Материалы сайта
Это интересно
Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ (продолжение) 11. Конечные группы перемещений. В этом параграфе будут установлены некоторые общие свойства конечных подгрупп группы [pic], n = 1, 2, 3 .Пусть G - такая подгруппа. Теорема 11. Все перемещения из группы G имеют общую неподвижную точку: [pic]. Доказательство. Пусть задан набор чисел [pic]и система точек [pic] в пространстве [pic]. Выберем начало координат [pic]и зададим точки радиусами векторами [pic]. Положим [pic]. Если выбрать другое начало координат, то радиусы векторы изменятся: [pic]. Следовательно, [pic]. Мы видим, что положение точки P с радиусом вектором r не зависит от выбора начала при условии, что [pic]. В частности можно взять [pic]. Соответствующая точка [pic] называется центром тяжести данной системы точек. Пусть [pic]. Выберем любую точку [pic] и пусть О центр тяжести орбиты точки P: [pic]. Пусть теперь [pic] произвольный элемент. Поскольку орбиты точек P и g(P) совпадают, имеем: [pic], что и требовалось. Замечание. Если выбрать неподвижную точку O за начало координат, то можно считать, что G - подгруппа группы [pic]. Теорема 12. Пусть [pic] - все те перемещения группы G, которые имеют определитель 1. Предположим, что в G содержится также перемещение g с определителем (-1). Тогда все элементы [pic]попарно различны и задают полный список перемещений из G с определителем (-1). Доказательство. Умножая равенство [pic] на [pic], получаем: [pic] и потому указанные элементы различны между собой. Поскольку определитель произведения равен произведению определителей, все эти перемещения имеют определитель (-1). Остается проверить, что данный список содержит все перемещения с определителем (-1). Пусть [pic]такое перемещение. Элемент [pic]имеет определитель 1 и потому равен одному из элементов [pic]. Но тогда [pic] [pic]. 12. Конечные группы перемещений плоскости. Теорема 13. Пусть [pic] подгруппа, состоящая из n элементов. Тогда G совпадает с циклической группой [pic]. Доказательство. Будем интерпретировать [pic] как множество всевозможных поворотов [pic] плоскости [pic] на угол ( вокруг некоторой точки O. Пусть [pic] любая точка отличная от О. Если [pic], то [pic] - тождественное преобразование. Следовательно, St(A,G) - тривиальная подгруппа и по теореме 10 орбита [pic] состоит из n точек, расположенных на окружности радиуса d(O,A) с центром О. Будем проходить окружность в положительном направлении и последовательно нумеровать точки орбиты : [pic] ([pic]). Из всех углов [pic]=[pic] выберем наименьший [pic].Если [pic], то преобразование [pic] и переводит точку [pic] в точку [pic], то есть g = [pic]. Но тогда, если [pic] - любая точка орбиты, то [pic] также точка орбиты и, поскольку внутри дуги [pic] нет точек орбиты, из предположения [pic] следовало бы, что угол [pic] меньше (, что невозможно. Итак, [pic]. Отсюда следует, что ((((/n, точки орбиты - вершины правильного n -угольника Y и G совпадает с множеством всех поворотов, которые переводят Y в себя, что и требовалось. Замечание. Мы не исключаем случаи n = 1 или 2. В первом случае [pic] - тривиальная группа, а во втором она содержит тождественное перемещение и поворот на 180(. Теорема 14 Всякая конечная группа G перемещений плоскости совпадает с одной из групп [pic] или [pic]([pic] - группа, состоящая из тождественного преобразования и отражения относительно некоторой прямой.). Доказательство. По теореме 11 можно считать, что все преобразования из G имеют общую неподвижную точку О так что [pic]. Если все преобразования из G имеют определитель 1 , по предыдущей теореме G совпадает с одной из циклических групп. Пусть в G имеется преобразование g с определителем (-1). По теореме 12 полный список элементов G включает n поворотов [pic] и n отражений [pic]. Повороты, входящие в G, образуют подгруппу [pic], совпадающую с [pic] по предыдущей теореме. Пусть [pic] - прямые, относительно которых происходят отражения (зеркала из G). Заметим, что все эти прямые проходят через начало координат О. Если [pic] и g - любой элемент этой группы, то [pic] - отражение относительно прямой g(l). Значит, G - группа преобразований множества [pic]. Отсюда следует, что [pic] - диагонали правильного 2n - угольника [pic] с центром О. Поэтому [pic]- правильный n угольник и G реализуется как его группа симметрий то есть [pic].(Случаи n = 1 и n = 2 следует рассмотреть отдельно). 13. Лемма Бернсайда Чтобы продвинуться дальше в изучении конечных групп преобразований установим важный результат о количестве орбит такой группы. В следующей теореме предполагается, что G - конечная группа преобразований конечного множества X. Знак модуля используется для обозначения числа элементов соответствующего множества. Обозначим через Fixg множество неподвижных точек преобразования g[pic]: [pic]. Теорема 15. Число N = N(X,G) орбит группы G на X дается формулой: [pic]. Доказательство. Напомним, что по теореме 10 [pic], где k порядок стабилизатора орбиты, то есть число элементов группы St(x,G). Пусть [pic] - все орбиты G и [pic] - любой элемент. Тогда [pic] и потому [pic]. Как нам известно, [pic], если x и [pic] точки одной орбиты. Поэтому формулу можно записать в виде: [pic] (1) Для всех [pic] и [pic] определим функцию ((x,g) =[pic]. Заметим, что[pic] ; [pic]. Поэтому (1) можно переписать: [pic], что и требовалось. Пример Стандартный пример применения леммы Бернсайда - перечисление объектов, обладающих определенной симметрией. Подсчитаем, например, количество правильных шестиугольников вершины которых помечены символами 1 и 2, причем одинаковыми считаются такие помеченные фигуры, которые совмещаются при некотором повороте («проблема ожерелья с 6 бусинками»). Здесь элементами множества X являются правильные шестиугольники (в некотором стандартном расположении на плоскости), у которых в вершинах расставлены символы 1 и 2. Ясно, что всего имеется [pic]=64 таких фигур. Группа [pic] является группой преобразований X и надо подсчитать число орбит. Используя лемму Бернсайда, сводим задачу к вычислению [pic] для каждого [pic]. Принадлежность некоторого помеченного шестиугольника этому множеству означает, что те его вершины, которые переходят друг в друга при повороте g имеют одинаковую метку. Если g - тождественное преобразование, то [pic] и содержит 64 элемента. Если g поворот (в ту или другую сторону) на 60(, то все вершины шестиугольника из [pic]имеют одинаковые метки и потому их количество равно 2. Аналогично, для поворота на 120( [pic] состоит из 4, а для поворота на 180( - из 8 элементов. Отсюда находим число орбит: N=1/6*(64+2*2+2*4+8) = 14. Если помеченные шестиугольники можно не только поворачивать, но и подвергать отражению, то группа преобразований увеличивается до [pic], а число орбит, как нетрудно подсчитать, уменьшается до 13. Другой пример применения леммы Бернсайда будет дан в следующем параграфе.