Материалы сайта
Это интересно
Выборочные наблюдения (лекции и методические указания)
2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 2.1. Механический и собственно-случайный отбор Задача 1. В районе А проживает 2500 семей. Для проведения обследования выбрано 50 семей методом механического (или собственно- случайного) бесповторного отбора. В результате обследования получены следующие данные о количестве детей в семье: Таблица 2.1 | Число детей в | 0 | 1 | 2 |3 |4 |5 | |семье | | | | | | | | Количество семей |10 |20 |12 |4 |2 |2 | Определить среднюю ошибку выборочной средней количества детей в семье и с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится среднее количество детей в семье в районе А. Решение. Средняя ошибка выборочной средней определяется по следующей формуле (см.табл.1.2): [pic] , где n - численность выборки; N - численность генеральной совокупности; [pic] - дисперсия признака x . Дисперсия [pic] определяется по формуле [pic], а среднее выборочное значение [pic] Расчет среднего и дисперсии числа детей в семье в выборочной совокупности приведены в табл.2.2. Таблица 2.2 |Число детей|Количество |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |в семье |семей | | | | | |[pic] |[pic] | | | | | |0 |10 | 0 |-1,48 |-14,8 |21,9040 | |1 |20 |20 |-0,48 |- 9,6 |4,6080 | |2 |12 |24 |+0,52 |+6,24 |3,2448 | |3 |4 |12 |+1,52 |+6,08 |9,2416 | |4 |2 |8 |+2,52 |+5,04 |12,7008 | |5 |2 |10 |+3,52 |+7,04 |24,7808 | |Итого |50 |74 |- |0 |76,4800 | Среднее число детей в семье [pic] чел. Дисперсия числа детей в семье [pic] Средняя ошибка числа детей в выборке составит [pic] чел. Значению вероятности 0,997 соответствует значение гарантийного коэффициента [pic] Тогда предельная ошибка выборочной средней [pic] чел. Значение генеральной средней определяется [pic] Пределы, в которых находится среднее число детей в семье в районе А: [pic] [pic] С вероятностью 0,997 можно утверждать, что число детей в семьях района А колеблется от 0,99 до 2,01 человека ( от 1 до 2 человек). Задача 2. Методом собственно-случайного (или механического) повторного отбора было взято для проверки на вес 200 штук деталей. В результате проверки был установлен средний вес деталей 30 г при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится средний вес деталей в генеральной совокупности. Решение. Средняя ошибка среднего веса деталей в выборке (выборочной средней) [pic] Предельная ошибка выборочной средней с вероятностью 0,954 (гарантийный коэффициент[pic]) составит [pic] Верхняя граница генеральной средней [pic] Нижняя граница генеральной средней [pic] С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний вес детали колеблется в пределах [pic] Задача 3. Методом собственно-случайного (или механического) бесповторного отбора из общей численности работников предприятия (5 тыс.чел.) было отобрано 500 работников. Установлено, что 20% работников в выборке старше 60 лет. Определить с вероятностью 0,683 пределы, в которых находится доля работников предприятия в возрасте старше 60 лет. Решение. Средняя ошибка выборочной доли работников старше 60 лет определяется следующим образом (см.табл.1.2) [pic] С вероятностью 0,683 (гарантийный коэффициент[pic]) предельная ошибка выборочной доли работников старше 60-ти лет составит [pic] Верхняя граница генеральной доли [pic] Нижняя граница генеральной доли [pic] С вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля работников в возрасте старше 60 лет на предприятии колеблется от 18,3% до 21,7%. [pic] Задача 4. При обследовании 100 изделий, отобранных из партии методом механического (или собственно-случайного) повторного отбора, 10 изделий оказались дефектными. Определить с вероятностью 0,866 пределы, в которых находится доля дефектных изделий в партии. Решение. Для дефектной продукции в выборочной совокупности [pic] Средняя ошибка выборочной доли дефектных изделий равна (см.табл.1.2) [pic] Предельная ошибка выборочной доли с вероятностью 0.866 (гарантийный коэффициент[pic]) составит [pic] С вероятностью 0,866 можно утверждать, что доля дефектной продукции в партии колеблется от 5,5% до 14,5%. [pic] Задача 5. В районе А проживает 2000 семей. Предполагается определить средний размер семьи в районе по выборке, взятой методом механического (или собственно-случайного) бесповторного отбора. При этом с вероятностью 0,997 ошибка среднего размера семьи в выборке (выборочной средней) не должна превышать 0,8 человека при среднем квадратическом отклонении в размере семьи 2 человека. Определить необходимую численность выборки для определения среднего размера семьи в районе. Решение. Необходимая численность выборки (см.табл.1.3) при вероятности 0,997 (гарантийный коэффициент[pic]) определяется следующим образом: [pic]семей. Проверка. Средняя ошибка среднего размера семьи составляет [pic] чел. Предельная ошибка выборочной средней при вероятности 0,997 ([pic]) [pic] чел. не превышает заданной ошибки 0,8 чел. Задача 6. Для определения средней длины детали необходимо провести выборочное обследование методом случайного (или механического) повторного отбора. Определить, какое количество деталей необходимо отобрать (числен- ность выборки), чтобы ошибка выборки (ошибка выборочной средней) не превышала 2 мм с вероятностью 0,988 при среднем квадратическом отклонении 8 мм. Решение. Необходимая численность выборки в случае повторного собственно- случайного (или механического) отбора (см.