Материалы сайта
Это интересно
Лекции по ТОЭ
| Теория / ТОЭ / Лекция N 6. Основы матричных методов расчета электрических цепей. | |Рассмотренные методы расчета электрических цепей – непосредственно по законам | |Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципиально | |рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее | |топологических матриц рационально для относительно простых схем. Использование | |матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений | |электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно | |существенно при расчете сложных разветвленных схем. | |Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме. | |Пусть имеем схему по рис. 1, где [pic] - источник тока. В соответствии с | |рассмотренным нами ранее законом Ома для участка цепи с ЭДС для данной схемы можно | |записать: | | | | | |[pic]. | |(1) | | | | | |Однако, для дальнейших выкладок будет удобнее представить ток [pic] как сумму токов | | k-й ветви и источника тока, т.е.: | |[pic]. | |(2) | | | | | |Подставив (2) в (1), получим: | |[pic]. | |(3) | | | | | |Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с | |источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви). | |Соотношение (3) запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства | |[pic] | |или | |[pic], | |(4) | | | | | |где Z – диагональная квадратная (размерностью n x n) матрица сопротивлений ветвей, | |все элементы которой (взаимную индуктивность не учитываем), за исключением элементов | |главной диагонали, равны нулю. | |Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома. | |Если обе части равенства (4) умножить слева на контурную матрицу В и | |учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому | |[pic], | |(5) | | | | | |то | |[pic], | |(6) | | | | | |то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа. | | | |Метод контурных токов в матричной форме | |В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главных контуров В, записываемой | |для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, | |которые и будут равны искомым контурным токам. | |Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их | |число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу ветвей| |связи c=n-m+1. Выражение (6) запишем следующим образом: | |[pic]. | |(7) | | | | | |В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как | |линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. | |Если элементы j–го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные | |токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j–й ветви через контурные | |токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного | |соотношения | |[pic], | |(8) | | | | | |где [pic] - столбцовая матрица контурных токов; [pic] - транспонированная контурная | |матрица. | |С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как: | |[pic] | |(9) | | | | | |Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если | |обозначить | |[pic], | |(10) | | | | | |[pic]. | |(11) | | | | | |то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов: | |[pic], | |(12) | | | | | |где [pic] - матрица контурных сопротивлений; [pic] - матрица контурных ЭДС. | |В развернутой форме (12) можно записать, как: | |[pic] , | |(13) | | | | | |то есть получили известный из метода контурных токов результат. | |Рассмотрим пример составления контурных уравнений. | |Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла (m=4) и шесть обобщенных | |ветвей (n=6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи, | |c=n-m+1=6-4+1=3. | |Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3. | |Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку| |каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода | |контуров направления ветвей связи, получим: | |В | |[pic] | | | | | |.Диагональная матрица сопротивлений ветвей | |Z | |[pic] | | | | | | | |Матрица контурных сопротивлений | |Zk=BZBT | |[pic] | | | | | |[pic] | |[pic]. | |Матрицы ЭДС и токов источников | |[pic] | |[pic] | | | | | |[pic] | |[pic] | | | | | |Тогда матрица контурных ЭДС | |[pic] | |[pic] | | | | | |[pic]. | |Матрица контурных токов | |[pic] | |[pic]. | | | |Таким образом, окончательно получаем: | |[pic], | |где [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. | |Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые | |можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам | |составления уравнений по методу контурных токов. | | | |Метод узловых потенциалов в матричной форме | |На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было | |указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение: | |[pic], | |(14) | | | | | |где [pic] [pic]- диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за | |исключением элементов главной диагонали, равны нулю. | |Матрицы Z и Y взаимно