Материалы сайта
Это интересно
Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ (окончание) 14. Группы правильных многогранников. Хорошо известно (по крайней мере со времен Евклида), что в пространстве существует ровно 5 правильных многогранников . Это - тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Названия этих многогранников происходят от латинских числительных, указывающих количество граней этих фигур. В переводе это 4-, 6-,8-,12-, и 20- гранники. Некоторые авторы причисляют к числу правильных многогранников еще и диэдр - многогранник с 2 гранями, которые являются правильными n-угольниками. Эта фигура удовлетворяет всем условиям, которые задают правильный многогранник, за исключением того, что его объем равен 0. Опишем кратко группу [pic] -симметрий каждого из этих многогранников. 1. Диэдр. Пусть диэдр реализован в виде правильного n- угольника в плоскости ( и l - прямая, перпендикулярная ( , проходящая через его центр симметрии. Группа симметрий диэдра содержит повороты на углы, кратные 2(/n вокруг l. Кроме того, если m -любая ось симметрии многоугольника, то поворот вокруг этой оси на 180( переводит диэдр в себя и действует на многоугольник так же как отражение относительно этой оси в плоскости многоугольника. Таким образом, группа симметрии диэдра на многоугольнике совпадает с диэдральной группой [pic], но все ее элементы в рассматриваемом случае реализуются вращениями. Эта группа обозначается [pic] и называется пространственной диэдральной.(заметим, что [pic]). 2. Тетраэдр. [pic] Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Это единственный правильный многогранник не имеющий центра симметрии . Повороты, переводящие тетраэдр в себя это, прежде всего, вращения на углы, кратные 2(/3 вокруг 4 осей, проходящих через вершину и центр противоположной грани (ось L на рисунке 1). Кроме того тетраэдр само совмещается при поворотах на угол 180( вокруг осей, соединяющих середины противоположных ребер (ось M на рисунке 1). Таким образом группа тетраэдра T содержит 12 элементов. 3. Октаэдр и куб. Эти два многогранника двойственны в следующем смысле: центры граней куба являются вершинами октаэдра и наоборот - центры граней октаэдра суть вершины куба (рис. 2, 3) [pic][pic] Куб имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин, а октаэдр соответственно 8,12 и 6.Перечислим повороты, которые переводят куб в себя. Прежде всего это вращения на углы кратные (/2 вокруг трех осей, проходящих через центры противоположных граней (ось L). Затем это вращения на углы кратные 2(/3 вокруг 4-х осей, проходящих через противоположные вершины (ось N). Наконец имеется еще 6 поворотов на углы ( вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер (ось M).Добавляя тождественное преобразование мы получаем группу октаэдра W (она же группа куба) из 24 элементов. 4. Икосаэдр и додекаэдр. Эти два многогранника находятся в такой же двойственности, как куб и октаэдр - центры граней одного из них являются вершинами другого и поэтому их группы симметрий совпадают. [pic] Икосаэдр имеет 20 граней, 30 ребер и 12 вершин, а додекаэдр соответственно 12, 30 и 20. Группа икосаэдра содержит повороты на углы кратные 2(/3 вокруг 10 осей, проходящих через центры противоположных граней, повороты на углы кратные 2(/5 вокруг 6 осей, проходящих через противоположные вершины и, наконец, повороты на ( вокруг 15 осей, проходящих через середины противоположных ребер. Вся группа икосаэдра P содержит 60 элементов. Замечание 1. По теореме 12 полные группы симметрии многогранников (включающие и перемещения с определителем (-1) ) содержат ровно вдвое больше элементов, чем группы [pic] - симметрий. Это группы[pic], [pic], содержащие соответственно 4n, 24, 48 и 120 элементов- поворотов и зеркальных поворотов. Замечание 2. Группы правильных многогранников можно задавать соответствующим набором кватернионов. Напомним, что поворот на угол ( вокруг оси, заданной единичным вектором [pic] задается кватернионом q = cos(/2 +nsin(/2. Приведем (без обоснования ) описание групп T, W и P с помощью кватернионов. Группа T. Выберем оси координат так, чтобы они проходили через середины противоположных ребер тетраэдра (эти прямые попарно ортогональны). Рассмотрим 16 единичных кватернионов вида [pic], а также 8 кватернионов [pic] Оказывается, что произведение любых двух кватернионов указанного вида снова будет кватернионом такого же вида. Всего мы имеем 24 кватерниона. Если рассмотреть повороты, заданные этими кватернионами, то учитывая, что q и (-q) задают одинаковые вращения, получаем группу вращений из 12 элементов. Оказывается, что это в точности группа T. Группа W. Здесь естественно выбрать оси, параллельные ребрам куба. К рассмотренным выше 24 кватернионам добавим еще 24 вида [pic], где s и t какая то пара (различных) единиц 1, i, j, k. Всего получаем 48 кватернионов, которые задают группу вращений пространства из 24 элементов. Оказывается, что это в точности группа W. Отметим, что, по построению [pic] - подгруппа. Это включение возникает потому, что тетраэдр можно вписать в куб - две пары противоположных вершин параллельных граней куба являются вершинами тетраэдра и каждый поворот, входящий в группу T переводит куб в себя, то есть содержится в группе W. Группа P. В качестве координатных осей выберем диагонали трех смежных граней додекаэдра. Рассмотрим 24 кватерниона из первого примера. Присоединим к ним еще 96 единичных кватернионов, которые получаются следующим образом. Рассмотрим 4 числа [pic], [pic], [pic], [pic]. Заметим, что [pic] Пусть [pic] - четная перестановка индексов 1, 2, 3, 4 . Рассмотрим числа [pic] Их действительно 96, поскольку [pic]. Всего получается 120 кватернионов, задающих группу P из 60 элементов. 