табл.1.3) при вероятности 0,997 (гарантийный коэффициент[pic]) определяется следующим образом: [pic]деталей. Проверка. Средняя ошибка средней длины детали составляет [pic] мм. Предельная ошибка выборочной средней при вероятности 0,988 ([pic]) составляет[pic] мм, что соответствует условию задачи. Задача 7. В городе А имеется 10 тыс.семей. С использованием метода выборочных наблюдений предполагается определить долю семей с числом детей три и более. Определить численность выборки, чтобы при механическом (или собственно-случайном) отборе с вероятностью 0,954 ошибка выборки (доли семей с числом детей три и более) не превышала 0,02, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,2. Решение. Необходимая численность выборки для определения доли семей с числом детей три и более (см.табл.1.3) при вероятности 0,954 (гарантийный коэффициент[pic]) определяется для бесповторного отбора [pic]семей; для повторного отбора [pic] семей. Задача 8. Для изучения оснащения 500 предприятий основными производственными фондами было проведено 10%-е выборочное обследование методом собственно-случайного (или механического) отбора, в результате которого получены следующие данные о распределении предприятий по стоимости основных производственных фондов: Таблица 2.3 |Среднегодовая стоимость | | | |Свыше | | |основных производственных |До 20 |20-40 |40-60 |60 |Итого: | |фондов, млн р. | | | | | | | | | | | | | |Число предприятий |5 |12 |23 |10 |50 | Определить: - с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и границы, в которых будет находиться среднегодовая стоимость основных производственных фондов всех предприятий генеральной совокупности; - с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки при определении доли и границы, в которых будет находиться удельный вес предприятий со стоимостью основных производственных фондов свыше 40 млн р.; - объемы выборочной совокупности при условии, что: предельная ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов с вероятностью 0,997 была бы не более 5 млн р.; предельная ошибка доли предприятий со стоимостью основных производственных фондов свыше 40 млн р. с вероятностью 0,954 была бы не более 15%. Решение. Для определения границ генеральной средней необходимо вычислить среднюю выборочную [pic] и дисперсию [pic] , расчет которых приведен в табл.2.3. Тогда [pic] млн р.; [pic] Таблица 2.4 |Среднегодовая |Число |Сере-ди| | | | | |стоимость |пред-п|на | | | | | |основных |рия-ти|интер-в| | | | | |производственных|й |ала, |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |фондов, млн р. |[pic] |млн р. | | | | | | | | | | | | | | | |[pic] | | | | | |До 20 | 5 |10 | 50|-35,2 |-176,0 | 6195,20 | |20 - 40 |12 |30 | |-15,2 |-182,4 |2772,48 | |40 - 60 |23 |50 |360 |4,8 |110,4 |529,92 | |Свыше 60 |10 |70 |1150 |24,8 |248,0 |6150,04 | | | | |700 | | | | |Итого |50 |- |2260 |- |0 |15647,64 | Для упрощения расчета средней и дисперсии можно использовать способ моментов. При следующих исходных данных: N =500; n =50; [pic] средняя ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных фондов составит: при повторном отборе [pic] млн р.; при бесповторном отборе [pic] млн.р. При определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов в среднем на одно предприятие в выборочной совокупности средняя ошибка выборки (ошибка репрезентативности) при повторном отборе составляет 2,5 млн р., при бесповторном - 2,37. Предельная ошибка выборочной средней с вероятностью 0,997 (гарантийный коэффициент[pic]) составит при повторном отборе [pic] млн р. при бесповторном отборе [pic] млн р. Значение генеральной средней определяется [pic] Пределы, в которых находится среднее число детей в семье в районе А: [pic] Среднегодовая стоимость основных производственных фондов в среднем на одно предприятие генеральной совокупности находится в следующих пределах: при повторном отборе [pic]млн.р или [pic]; при бесповторном отборе [pic]млн.р или [pic]. Эти границы можно гарантировать с вероятностью 0,997. Вычисление пределов при установлении доли осуществляется аналогично нахождению пределов для средней величины [pic] [pic] где p ( доля единиц в генеральной совокупности, обладающих данным признаком. Доля предприятий в выборочной совокупности со среднегодовой стоимостью основных производственных фондов свыше 40 млн р. составляет [pic] Предельная ошибка доли с вероятностью 0,954 (гарантийный коэффициент[pic]): при повторном отборе [pic] при бесповторном отборе [pic] С вероятностью 0,954 доля предприятий со среднегодовой стоимостью основных производственных фондов свыше 40 млн р. в генеральной совокупности находится в пределах: при повторном отборе [pic] или [pic]; при бесповторном отборе [pic] или [pic] При бесповторном отборе ошибка выборки меньше, чем при тех же условиях при повторной выборке. Объем выборки для расчета ошибки средней при N =500; n =50; [pic]; [pic]млн р. с вероятностью 0,997 (гарантийный коэффициент[pic]) при повторном отборе [pic] предпр.; при бесповторном отборе [pic]предпр. Объем выборки для расчета ошибки доли при N =500; n =50; [pic]; [pic] с вероятностью 0,954 (гарантийный коэффициент[pic]) при повторном отборе [pic] предпр.; при бесповторном отборе [pic]предпр.