обратны. | |Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон | |Кирхгофа, согласно которому | |[pic], | |(15) | | | | получим: | |[pic]. . | |(16) | | | |Выражение (16) перепишем, как: | |[pic]. | |(17) | | | | | |Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, | |определим напряжения на зажимах ветвей: | |[pic]. | |(18) | | | |Тогда получаем матричное уравнение вида: | |[pic]. | |(19) | | | |Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если | |обозначить | |[pic] | |(20) | | | | | |[pic], | |(21) | | | |то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых | |потенциалов: | |[pic] | |(22) | | | | | |где [pic] - матрица узловых проводимостей; [pic] - матрица узловых токов. | |В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как: | |[pic] | |(23) | | | |то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат. | |Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4. | |[pic] | |[pic] | | | |Данная схема имеет 3 узла (m=3) и 5 ветвей (n=5). Граф схемы с выбранной ориентацией | |ветвей представлен на рис. 5. | |Узловая матрица (примем [pic]) | |А | |[pic] | | | | | |Диагональная матрица проводимостей ветвей: | |Y | |[pic], | | | | | |где [pic]. | |Матрица узловых проводимостей | |[pic] | |[pic] | | | |[pic]. | |Матрицы токов и ЭДС источников | |[pic] | |[pic] | | | | | |[pic] | |[pic] | | | |. .Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид: | |[pic] | |[pic] | | | | | |.Таким образом, окончательно получаем: | |[pic], | |где [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. | |Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно | |записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления | |уравнений по методу узловых потенциалов. | |Литература | |Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, | |С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. | |Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для | |студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей | |вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. | |Контрольные вопросы и задачи | |В чем заключаются преимущества использования матричных методов расчета цепей? | |Запишите выражения матрицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС. | |Запишите выражения матрицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов. | |Составить узловые уравнения для цепи на рис. 2. | |Ответ: | |[pic]. | |Составить контурные уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано ветвями | |3 и 4 (см. рис. 5). | |Ответ: | |[pic] | | Теория / ТОЭ / Лекция N 7. Преобразование энергии в электрической цепи. | |Мгновенная, активная, реактивная и полная мощности синусоидального тока. | |Передача энергии w по электрической цепи (например, по линии электропередачи), | |рассеяние энергии, то есть переход электромагнитной энергии в тепловую, а также и | |другие виды преобразования энергии характеризуются интенсивностью, с которой | |протекает процесс, то есть тем, сколько энергии передается по линии в единицу | |времени, сколько энергии рассеивается в единицу времени. Интенсивность передачи или | |преобразования энергии называется мощностью р. Сказанному соответствует | |математическое определение: | |[pic]. | |(1) | | | | | |Выражение для мгновенного значения мощности в электрических цепях имеет вид: | |[pic]. | |(2) | | | | | |Приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за | |[pic], получим: | |[pic]. | |(3) | | | | | |[pic] | |Итак, мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую,| |угловая частота которой в 2 раза больше угловой частоты напряжения и тока. | |Когда мгновенная мощность отрицательна, а это имеет место (см. рис. 1), когда u и i | |разных знаков, т.е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике | |противоположны, энергия возвращается из двухполюсника источнику питания. | |Такой возврат энергии источнику происходит за счет того, что энергия периодически | |запасается в магнитных и электрических полях соответственно индуктивных и емкостных | |элементов, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником | |двухполюснику в течение времени t равна [pic]. | |Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью[pic] . | |Принимая во внимание, что [pic], из (3) получим: | |[pic]. | |(4) | | | | | |Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной| |(иначе двухполюсник будет генерировать энергию), поэтому [pic], т.е. на входе | |пассивного двухполюсника [pic]. Случай Р=0, [pic] теоретически возможен для | |двухполюсника, не имеющего активных сопротивлений, а содержащего только идеальные | |индуктивные и емкостные элементы. | |1. Резистор (идеальное активное сопротивление). | |[pic] | |Здесь напряжение и ток (см. рис. 2) совпадают по фазе [pic], поэтому мощность | |[pic] всегда положительна, т.