74 | | |0,012500 | Тогда межсерийные дисперсии [pic] [pic] Средние ошибки репрезентативности: ( при определении средней ( [pic] тыс. ч; ( при определении доли ( [pic] 2. С вероятностью 0,954 (гарантийный коэффициент[pic]) предельные ошибки репрезентативности для средней и для доли: [pic] тыс. ч; [pic] Средняя наработка до отказа всех 1000 приборов находится в пределах [pic] тыс. ч или [pic] Средний удельный вес приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс. ч в генеральной совокупности будет находиться в пределах [pic] или [pic] 3. Средняя ошибка средней наработки прибора до отказа при R =100; r =4; [pic]тыс. ч; [pic] составляет [pic] тыс. ч. Для определения вероятности того, что разница средних величин наработки до отказа в выборочной и генеральной совокупности не превысит заданную предельную ошибку [pic] тыс. ч, т. е. [pic] тыс.ч рассчитывается гарантийный коэффициент [pic] из следующего выражения: [pic] В таблице значений вероятностей (см.табл 1.1) значению [pic] соответствует вероятность 0,993. Следовательно, с вероятностью 0,993 можно гарантировать, что средняя наработка прибора до отказа в генеральной совокупности будет находиться в пределах [pic]тыс. ч. Средняя ошибка доли приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс. ч при R =100; r =4; [pic]; [pic] составляет [pic] Для определения вероятности того, что разница удельного веса приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс. ч в выборочной и генеральной совокупности не превысит заданную предельную ошибку [pic] (83,0-87,5= -4,5%; 92,0-87,5= +4,5%), т. е. [pic] рассчитывается гарантийный коэффициент [pic] из следующего выражения: [pic] В таблице значений вероятностей (см.табл 1.1) значению [pic] соответствует вероятность 0,890. Следовательно, с вероятностью 0,890 удельный вес приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс. ч будет находиться в пределах [pic]