Материалы сайта
Это интересно
Лазерная система для измерения статистических характеристик пространственных квазипериодических структур
5. Математическая модель измерительной системы Оптическая система КОС, выполненная по схеме “входной транспарант перед фурье-объективом”, состоит из ряда последовательно расположен-ных вдоль оптической оси узлов: источник когерентного излучения, входной транспарант, фурье-объектив, фоторегистратор спектра (рис.2). В такой системе, для получения высококонтрастного и сфокусирован-ного изображения исследуемого сигнала, источником когерентного излу-чения является точечный источник, излучаемое поле которого описывается функцией: [pic] (5.1), где А0-амплитуда световой волны источника; [pic] - дельта- функция Дирака. Кроме того, в оптике принято считать источник точечным, если его размеры в десять и более раз меньше растояния до оптической системы, что обычно всегда имеет место на практике для КОС. Тогда, распределение поля [pic] в плоскости х1у1 согласно принципу Гюйгенса-Френеля, будет описываться выражением : [pic] (5.3), где [pic]- оператор преобразования Френеля ; СФ- комплексная постоянная, равная [pic]. Если в плоскости х1у1 помещен пространственный транспарант с амплитудным коэфициентом пропускания [pic], являюшийся записью исследуемого сигнала, то распределение поля за транспарантом может быть описано как [pic] (5.2). Применив принцип Гюйгенса-Френеля (5.3), можно определить распре- деление светового поля в плоскости х2у2 перед фурье-объективом, а поле за ним - применив (5.2). Таким образом, распределение поля в плоскости х3у3 анализа будет описываться : [pic] (5.4), где [pic]- оператор Френеля для преобразования поля на i-м участке свободного пространства толщиной li. Рассмотрим последовательно распостранение когерентной световой волны в оптической системе КОС, представленной на рис. 2. Подставив (5.1) в (5.3), определим распределение светового поля во входной плоскости х1у1 перед транспарантом [pic] [pic] [pic], где [pic] (5.5). Выражение (5.5) получено с использованием фильтрующего свойства дельта- функции и описывает расходящуюся сферическую волну в плоскости х1у1 перед входным транспарантом в параксиальном приближении. Исполь-зование фильтрирующего свойства [pic] -функции допустимо в силу прост-ранственной инвариантности рассматриваемой параксиальной области оптической системы. Такое допущение обычно всегда имеет место на прак-тике, поскольку для уменшения влияния аберраций оптической системы на качество фурье-образа, используют лишь ее центральную часть - парак-сиальную область. Определив распределение поля за входным транспарантом [pic] c ис- пользованием (5.2), поле во входной плоскости фурье-объектива, согласно принципу Гюйгенса-Френеля, можно представить как [pic](5.6), где [pic] - постоянный фазовый коэфициент Френеля; S1 -область интегрирования по аппертуре входного транспаранта. Распределение поля в плоскости х2у2 за фурье-объективом, согласно (5.2) будет [pic] (5.7), а подставив (5.6) в (5.7) с учетом (5.3), распределение поля в плоскости х3у3 анализа можно представить в виде : [pic] [pic] (5.7), где [pic] (5.8). Поскольку переменные х1, у1 и х2, у2 интегрирования, в полученном выражении (5.7), являются величинами взаимонезависимыми, то их можно поменять местами, а (5.7) примет вид: [pic] [pic] (5.9), где [pic] (5.10), а [pic]- функция зрачка фурье-объектива, удовлетворяющая условиям (5.10) финитности в области [pic]. Для анализа выражения (5.9), рассмотрим отдельно внутренний интег-рал, который описывает суперпозицию светового поля по входной аперту-ре [pic] фурье-объектива и группируя совместно одинаковые экспотенциаль-ные сомножители, упростим его. Формальное увеличение пределов интег-рирования по входной апертуре [pic] фурье-объектива до бесконечности возможно, поскольку размеры входного транспаранта [pic] всегда на мно-го меньше аппертуры [pic] фурье-объектива, а также чем требуется по усло-виям параксиальности Френеля и условию (5.10) финитности функции зрачка фурье- объектива. Поэтому дифракционное изображение сигнала [pic] в плоскости х3у3 анализа ограничено не апертурой [pic] фурье-объек-тива, а апертурой [pic] входного транспаранта. Это влияние уменшается, чем ближе расположен входной транспарант к фурье-объективу, т.