е. резистор потребляет активную мощность | |[pic] | | | |2. Катушка индуктивности (идеальная индуктивность) | |[pic] | |При идеальной индуктивности ток отстает от напряжения по фазе на [pic]. Поэтому в | |соответствии с (3) можно записать [pic]. | |Участок 1-2: энергия [pic], запасаемая в магнитном поле катушки, нарастает. | |Участок 2-3: энергия магнитного поля убывает, возвращаясь в источник. | |3. Конденсатор (идеальная емкость) | |Аналогичный характер имеют процессы и для идеальной емкости. Здесь [pic]. Поэтому из | |(3) вытекает, что [pic]. Таким образом, в катушке индуктивности и конденсаторе | |активная мощность не потребляется (Р=0), так как в них не происходит необратимого | |преобразования энергии в другие виды энергии. Здесь происходит только циркуляция | |энергии: электрическая энергия запасается в магнитном поле катушки или электрическом | |поле конденсатора на протяжении четверти периода, а на протяжении следующей четверти | |периода энергия вновь возвращается в сеть. В силу этого катушку индуктивности и | |конденсатор называют реактивными элементами, а их сопротивления ХL и ХС , в отличие | |от активного сопротивления R резистора, – реактивными. | |Интенсивность обмена энергии принято характеризовать наибольшим значением скорости | |поступления энергии в магнитное поле катушки или электрическое поле конденсатора, | |которое называется реактивной мощностью. | |В общем случае выражение для реактивной мощности имеет вид: | |[pic] | |(5) | | | | | |Она положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка- [pic]) и отрицательна при | |опережающем токе (емкостная нагрузка- [pic]). Единицу мощности в применении к | |измерению реактивной мощности называют вольт-ампер реактивный (ВАр). | |В частности для катушки индуктивности имеем: | |[pic], так как [pic]. | |[pic]. | |Из последнего видно, что реактивная мощность для идеальной катушки индуктивности | |пропорциональна частоте и максимальному запасу энергии в катушке. Аналогично можно | |получить для идеального конденсатора: | |[pic]. | |Полная мощность | |Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике широко используется | |понятие полной мощности: | |[pic]. | |(6) | | | | | |Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением: | |[pic]. | |(7) | | | | | |Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности. Из приведенных | |выше соотношений видно, что коэффициент мощности [pic] равен косинусу угла сдвига | |между током и напряжением. Итак, | |[pic]. | |(8) | | | | | |Комплексная мощность | |Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными | |изображениями напряжения и тока. Пусть [pic], а [pic]. Тогда комплекс полной | |мощности: | |[pic], | |(9) | | | | | |где [pic] - комплекс, сопряженный с комплексом [pic]. | |[pic]. | |Комплексной мощности можно поставить в соответствие треугольник мощностей (см. рис. | |4). Рис. 4 соответствует [pic] (активно-индуктивная нагрузка), для которого имеем: | |. | |Применение статических конденсаторов для повышения cos[pic] | |Как уже указывалось, реактивная мощность [pic]циркулирует между источником и | |потребителем. Реактивный ток, не совершая полезной работы, приводит к дополнительным | |потерям в силовом оборудовании и, следовательно, к завышению его установленной | |мощности. В этой связи понятно стремление к увеличению [pic] в силовых электрических | |цепях. | |Следует указать, что подавляющее большинство потребителей (электродвигатели, | |электрические печи, другие различные устройства и приборы) как нагрузка носит | |активно-индуктивный характер. | |[pic] | |Если параллельно такой нагрузке [pic] (см. рис. 5), включить конденсатор С, то общий | |ток [pic], как видно из векторной диаграммы (рис. 6), приближается по фазе к | |напряжению, т.е. [pic] увеличивается, а общая величина тока (а следовательно, потери)| |уменьшается при постоянстве активной мощности [pic]. На этом основано применение | |конденсаторов для повышения [pic]. | |Какую емкость С нужно взять, чтобы повысить коэффициент мощности от значения | |[pic] до значения [pic]? | |Разложим [pic] на активную [pic] и реактивную [pic] составляющие. Ток через | |конденсатор [pic] компенсирует часть реактивной составляющей тока нагрузки [pic]: | |[pic]; | |(10) | | | | | |[pic]; | |(11) | | | | | |[pic]. | |(12) | | | | | |Из (11) и (12) с учетом (10) имеем | |[pic], | |но [pic], откуда необходимая для повышения [pic] емкость: | |[pic]. | |(13) | | | | | | | |Баланс мощностей | |Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить | |критерием правильности расчета электрической цепи. | |а) Постоянный ток | |Для любой цепи постоянного тока выполняется соотношение: | |[pic] | |(14) | | | | | |Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: | |суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной | |мощности, потребляемой в цепи. | |Следует указать, что в левой части (14) слагаемые имеют знак “+”, поскольку активная | |мощность рассеивается на резисторах. В правой части (14) сумма слагаемых больше нуля,| |но отдельные члены здесь могут иметь знак “-”, что говорит о том, что соответствующие| |источники работают в режиме потребителей энергии (например, заряд аккумулятора). | |б) Переменный ток. | |Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей | |равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т.