Материалы сайта
Это интересно
Физика
на общую двойку можно сократить все три слагаемые (производная от последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от [pic] ). В полученном дифференциальном уравнении положим теперь [pic] и [pic] . Тогда придем к следующему дифференциальному уравнению: [pic] [pic] Общее решение полученного очень простого дифференциального уравнения легко найти, если перейти к переменным [pic] и [pic] и показать, что в новых переменных это уравнение имеет вид [pic] Так получаем, что общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид [pic] где F — пока произвольная функция. Найдем вид этой функции. Для этого подставим полученную формулу для [pic] в наше дифференциальное функциональное уравнение. Получим тогда следующее функциональное уравнение: [pic] После элементарных алгебраических преобразований, отсюда получаем, что [pic] или [pic] . Так как при произвольных [pic] аргументы функций в правой и левой частях равенства различны и могут принимать совершенно произвольные значения, то приходим к заключению, что [pic] а следовательно, F[pic] где [pic] — некоторые постоянные, которые нам еще предстоит найти. Итак, мы показали, что исходная функция [pic] имеет следующий вид: [pic][pic] где [pic] — некоторые пока не определенные постоянные. Нахождение функции [pic] . Найдем теперь аналогичным образом функцию [pic] . Три основных соотношения для системы отсчета [pic] представим в виде: [pic] Вычитывая первое соотношение из третьего и сравнивая результат со вторым соотношением, получаем уравнение [pic] т.е. уравнение [pic] Видим, что функция [pic] удовлетворяет следующему функциональному уравнению: [pic] в котором величины [pic] не независимые, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета К. Используя эти соотношения, оставим независимыми только следующие три величины [pic] и[pic] . Величины [pic] и [pic] выразим через указанные величины: [pic] Таким образом, приходим к следующему основному функциональному уравнению для искомой функции: [pic] которое выполняется при произвольных значениях [pic] и[pic] . Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем его по [pic]: [pic] производная последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от [pic] . Положим теперь в выведенном уравнении , и тогда придем к дифференциальному уравнению [pic] или уравнение [pic] Легко найти общее решение последнего дифференциального уравнения. Для этого надо перейти только к новым независимым переменным [pic] и показать, что в новых переменных уравнение имеет вид [pic] Таким образом получаем общее решение нашего дифференциального уравнения: [pic] в котором [pic] — пока произвольная функция. Найдем вид этой функции. Подставим полученное выражение для функции [pic] в продифференцированное функциональное уравнение. Получим тогда соотношение [pic] или соотношение [pic] Так как аргументы у фукций в правой и левой частях равенства при произвольных значениях [pic] и[pic] совершенно произвольны, то получаем , что [pic] а следовательно, [pic] где [pic] — пока неопределенные постоянные. Определение констант [pic] [pic] . Мы получили, что формулы преобразований координат и времен произвольного мгновенного точечного событияв инерциальных системах отсчета и имеют вид [pic] [pic] Для нахождения констант [pic] [pic] привлечем дополнительное требование. Требование 1. Предположим, что общие начала отсчета координат и времени в системах отсчета K и [pic] согласованы таким образом, что мгновенное точечное событие с координатами 0,0 в системе отсчета K имеет в системе отсчета [pic] координаты 0,0 ( тоже нулевые координаты), и наоборот. Применяя вышеприведенные формулы преобразования к событию 0,0 получаем, что [pic] и поэтому формулы преобразования координат мгновенно точечного события приобретают следующий вид: [pic] [pic] Теперь неопределенными остались только константы [pic] и [pic] . Учтем теперь то обстоятельство, что формулы преобразования мы получили как следствия наших шести основных соотношений. Подставим поэтому полученные простые формулы обратно в эти исходные основные соотношения и установим ограничения на значения констант [pic][pic] и [pic] . Имеем: [pic] Таким образом, приходим к заключению, что константы [pic] и [pic] равны друг другу: [pic]=[pic][pic] и поэтому формулы преобразования координат мгновенного точечного события имеют следующий вид: [pic] где [pic] — пока что неопределенная постоянная. Разрешим теперь эти формулы преобразования относительно [pic] и [pic] . Имеем уравнения [pic] Следовательно, [pic] и поэтому [pic] Полученные формулы сопоставим с формулами преобразования: [pic] которые получаются с помощью рассуждений, совершенно аналогичных приведенным выше, но с заменой систем отсчета K и [pic] друг на друга. Следует при этом только учесть, что система отсчета K движется относительно системы отсчета [pic] не в положительном, а в отрицательном направлении оси [pic] с некоторой положительной скоростью [pic] (положительной), определенной в системе отсчета K . Здесь [pic] — некоторое пока неизвестное нам число.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17