е. чем меньше растояние [pic], что обычно всегда выполняется на практике. Учитывая это можно записать [pic] в пределах области интегрирова-ния [pic] [pic] [pic] (5.11). Выражение (5.11) содержит два взаимонезависимых подобных интегра-ла [pic] и [pic], каждый из которых может быть вычислен с использованием табличного интеграла вида : [pic] (5.12). Применив (5.12) к (5.11), но предва-рительно обозначив через [pic], [pic] и [pic] (5.12), выражение (5.11) можно представить в виде : [pic] [pic] (5.13). Подставив (5.13) в (5.9) получим [pic] [pic] [pic] (5.14). Выражение (5.14) описывает пространственное распределение комп-лексных амплитуд светового поля в плоскости х3у3 спектрального анализа и содержит ряд взаимонезависимых квадратичных фазовых сомножителя, по-ле в плоскости х3у3 является фурье-образом поля в плоскости х1у1 за входным транспарантом [pic] с пространственными частотами [pic] и [pic], равными [pic] , и [pic] (5.15) Подинтегральный квадратичный сомножитель в выражении (5.14) для распределения поля в плоскости х3у3 анализа [pic] (5.16), при [pic] (5.17) Решив уравнение (5.17) относительно [pic] определим [pic] (5.18). Полученное уравнение (5.18) представляет собой известное условие Гауса о фокусировке оптической системы, согласно [pic] (5.19) Таким образом, только при условии фокусировки оптической системы, представленной на рис.2, в ней осуществляется спектральное преобразо-вание Фурье, формируемое в плоскости х3у3, над сигналом [pic], поме-щенным во входной плоскости х1у1. Однако, фурье-образ сигнала содержит квадратичную модуляцию фазы волны из-за наличия фазового сомно-жителя, стоящего перед интегралом в выражении (5.14). Наличие фазовой модуляции фурье-образа приводит к тому, что при регистрации его методами голографии в результирующей интерферограмме возникают дополнительные аберрации, значительно влияющие на его качество. Эта модуляция также имеет важное значение и не может быть опущена в случае дальнейших преобразований деталями оптической системы фурье-образа [pic] сигнала [pic]. Однако, квадратичная модуляция фазы фурье-образа может быть устранена при соответствующем выборе геометри-ческих параметров оптической системы, т.е. [pic] (5.20) при [pic] (5.21). Решив уравнение (5.21) относительно [pic] находим [pic] (5.22) при [pic]=0, либо [pic]. Таким образом, квадратическая фазовая модуляция фурье-образа устра- нима лишь в двух случаях: . при размещении сигнального транспаранта в передней фокальной плоскости фурье-объектива, что полностью совпадает с полученными ранее результатами исследований, но лишь для КОС с плоской вол-ной во входной плоскости, т.е. при [pic]. . при [pic], т.е. плоскость х3у3 спектрального анализа должна совпа- дать с плоскостью х2у2 размещения фурье-объектива, что физически нереализуемо в оптической системе, согласно условию Гауса. Учитывая (5.16) и (5.20) выражение (5.14) можно представить в виде: [pic] (5.23), откуда видно, что квадратичные фазовые искажения фурье-образа (5.14) сигнала устранимы не только при освещении входного транспаранта плос-кой, но и сферической волной при выполнении условий (5.18 ) и (5.22). Выходной электрический сигнал ФИС представляет собой решение известной в оптике задачи о набегании светового пятна, распределение освещенности в котором описывается выражением: [pic] , на узкую щеле-вую диафрагму вдоль координаты х3. Наиболее общим методом решения подобных задач является вычисление интеграла свертки функции освещенности с функцией [pic] пропускания полевой диафрагмы ФИС, равной: [pic] (5.24), где [pic]- ширина щели вдоль координаты х3, [pic]- высота щели вдоль координаты у3. Распределение [pic] комплексных амплитуд световой волны в плос- кости х3у3 анализа КОС описывается выражением (5.23) и является прост- ранственно-частотным фурье-образом входного сигнала [pic] т.