е. | |[pic] | |(15) | | | | | |В ТОЭ доказывается (вследствие достаточной громоздкости вывода это доказательство | |опустим), что баланс соблюдается и для реактивных мощностей: | |[pic] , | |(16) | | | | | |где знак “+” относится к индуктивным элементам [pic], “-” – к емкостным [pic]. | |Умножив (16) на “j” и сложив полученный результат с (15), придем к аналитическому | |выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока (без учета взаимной | |индуктивности): | |[pic] | |или | |[pic]. | |Литература | |Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, | |С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. | |Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для | |студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей | |вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. | |Контрольные вопросы и задачи | |Что такое активная мощность? | |Что такое реактивная мощность, с какими элементами она связана? | | Что такое полная мощность? | |Почему необходимо стремиться к повышению коэффициента мощности [pic]? | |Критерием чего служит баланс мощностей? | |К источнику с напряжением [pic] подключена активно-индуктивная нагрузка, ток в | |которой [pic]. Определить активную, реактивную и полную мощности. | |Ответ: Р=250 Вт; Q=433 ВАр; S=500 ВА. | |В ветви, содержащей последовательно соединенные резистор R и катушку индуктивности L,| |ток I=2 A. Напряжение на зажимах ветви U=100 B, а потребляемая мощность Р=120 Вт. | |Определить сопротивления R и XL элементов ветви. | |Ответ: R=30 Ом; XL=40 Ом. | |Мощность, потребляемая цепью, состоящей из параллельно соединенных конденсатора и | |резистора, Р=90 Вт. Ток в неразветвленной части цепи I1=5 A, а в ветви с резистором | |I2=4 A. Определить сопротивления R и XL элементов цепи. | |Ответ: R=10 Ом; XС=7,5 Ом. | |Теория / ТОЭ / Лекция N 8. Резонансы в цепях синусоидального тока. | |Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и | |емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость) | |вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с | |входным напряжением. | | | |Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами | |(резонанс напряжений) | | | |[pic]Для цепи на рис.1 имеет место | |[pic] | |где | |[pic]; | |(1) | | | | | |[pic]. | |(2) | | | | | |В зависимости от соотношения величин [pic] и [pic] возможны три различных случая. | |1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. [pic], а следовательно, | |[pic]. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 2,а. | | | |[pic] | | | |2. В цепи преобладает емкость, т.е. [pic], а значит, [pic]. Этот случай отражает | |векторная диаграмма на рис. 2,б. | |3. [pic] - случай резонанса напряжений (рис. 2,в). | |Условие резонанса напряжений | |[pic]. | |(3) | | | | | |При этом, как следует из (1) и (2), [pic]. | |При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В | |теоретическом случае при R=0 его величина стремится к бесконечности. Соответственно | |возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, | |которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания. | |Пусть, например, в цепи на рис. 1 [pic] [pic] [pic]. Тогда [pic], и, | |соответственно, [pic]. | |Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в | |радиотехнике. Однако, если он возникает стихийно, то может привести к аварийным | |режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков. | |Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между | |магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем | |сумма энергий полей остается постоянной. | |Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных и емкостных | |элементов. Действительно, в этом случае [pic] [pic] , и соотношение (3) выполняется | |для эквивалентных значений LЭ и CЭ . | |Как показывает анализ уравнения (3), режима резонанса можно добиться путем изменения | |параметров L и C, а также частоты. На основании (3) для резонансной частоты можно | |записать | |[pic]. | |(4) | | | | | |Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве | |их примера на рис. 3 приведены типовые кривые I(f); [pic] и [pic] для цепи на рис. 1 | |при U=const. | |Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q, определяемая | |отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе к входному напряжению: | |[pic], | |(5) | | | | | |- и характеризующая “избирательные” свойства резонансного контура, в частности его | |полосу пропускания [pic]. | |Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление, | |связанное с добротностью соотношением | |[pic], | |(6) | | | | | |или с учетом (4) и (5) для [pic] можно записать: | |[pic]. | |(7) | | | | | |[pic] | |Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами | |(резонанс токов) | |[pic]Для цепи рис. 4 имеем | |[pic], | |где | |[pic]; | |(8) | | | | | |[pic] . | |(9) | | | | | |В зависимости от соотношения величин [pic] и [pic], как и в рассмотренном выше случае| |последовательного соединения элементов, возможны три различных случая. | |[pic] | |В цепи преобладает индуктивность, т.