Материалы сайта
Это интересно
Поля и Волны
Лекция 3 Уравнения Максвелла. Дифференциальные уравнения электромагнитного поля. 3.1. Первое уравнение Максвелла. 3.2. Второе уравнение Максвелла. 3.3. Третье уравнение Максвелла. 3.4. Четвертое уравнение Максвелла. 3.5. Закон сохранения заряда в дифференциальной форме. 3.6. Таблица уравнений ЭМП. 1. Интегральные уравнения не позволяют получать информацию об электромагнитных процессах в каждой точке пространства. Они дают усредненные решения полей в пространстве. 2. Хорошо развитый аппарат математических решений позволят переходить от интегральной формы к дифференциальным решениям. Впервые переход от интегральных уравнений к дифференциальным сделал Максвелл. 3.1. Первое уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой закона полного тока: (( [pic]H dl = Iпол ; Iпол = Iпр + Iсм L ( ( ( ( ( Iпол = ( (полн dS ; (пол = (пр + (см (3.1.1.) S S - опирается на контур L. (( ( ( [pic]H dl = ( (полн dS (3.1.2.) L S Используем теорему Стокса: (( (( ( ( [pic]H dl = ( rot H dS = ( (полн dS (3.1.3.) L S S Равенство сохраняет силу по любой поверхности, опирающейся на контур L, отсюда следует, что подынтегральные функции равны. ( ( ( ( rot H = (полн ; (пр = (E - дифференциальная форма закона Ома. ( (см = [pic] rot H = ( E + [pic] - первое уравнение Максвелла. (3.1.4.) Физический смысл 1-го уравнения Максвелла. Источниками вихревых магнитных полей являются токи проводимости и токи смещения. 3.2. Второе уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой закона электромагнитной индукции: (( ( [pic]E dl = - ( [pic]dS ; (3.2.1.) L ( ( S ( ( rot E dS = - ([pic] dS (3.2.2.) S S ( rot E = - [pic] - второе уравнение Максвелла. (3.2.3.) Физический смысл. Вихревое электрическое поле создается переменным магнитным полем. 3.3. Третье уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой теоремы Гаусса для электрических полей. ( ( [pic]D dS = Q (3.3.1.) S Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса, которая позволяет осуществить переход от ( поверхностного интеграла П (D) к объемному интегралу от (div D): ( ( ( [pic]D dS = ( ( ( div D dV (3.3.2.) S V Запишем правую часть уравнения (3.3.1.) для объемного заряда. Объединим два выражения: Q = ( ( dV V ( ( div D dV = ( ( dV ( v v ( div D = ( - третье уравнение Максвелла. (3.3.3.) Физический смысл. Источниками электрического поля (векторов Е и D) являются заряды с плотностью (. 3.4. Четвертое уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой теоремы Гаусса для магнитных полей: ( ( [pic]B dS = 0 ; (3.4.1.) S ( div B = 0 - четвертое уравнение Максвелла. (3.4.2.) Физический смысл. Дивергенция вектора В в любой точке пространства равняется нулю, т.е. - источников нет (магнитные заряды в природе отсутствуют). Нет ни стыков, ни источников. 3.5. Закон сохранения заряда в дифференциальной форме: [pic] Используем теорему Остроградского-Гаусса: ( ( div (пр dV = - ( [pic]dV ( v v ( (3.5.1.) div (пр = - [pic] - это уравнение является следствием из предыдущих уравнений 3.6. Таблица интегральных и дифференциальных уравнений электромагнитного поля. Материальные уравнения cреды. ( ( D = (a E Все эти уравнения являются обобщением в математической форме опытов всего человечества об электромагнитных явлениях. Они не доказываются и не выводятся - это результат опытов. ( ( B = (a H ( ( (пр = ( E ( ( (см = (D / (t |Интегральные уравнения |Дифференциальные уравнения | |электромагнитного поля |электромагнитного поля. | | |Уравнения Максвелла | |1.Закон полного тока: | ( ( | |( ( |rot H ( E + [pic] | |[pic]H dl = Iпр + Iсм |( ( ( | |L |rot H = (пр + (см | | | | |2.Закон электромагнитной |( | |индукции: |rot E = - [pic] | |( ( ( | | |[pic]E dl = - ( [pic]dS | | |L S | | |3.Теорема Гаусса для |( | |электрических полей: |div D = ( | |(( | | |[pic]D dS = Q | | |4.Теорема Гаусса для | | |магнитных полей: |( | |( ( |div B = 0 | |[pic]B dS = 0 | | |5.Закон сохранения заряда |( | |( ( |div (пр = - [pic] | |[pic](пр dS = - ( [pic]dV | | |S V | |