15.Классификация конечных групп вращений в пространстве. Теорема 16. Всякая конечная подгруппа [pic] совпадает с одной из групп [pic]; [pic] [pic] Доказательство. Мы докажем только, что всякая такая группа содержит столько же элементов, что и одна из групп указанных в списке. Остающуюся (чисто геометрическую!) часть рассуждений мы оставляем читателю. Пусть G состоит из N элементов. Каждый элемент [pic], отличный от тождественного представляет собой вращение вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат О. Назовем полюсами точки пересечения этих осей со сферой радиуса 1 с центром О. Пусть [pic]- множество всех полюсов. Если s -вращение вокруг оси l, проходящей через полюс x , то s(x) = x. Если g(x) = y , то [pic], то есть [pic]- вращение с полюсом y. Значит, G - группа преобразований множества X. Пусть [pic] орбиты G на X. Число полюсов в орбите [pic] согласно теореме 10 равно [pic], где [pic]- порядок стабилизатора орбиты. Значит, [pic]. Заметим, что [pic]. По лемме Бернсайда [pic].Отсюда получаем: [pic]. Если N=1, то [pic]. Пусть N>1. Тогда правая часть последнего равенства - число ( между 1 и 2 (1((((). Поэтому k>1. Но, поскольку [pic], каждое слагаемое слева не меньше 1/2. Поэтому, 4 или больше слагаемых слева быть не может. Итак, k =2 или k =3. Если k =2 , то [pic] или [pic], откуда [pic]. Два полюса (на одной оси!) порядка N соответствуют случаю группы [pic]. Пусть теперь k = 3. Соотношение принимает вид: [pic]. Пусть [pic]. Если [pic], то сумма слева меньше 1, что невозможно. Значит, [pic] и равенство принимает вид: [pic]. Если [pic], то сумма не больше 1/2, что невозможно. Итак, [pic] или =3. Если [pic], то [pic]. Это случай группы [pic]. Пусть, наконец, [pic]. Имеем: [pic], откуда [pic]. Для [pic] находим N = 12, что соответствует случаю группы T. Для [pic] получаем N = 24 - случай группы W, Наконец при [pic] - N = 60 и мы приходим к группе P. 16.Пространственные группы, содержащие зеркальные отражения. Пусть ( конечная группа перемещений в пространстве содержащая преобразования с определителем (-1). По теореме 12 такая группа содержит 2n элементов [pic], причем первые n ее элементов имеют определитель 1 и составляют подгруппу G=G(() , а последние n имеют определитель (-1) и получаются из элементов подгруппы путем их умножения на любой фиксированный элемент g с определителем (-1): [pic] Напомним, что буквой Z была обозначена симметрия относительно начала координат (зеркальный поворот на (). Это перемещение перестановочно с любым другим и [pic]. Теорема 17. Пусть ( конечная группа перемещений в пространстве и [pic]. Если G(() = {[pic]}, то ( = {[pic][pic]}. Доказательство. Теорема очевидна, так как det(Z) = -1. Замечание. Группа ( в этом случае обозначается [pic] Теорема 18. Пусть ( конечная группа перемещений в пространстве и [pic]. Если G(() = {[pic]}, то множество [pic] является группой [pic]- преобразований . Обратно, если Г любая группа вращений из 2n элементов, содержащая G, то, домножая все элементы из Г-G на Z, получаем группу перемещений (, для которой G(() = G. Доказательство. Надо проверить, что [pic]и [pic]. Если [pic], то эти условия выполнены поскольку G - группа преобразований. Если [pic],то ни один из элементов [pic] не входит в G и потому это множество совпадает с множеством { [pic]}. Поэтому [pic] [pic]. Аналогично, поскольку ни один из элементов [pic] не входит в G, все произведения [pic] и потому [pic][pic]. Таким же образом убеждаемся, что [pic] и, значит, [pic][pic]. Обратное утверждение теоремы проверяется точно таким же образом. Замечание. Стандартное обозначение для ( в этом случае - [pic]. Следствие. Конечная группа перемещений пространства, содержащая зеркальные вращения совпадает с одной из групп ( в скобках указаны их порядки): [pic](2n), [pic](4n), [pic](24), [pic](48), [pic](120); [pic](2n), [pic](2n), [pic](4n), [pic](24). Замечание 1. Полные группы симметрий правильных многогранников получаются по способу, указанному в теореме 17, если этот многогранник имеет центр симметрии. В противном случае используется конструкция теоремы 18. Следовательно, это следующие группы: [pic], [pic], [pic], [pic], [pic]. Замечание 2. Назовем флагом многогранника тройку ((( R, v), где (- некоторая его грань, R - одно из ребер, ограничивающих эту грань и v - вершина, лежащая на этом ребре. Многогранник называется правильным (это одно из возможных определений ), если для любых двух его флагов [pic] и [pic] существует перемещение, переводящее многогранник в себя и отображающее первый флаг во второй. Поскольку перемещение оставляющее флаг неподвижным очевидно является тождественным, мы видим, что порядок группы G правильного многогранника совпадает с количеством его флагов. Таким образом, [pic]=2Г(, где Г - количество его граней, ( - количество ребер, ограничивающих некоторую грань, 2 - количество вершин на ребре.