е. [pic], а следовательно, [pic]. Этому режиму | |соответствует векторная диаграмма на рис. 5,а. | |В цепи преобладает емкость, т.е. [pic], а значит, [pic]. Этот случай иллюстрирует | |векторная диаграмма на рис. 5,б. | |[pic] - случай резонанса токов (рис. 5,в). | |Условие резонанса токов [pic] или | |[pic]. | |(10) | | | | | |При этом, как следует из (8) и (9), [pic]. Таким образом, при резонансе токов входная| |проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В | |частности при отсутствии в цепи на рис. 4 резистора R ее входное сопротивление в | |режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе | |цепи минимален. | |Идентичность соотношений (3) и (5) указывает, что в обоих случаях резонансная частота| |определяется соотношением (4). Однако не следует использовать выражение (4) для любой| |резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с последовательным или | |параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов. | |При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации или, в общем | |случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исходить из условия | |вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цепи. | |[pic]Например, для цепи на рис. 6 имеем | |[pic] | |Поскольку в режиме резонанса мнимая часть [pic] должна быть равна нулю, то условие | |резонанса имеет вид | |[pic], | |откуда, в частности, находится резонансная частота. | |Резонанс в сложной цепи | |Условие резонанса для сложной цепи со смешанным соединением нескольких индуктивных и | |емкостных элементов, заключающееся в равенстве нулю мнимой части входного | |сопротивления [pic] или входной проводимости [pic], определяет наличие у | |соответствующих этому условию уравнений относительно [pic] нескольких вещественных | |корней, т.е. таким цепям соответствует несколько резонансных частот. | |При определении резонансных частот для реактивного двухполюсника аналитическое | |выражение его входного реактивного сопротивления [pic] или входной реактивной | |проводимости [pic] следует представить в виде отношения двух полиномов по степеням | |[pic], т.е. [pic] или [pic]. Тогда корни уравнения [pic] дадут значения частот, | |которые соответствуют резонансам напряжений, а корни уравнения [pic] - значения | |частот, при которых возникают резонансы токов. Общее число резонансных частот в цепи | |на единицу меньше количества индуктивных и емкостных элементов в схеме, получаемой из| |исходной путем ее сведения к цепи (с помощью эквивалентных преобразований) с | |минимальным числом этих элементов. Характерным при этом является тот факт, что режимы| |резонансов напряжений и токов чередуются. | |В качестве примера определим резонансные частоты для цепи рис. 7. Выражение входного | |сопротивления данной цепи имеет вид | |[pic] | |Из решения уравнения [pic] получаем частоту [pic], соответствующую резонансу | |напряжений, а из решения уравнения [pic] - частоту [pic], соответствующую резонансу | |токов. | | | | Литература | | | |Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, | |С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. | |Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для | |студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей | |вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. | |Контрольные вопросы и задачи | |Что такое резонанс напряжений, чем он характеризуется? | |Что такое резонанс токов, чем он характеризуется? | |В чем физическая сущность резонансных режимов? | |На основании каких условий в общем случае определяются резонансные частоты? | |В цепи на рис. 1 R=1 Ом; L=10 мГн; С=10 мкФ. Определить резонансную частоту и | |добротность контура. | |Ответ: [pic]. | |Какие условия необходимы и достаточны, чтобы в цепи на рис. 1 выполнялось соотношение| |[pic]? | |Определить резонансную частоту для цепи на рис. 7, если в ней конденсатор С3 | | заменен на резистор R3. | |Ответ: [pic]. | | Теория / ТОЭ / Лекция N 9. Векторные и топографические диаграммы. | |Совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, | |напряжения, токи и т. д., называется векторной диаграммой. Векторные диаграммы | |наглядно иллюстрируют ход решения задачи. При точном построении векторов можно | |непосредственно из диаграммы определить амплитуды и фазы искомых