Материалы сайта
Это интересно
Физика
вид [pic] При таком, сравнении получим, что [pic] Очевидно не существует действительного угла [pic], который удовлетворял бы этим соотношениям. Однако, как легко видеть, существует чисто мнимый угол [pic], для которого приведенные соотношения будут выполняться. Действительно, [pic] [pic] Поэтому, как следствие вышеприведенных соотношений, получаем формулы [pic] Данные соотношения разрешимы, так как, согласно им, [pic] Как видим, значение мнимого угла [pic], определяется значением отношения скоростей [pic]. Введем теперь действительную временную координату [pic], для которой [pic] , или [pic] Тогда формулы преобразования Лоренца примут вид [pic] Это формулы так называемого гиперболического поворота- Поясним геометрию такого поворота. Рассмотрим плоскость [pic], где [pic] Тогда имеем формулы преобразования [pic] 4.1.5. Релятивистская механика материальной точки Приняв гипотезу о едином четырехмерном пространстве-времени, или четырехмерном мире, мы должны пересмотреть классическую механику Ньютона, исправить ее, сделав инвариантной не относительно преобразований Галилея, а относительно преобразований Лоренца. Такую программу пересмотра динамики материальной точки в классической механике выполнил Минковский, создавший релятивистскую динамику материальной точки. Чтобы перейти в обычном трехмерном пространстве к геометрически естественным величинам (не зависящим от выбора системы декартовых координат, как координаты точки или компоненты вектора), вводят понятия трехмерных векторов а, b и т.д. и операции над этими векторами, в частности длина вектора а равна [pic] и косинус угла [pic] между векторами а и b равен [pic],где [pic]- скалярное произведение векторов а в b. В частности, квадрат длины радиус-вектора г точки М с координатами x,y,z , в некоторой декартовой системе координат, который имеет декартовы компоненты г(x, у, z), равен [pic] В четырехмерном мире для мгновенного точечного события М с координатами x,y,z,t в некоторой инерциальной системе отсчета можно ввести "4-радиус- вектор" c компонентами [pic] причем квадрат длины этого вектора равен [pic] Мгновенной скорость материальной точки [pic] не является лоренц- инвариантной величиной, поэтому Минковский вместо нее в четырехмерном мире ввел релятивистски инвариантную "4-скорость", которая имеет компоненты [pic] [pic]- интервал так называемого собственного времени материальной точки, связанный с ds - релятивистским интервалом между двумя близкими мгновенными точечными событиями, характеризующими два бесконечно близких состояния движения движущейся точки [pic] и [pic]соотношением [pic] , т.е. [pic] где v - обычная мгновенная скорость материальной точки. Так что [pic] Аналогичным образом релятивистски инвариантное "4-ускорение " Минковский определил следующим образом: [pic] Основные уравнения релятивистской динамики материальной точки в релятивистской механике Минковский записал следующим образом: [pic][pic][pic][pic] где [pic]- так называемая "масса покоя" материальной точки [pic]- компоненты так называемой "4-силы " Минковского. Покажем теперь, как уравнения Минковского релятивистской динамики материальной точки связаны с обычными уравнениями Ньютона для материальной точки. Прежде всего очевидно, что [pic][pic][pic][pic] так что [pic] т.е. 4-скорость всегда имеет постоянную величину, чисто мнимую, по модулю равную с. Используя найденные формулы для компонент 4-скорости и формулу для дифференциала собственного времени, имеем следующие уравнения движения: [pic][pic] [pic][pic] Три уравнения, в которые входят [pic] легко сопоставить с уравнениями Ньютона. Нужно только предположить, что теперь масса m материальной точки зависит от скорости по закону [pic] а импульс движущейся материальной точки определяется формулой [pic] где v - вектор мгновенной скорости материальной точки. Четвертое уравнение, в которое входит [pic], оказывается, выражает уравнение баланса кинетической энергии материальной точки. Чтобы в этом убедиться, умножим уравнения Минковского на [pic] и на -[pic], соответственно и сложим. Получим тогда уравнение [pic] Отсюда можно найти [pic]. Имеем [pic] где [pic]- мгновенная мощность, развиваемая силой, действующей на рассматриваемую материальную точку. Таким образом, [pic] и потому рассматриваемое четвертое уравнение примет вид : [pic] Таким образом, величину [pic] следует считать энергией движущейся материальной точки. Если [pic], то приближенно получаем [pic] Второе слагаемое есть классическая кинетическая энергия материальной точки [pic] а первое слагаемое - так называемая "энергия покоя". Кинетической энергией материальной точки в релятивистской механике называют величину [pic] Приведем еще одно важное соотношение, связывающее импульс и энергию релятивистской материальной точки. Имеем [pic] так что имеем формулу [pic] В заключение заметим, что описываемое релятивистское обобщение классической механики материальной точки сказалось полезным при применении к электронам и другим элементарным частицам, и, как показали эксперименты, очень хорошо описывают механические движения. Вместе с тем, здесь следует отметить, что попытки релятивистского обобщения уравнений классической механики Ньютона для системы даже двух материальных точек в релятивистской механике не увенчались успехом, здесь она столкнулись с серьезными противоречиями и непреодолимыми трудностями.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17