Материалы сайта
Это интересно
Поля и Волны
Лекция 5 Классификация ЭМП 5.1. Статические поля. 5.2. Стационарные поля. 5.3. Квазистационарные поля. 5.4. Относительность свойств реальных сред. 5.5. Быстропеременные поля. В основе классификации ЭМП лежат 2 критерия: 1. Зависимость полей от времени. 1. Соотношение между токами проводимости и смещения. 5.1. Статические поля. Статические поля не зависят от времени : ( [pic]= 0 ( (см = 0 ( Заряды неподвижные (пр = 0. Уравнения Максвелла: ( ( 1. rot H = 0; 2. rot E = 0 ( ( 3. div B = 0; 4. div D = ( ( ( ( ( B = (a H; D = (a E (5.1.1.) В статических полях электрические и магнитные явления проявляют себя независимо. Уравнения Максвелла распадаются на 2 системы: ( ( ( rot H = 0 ( rot E = 0 ( ( ( ( ( div B =0 ( div D = ( (5.1.2.) 5.2. Стационарные поля. Стационарные поля не зависят от времени [pic] =0 ( (см = 0 ; (пр ( 0: ( ( rot H = (пр - магнитное поле становится вихревым ( div B = 0 ( ( ( ( B = (a H (пр = ( Е ( ( rot E = 0 div D = ( ( D = (a E (5.2.1.) Поля зависят друг от друга. Электрическое поле не вихревое, магнитное вихревое. 5.3. Квазистационарные поля. [pic] ( 0 ( (см ( 0 Процессы медленно изменяются во времени. ( ( rot H = (пр rot E = - [pic] ( ( div B = 0 div D = ( ( ( ( ( B = (a H D = (a E (пр >> (пр (5.3.1.) Эти поля детально изучаются в ТЭЦ. 5.4. Относительность свойств реальных сред. В реальных средах существуют токи проводимости и токи смещения. Рассмотрим поведение реальных сред в переменных полях. Е = Е0 cos ( t (5.4.1.) (пр = ( E = ( E0 cos (t (5.4.2.) (см=[pic]=[pic]((aE)=[pic]((aE0cos(t)=-((aE0sin(t (5.4.3.) ((пр( = ( E0 [pic]= [pic]= tg ( - тангенс угла диэлектрических потерь ((см( = ( (а Е0 (5.4.4.) если tg ( >> 1 - проводящая среда. tg ( << 1 - диэлектрическая среда. С ростом частоты все среды тяготеют к диэлектрикам. 5.5. Быстропеременные поля 5.5.1. Гармонические процессы и метод комплексных амплитуд. 5.5.2. Уравнения Максвелла в комплексной форме. 5.5.1. Гармонические процессы и метод комплексных амплитуд. Из-за того, что процесс очень быстро изменяется по времени, то : [pic] >> ( (пр( (производные по времени большие) Уравнения Максвелла принимают вид: ( ( ( ( ( rot H = (см ; rot E = -[pic]; div D = ( ; div B = 0 (5.5.1.1.) В дальнейшем в курсе мы будем иметь дело с таким классом полей, т.е. быстропеременным. Из всего многообразия временных зависимостей полей в нашем курсе мы рассмотрим группу, где поля изменяются по гармоническому закону: ( cos (t V = V0 (cos или sin непринципиально + [pic] ( sin (t Метод комплексных амплитуд имеет те же предположения, что и в курсе ТЭЦ, мы несколько распространим его на векторные величины. ( ( V = V0 cos (t - в общем виде записана производная векторная величина, изменяющаяся по гармоническому закону. Как выражается такая величина в методе комплексных амплитуд ? ( ( ( V = V0 cos (t ( V = V0 e ((( - временная зависимость. Как вернуться к исходному вектору без точки? Какая теорема используется ? Теорема Эйлера. ( __ V = Re V = V0 cos (t ( ( __ ( ( V = V0 cos ((t + () ( V = V0 e ((((((( = V0 e ((( ( ( V0 = V0 e (( В этом методе на амплитуду ничего не действует. Вывод: 1. В окончательных выражениях зависимость от времени исчезает хотя она всегда известна, ее можно восстановить. 