е. [pic]. Из уравнений Максвелла для электромагнитной волны следует, что энергия преносимая волной, пропорциональна квадрату амплитуды напря-женности электромагнитного поля, т.е. [pic] (5.25), где К - постоянный коэфициент, зависящий от свойств среды, где распостраняется электромагнитная волна [14, 23]. Поэтому пространственно-частотный энергетический спектр [pic] входного сигнала [pic] пропорционален распределению освещенности [pic] в плоскости спектрального анализа КОС, т.е. [pic](5.26), где [pic], [pic]- взаимосвязь между пространственными х(у) и пространственно- частотными [pic] координатами в плоскости спектрального анализа КОС; [pic] комплексная постоянная, определяемая (5.8). Тогда согласно [11, 12] выходной сигнал ФИС с безинерционным фотоприемником, воспринимающим весь световой поток, прошедший через полевую диафрагму, можно определить как [pic] (5.27), где [pic]- интегральная чувствитель-ность фотоприемника; [pic]- положение центра полевой диафрагмы в фиксированный момент времени при измерении сечения спектра [pic] вдоль координаты [pic]. Так как в общем виде интеграл свертки (5.27) вычисляется аналитически лишь для простых элементарных функций, то при вычислении свертки сложных монотонно-гладких функций, значительно отличающихся по шири-не, допускают аппроксимацию результата более широкой функцией, что обеспечивает погрешность не более 6-10% в пределах более широкой функции [10, 17, 18]. Поэтому для повышения точности измерения спектра и упрощения вычисления интеграла (5.27), ширина полевой диафрагмы [pic] выбрана равной 20 мкм, что в десятки раз меньше ширины максиумов функции [pic]. Применительно к рассматриваемому случаю выражение (5.27) с учетом (2.16) и (5.24) может быть представлено в виде [pic](5.28). Полученное выражение (5.28) описывает форму электрического сигнала на выходе ФИС при сканировании энергетического спектра пространствен-ной структуры ЛЗ узкой щелевой диафрагмой. Из (5.28) видно, что форма выходного сигнала ФИС повторяет форму спектра с точностью до коэфи-циента пропорциональности, зависящего от размеров полевой диафрагмы ФИС и коэфициента [pic]- масштаба КОС. Поэтому, измеряя амплитудно-временные параметры выходного электрического сигнала ФИС соответст-вующей аппаратурой, можно реализовать амплитудный метод контроля величины среднего квадратического отклонения ширины щелей в прост-ранственной структурк ЛЗ. При амплитудном методе контроля с помощью КОС величины среднего квадратического отклонения [pic] ширины щелей в пространственной струк-туре ЛЗ необходимо на выходе ФИС измерять величину амплитуд отдельных максимумов ее энергетического спектра на частотых [pic]. Тогда, подставив [pic] в (5.28) с учетом, что [pic] и выполнив ряд алгеб-раических преобразований можно показать, что амплитула [pic]-го максимума спектра, измеряемого на выходе ФИС, будет равна [pic] (5.29), а использовав тож-дество (653.4) из [20], амплитуду [pic]-го максимума спектра представим в виде [pic] (5.30). Из формулы (5.30) видно, что действительно с увеличением порядкового номера [pic] максимумов, амплитуда [pic] их резко убывает. Кроме того, с увеличением параметров [pic] либо [pic], амплитуда макси- мумов спектра убывает по обратнопропорциональной гиперболической тангенциальной зависимости. Поскольку в результате статистических исследований было установлено, что [pic] является практически величиной постоянной [1] по сравнению с