Материалы сайта
Это интересно
Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ (продолжение) 9. Группы преобразований Пусть X некоторое множество, Sym(X) - множество всех взаимно однозначных отображений X на себя. Элементы [pic]называются преобразованиями множества X.. Композиция двух таких преобразований будет называться их произведением. Таким образом , (fg)(x) = f(g(x)). Отметим, что это произведение ассоциативно: (fg)h = f(gh).Для каждого преобразования f имеется обратное преобразование [pic]. Непустое множество G преобразований X называется группой преобразований, если: 1. [pic] 2. [pic] Заметим, что каждая группа преобразований G содержит тождественное преобразование i. В самом деле, пусть [pic] - любой элемент. Тогда [pic] и значит [pic]. Число элементов в G, если оно конечно, называется порядком группы преобразований. Если H и G две группы преобразований множества X и [pic], то H называется подгруппой G. Приведем два основных примера групп преобразований. Пусть [pic] - любое подмножество и [pic] любая группа преобразований. 1. Множество всех таких преобразований [pic], что [pic] f(y) =y образует подгруппу [pic] (сиационарные на Y преобразования). 2. Множество всех таких преобразований [pic], что [pic] [pic]образует подгруппу [pic] (G - симметрии множества Y). Приведем теперь более конкретные примеры. 1. Если X ={ 1, 2, ... , n } то группа Sym(X) обозначается [pic] и состоит из всех подстановок степени n . Эта группа состоит из n! элементов. 2. Множество [pic] всех перемещений n - мерного пространства образует группу преобразований [pic]. [pic] - подгруппа. 3. Пусть [pic] некоторая точка (начало координат). Группа [pic] состоит из всех перемещений сохраняющих начало координат. Как нам известно, такие перемещения можно отождествить с ортогональными операторами в [pic]. Эта группа называется группой ортогональных преобразований n - мерного пространства и обозначается [pic]. Каждое перемещение имеет определитель (1 . Множество перемещений с определителем 1 образует группу, которая обозначается [pic](специальная группа). Аналогичный смысл имеет обозначение [pic]. 4. Пусть Y - прямоугольник (не квадрат!) на плоскости [pic]. Группа [pic]состоит из четырех преобразований: тождественного, поворота на 180( и двух отражений относительно взаимно перпендикулярных осей. Стандартное обозначение этой группы [pic]. Аналогично, группа [pic]из двух элементов и обозначается [pic]. 5. Пусть Y - правильный n - угольник ( n = 3, 4, ... ) на плоскости. Группа [pic] состоящая из 2n элементов обозначается [pic], а [pic] - [pic] и состоит из n элементов. Первая из них называется диэдральной, а вторая - циклической . Смысл этих названий будет пояснен в дальнейшем. По определению будем считать, что группа [pic] состоит из одного тождественного перемещения i. 6. Пусть Y - фигура, образованная бесконечной в обе стороны последовательностью букв Г: ...Г Г Г Г ...Если h - вектор, начало которого совпадает с «углом» одной из этих букв, а конец с «углом» соседней, то группа [pic]состоит из переносов на векторы равные nh , где n = 0, (1, ((( ... . Эта группа называется бесконечной циклической и обозначается [pic]. 7. Орбиты и стационарные подгруппы. Пусть G группа преобразований множества X, [pic] некоторая точка. Множество[pic] называется орбитой точки x. Подгруппа [pic]называется стационарной подгруппой точки x. Приведем некоторые примеры. 1. Рассмотрим группу G =[pic] вращений плоскости вокруг некоторой точки P. Если x некоторая точка плоскости отличная от P, то ее орбита [pic]представляет собой окружность с центром P радиусом d(x , P). Орбита же точки P состоит из этой единственной точки. Стационарная подгруппа в первом случае тривиальна (то есть состоит из одного тождественного перемещения), а во втором совпадает со всей группой [pic]. 2. Возьмем группу G = [pic] симметрий правильного треугольника ABC на плоскости (см. пример 5 выше). Пусть [pic] оси симметрии треугольника, пересекающиеся в центре треугольника точке P. Если точка x плоскости не лежит ни на одной из осей симметрии, то ее орбита состоит из 6 точек, являющихся вершинами шестиугольника со сторонами перпендикулярными этим осям. Стационарная подгруппа в этом случае тривиальна. Если x лежит на одной из осей, но не совпадает с P, то [pic] - правильный треугольник с вершинами на осях симметрии, а группа St(x) совпадает с [pic]. Наконец, [pic] состоит из единственной точки P, а St(P) совпадает со всей группой [pic]. 3.Пусть X ={ 1, 2, ... , n }, G = [pic]. Орбита любой точки [pic] совпадает со всем множеством X. В этом случае группа называется транзитивной на множестве. Установим теперь некоторые общие свойства орбит и стационарных подгрупп. Теорема 8 Пусть G группа преобразований множества X. Тогда: 1. [pic] 2. [pic] 3. [pic] Доказательство. Как отмечалось выше, тождественное преобразование i содержится в любой группе преобразований. Следовательно, i(x) = x[pic] и первое утверждение доказано. Если [pic], то y = g(x) для некоторого g[pic]. Если [pic] любой элемент, то [pic](y) = [pic] и потому [pic]. Но поскольку x =[pic](y) и значит [pic]справедливо и обратное включение. Тем самым доказано и второе утверждение. Наконец, если [pic]и z =g(y) = [pic](x), то y = [pic](x), то есть [pic], что доказывает третье утверждение. Следствие. Любая группа G преобразований множества X задает разбиение ( этого множества на непересекающиеся непустые подмножества - орбиты [pic]: [pic] . Теорема 9. Пусть, как и выше G группа преобразований множества X. Если x = g(y), то отображение [pic] является взаимно однозначным соответствием между подгруппами St(x) и St(y). Доказательство. Поскольку [pic], отображение ( имеет обратное: [pic] и потому взаимно однозначно на множестве X. Если [pic] то есть h(x) = x, то ((h)(y) = [pic]= [pic](h(g(y))) = [pic](h(x)) = [pic](x) = y. Следовательно, [pic]. Аналогично, [pic] [pic], что и требовалось. Следствие. Если x и y точки одной орбиты и St(x) конечная группа из k элементов, то и St(y) - конечная группа из k элементов. Число k называется порядком стабилизатора орбиты. Теорема 10. Пусть G конечная группа преобразований множества X . Число элементов орбиты [pic] равно [pic], где [pic] - число преобразований в G, а k - порядок стабилизатора орбиты. Доказательство. Пусть y[pic] любой элемент, y = g(x). Если[pic], то (gh)(x) = g(h(x)) = g(x) = y. Обратно, если (gh)(x) = y, то h(x) = [pic](y) = x и, следовательно, [pic]. Итак, количество элементов G, переводящих x в y равно порядку стабилизатора орбиты k. Следовательно, общее число элементов G равно числу элементов орбиты, умноженному на k, что и требовалось доказать.