1. Значительно упрощается дифференцирование и интегрирование по времени, дифференцируем ( умножаем на j( , интегрируем ( делим на j( ( __ [pic]= V0 j( e ((( = V j( Средняя мощность: Рср = [pic]U I*; Рсракт = Re ([pic]U I*); Рсрреак = Im ([pic]U I*) ( __ __ П = [pic] [E x H*] ( Пактср = [pic]Re П ( Преакср = [pic]Im П 5.5.2. Комплексные уравнения Максвелла Комплексные уравнения Максвелла являются дифференциальной формой законов электромагнетизма для гармонических процессов: ( ( ( ( ( E = E0 cos ((t + (E) ( E0 e ((( ; E0 = E0 e ((e ( ( ( ( ( D = D0 cos ((t + (D) ( D0 e ((( ; D0 = D0 e ((d ( ( ( ( ( H = H0 cos ((t + (H) ( H0 e ((( ; H0 = H0 e((h ( ( ( ( ( B = B0 cos ((t + (B) ( B0 e ((( ; B0 = B0 e ((b (5.5.2.1.) Применим метод комплексных амплитуд к этому процессу: ( ( D = ( a E Формально можно записать хотя деление векторов не встречается. (a =[pic]; где (а - комплексная диэлектрическая проницаемость [pic] = [pic]e (((d((e( = (a e (((D((E( = (`a - j(``a (5.5.2.2.) В общем случае фаза, с которой изменяется вектор D и вектор Е могут неравны (D - (E ( 0, т.е. возможно опережение или отставание. В гармонических полях абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемости величины комплексные: . (a = [pic]= (a e (((b((h( = (`a - j(``a (5.5.2.3.) Площадь петли равна энергии на перемагничевание. В любых магнитных материалах имеется запаздывание ( ( вектора В относительно Н. Уравнения Максвелла ( ( ( ( rot H = (пр + (см = ( E + [pic] - в обычной дифференциальной форме. Покажем, что уравнения Максвелла относительно временных процессов являются линейными. ( ( ( H = H0 cos (t ( rot H0 cos (t ( ( ( ( ( применяем операцию rot. H = j H0 sin (t ( rot j H0 sin (t ( ( rot H0 (cos (t + j sin (t) = rot H0 e ((( Применим первое уравнение Максвелла к векторным характеристикам полей, записанных в комплексной форме: ( ( ( ( rot H0 = ( E0 + j ( (a E0 = j ( E0 ((a - j [pic]) ( D0 (a ( ( (5.5.2.4.) rot H0 = j ( (a E0 в комплексной форме отсутствует зависимость от времени. (a = (a - j[pic]= (`a - j(``a где: (`а = (a - характеризует процессы поляризации. (``a = [pic]- характеризует джоулевые потери. По аналогии второе уравнение Максвелла: ( . ( rot E0 = - j ( (a H0 (5.5.2.5.) ( ( div D = ( ; div B = 0 Третье и четвертое уравнения не реагируют на время, не зависят от того, какой процесс гармонический или нет. Для гармонических процессов третье и четвертое уравнения теряют смысл, они входят в первое и второе. ( ( ( rot E = - j ( (a H0 = - j ( B0 (5.5.2.6.) Применим к правой и левой части уравнения (5.5.2.6.) операцию div: ( ( div rot E = - j ( div B0 ((( ( 0 ( div B0 = 0 Метод комплексных амплитуд позволил существенно упростить описание полей, т.к. требуется только два уравнения: ( ( rot H = j ( (a E (а = (а` - j (a`` ( ( rot E = - j ( (a H (a = (a` - j (a`` В дальнейшем черточку опускаем, но всегда имеем в виду, что комплексная форма, т.к. присутствует символ j.