диапазоном измерений [pic], то целесообраз-но рассматривать функциональную зависимость амплитуд максимумов спектра от параметра [pic], приняв [pic] постоянным и равным 8 мкм. Однако линейная зависимость амплитуд [pic] максимумов спектра от освещенности [pic] пространственной квазипериодической структуры ЛЗ приведет к значительным погрешностям амплитудного метода контроля лишь абсолютных значений амплитуд [pic] максимумов спектра. Эти погреш-ности возникают из-за нестабильности выходной мощности излучения лазе-ра при температурных дрейфах его резонатора, которая достигает 20-30% от [pic] [19]. Поэтому, используя относительные измерения путем опреде-ления величины отношения [pic] амплитуд [pic]-го и [pic]-го максимумов спектра [pic] (5.31), можно избавиться от влияния временных флуктуаций выходной мощности излучения лазера. Полученное выражение (5.31) является уравнением амплитудного мето-да контроля величины СКО [pic] ширины щелей в пространственной структуре ЛЗ. В работе [1] показано, что для [pic] и [pic] функция [pic] являет-ся монотонно убывающей по мере увеличения [pic]. Однако крутизна измене-ния функции, характеризующая чувствительность метода, функционально зависит от соотношения номеров [pic] и [pic], используемых для измерения максимумов. Поэтому для повышения чувствительности амплитудного мето-да контроля по алгоритму, описанному уравнением (5.31), необходима его оптимизация, т.е. выбор таких номеров [pic] и [pic] максимумов, при которых достигается максимальная чувствительность функции [pic] к изменению параметра [pic]. Согласно теории чувствительности [21, 22] - чувствитель-ность [pic] функции [pic] к изменению СКО [pic] выражается ее первой частной производной по параметру [pic], т.е. [pic] [pic] (5.32), а определив производные (5.30), которые равны [pic] (5.33), [pic] (5.34), и подставив (5.25), (5.33) и (5.34) в (5.32), а также выполнив ряд алгебраических преобразований, получим: [pic] (5.35). Анализ этого выражения выполнен в работе [1]. Получены следующие результаты: . чувствительность [pic] амплитудного метода контроля величины СКО [pic] при [pic] повышается при выборе [pic]-го максимума спект-ра как можно высшего порядка; . с увеличением порядкового номера [pic], а также параметра [pic] амплитуды максимумов резко уменшаются. Это может привести к значительным техническим сложностям измере-ний на фоне шумов, а также к снижению чувствительности измерительной системы. Поскольку шумы на выходе ФИС и статические характеристики квазипе- риодической структуры ЛЗ являются взаимонезависимыми величинами, то выходной сигнал ФИС представляет собой аддитивную смесь шумов с полезным сигналом. Поэтому минимальное значение амплитуды [pic]-го макси- мума энергетического спектра, которое может быть аппаратурно зарегист- рировано по выходному сигналу ФИС, достигается при [pic] и должно быть в [pic] раз больше величины среднего квадратического напряжения [pic] шумов ее приемника, т.е. [pic](5.36), где [pic]- требуемый коэфициент отношения сигнал/шум выходного сигнала фотоприемника ФИС. Тогда подставив (5.36) в уравнение (5.30) аиплитуд получим: [pic] или [pic] (5.37), откуда имеем [pic] (5.38). Полученное выражение (5.38) позволяет определить максимально допустимую величину СКО [pic], доступную для контроля амплитудным ме-тодом, в зависимости от номеров используемых максимумов спектра и шу-мов ФИС. Из выражения (5.38) следует, что увеличить допустимое значение [pic] можно путем уменшения шумов [pic] ФИС, либо увеличения освещен-ности [pic] квазипериодической структуры ЛЗ. Увеличение [pic] за счет по-вышения [pic] достигается благодаря работе ФИС по пороговому сигналу лишь от одного, т.е. [pic]-го максимума. При этом амплитуда другого, т.е. [pic]-го максимума, не является пороговой для ФИС, поскольку в (5.31) она всегда больше амплитуды [pic]-го максимума.