величин. | |Приближенное (качественное) построение диаграмм при аналитическом решении служит | |надежным контролем корректности хода решения и позволяет легко определить квадрант, в| |котором находятся определяемые векторы. | |При построении векторных диаграмм для цепей с последовательным соединением элементов | |за базовый (отправной) вектор следует принимать вектор тока (см. лекцию № 8), а к | |нему под соответствующими углами подстраивать векторы напряжений на отдельных | |элементах. Для цепей с параллельным соединением элементов за базовый (отправной) | |вектор следует принять вектор напряжения (см. лекцию № 8), ориентируя относительно | |него векторы токов в параллельных ветвях. | |Для наглядного определения величины и фазы напряжения между различными точками | |электрической цепи удобно использовать топографические диаграммы. Они представляют | |собой соединенные соответственно схеме электрической цепи точки на комплексной | |плоскости, отображающие их потенциалы. На топографической диаграмме, представляющей | |собой в принципе векторную диаграмму, порядок расположения векторов напряжений строго| |соответствует порядку расположения элементов в схеме, а вектор падения напряжения на | |каждом последующем элементе примыкает к концу вектора напряжения на каждом предыдущем| |элементе. | |В качестве примера построим векторную диаграмму токов, а также топографическую | |диаграмму потенциалов для схемы, расчет которой был приведен в лекции № 5 (см. рис. | |1). | |Параметры схемы: [pic] [pic] [pic] [pic] | |При данных параметрах и заданном напряжении на входе схемы [pic] найденные значения | |токов (см. лекцию № 5) равны: [pic]; [pic]; [pic]. | |При построении векторной диаграммы зададимся масштабами токов и напряжений (см. рис. | |2). Векторную диаграмму можно строить, имея запись комплекса в показательной форме, | |т.е. по значениям модуля и фазы . Однако на практике удобнее проводить построения, | |используя алгебраическую форму записи, поскольку при этом вещественная и мнимая | |составляющие комплексной величины непосредственно откладываются на соответствующих | |осях комплексной плоскости, определяя положение точки на ней. | |Построение векторной диаграммы токов осуществляется непосредственно на основании | |известных значений их комплексов. Для построения топографической диаграммы | |предварительно осуществим расчет комплексных потенциалов (другой вариант построения | |топографической диаграммы предполагает расчет комплексов напряжений на элементах цепи| |с последующим суммированием векторов напряжений вдоль контура непосредственно на | |комплексной плоскости). | |При построении топографической диаграммы обход контуров можно производить по | |направлению тока или против. Чаще используют второй вариант. | |[pic] | |В этом случае с учетом того, что в электротехнике принято, что ток течет от большего | |потенциала к меньшему, потенциал искомой точки равен потенциалу предыдущей плюс | |падение напряжения на элементе между этими точками. Если на пути обхода встречается | |источник ЭДС, то потенциал искомой точки будет равен потенциалу предыдущей плюс | |величина этой ЭДС, если направление обхода совпадает с направлением ЭДС, и минус | |величина ЭДС, если не совпадает. Это вытекает из того, что напряжение на источнике | |ЭДС имеет направление, противоположное ЭДС. | |Обозначив на схеме по рис. 1 точки между элементами цепи e и a и приняв потенциал | |точки а за нуль( [pic]), определим потенциалы этих точек: | |[pic] | |или [pic] | |[pic] | |Таким образом, в результате проведенных вычислений получено, что [pic]. Но разность | |потенциалов точек е и а равно напряжению U, приложенному к цепи, а оно равно 120 В. | |Таким образом, второй закон Кирхгофа выполняется, а следовательно, вычисления | |выполнены верно. В соответствии с полученными результатами строится топографическая | |диаграмма на рис. 2. Следует обратить внимание на ориентацию векторов, составляющих | |топографическую диаграмму, относительно векторов тока: для резистивных элементов | |соответствующие векторы параллельны, для индуктивного и емкостных – ортогональны. | |В заключение заметим, что векторы напряжений ориентированы относительно точек | |топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений | |относительно соответствующих точек электрической цепи. В этой связи допускается не | |указывать на топографической диаграмме направления векторов напряжений. | | | |Потенциальная диаграмма | |Потенциальная диаграмма применяется при анализе цепей постоянного тока. Она | |представляет собой график распределения потенциала вдоль участка цепи или контура, | |при этом по оси абсцисс откладываются сопротивления резистивных элементов, | |встречающихся на пути обхода ветви или контура, а по оси ординат – потенциалы | |соответствующих точек. Таким образом, каждой точке рассматриваемого участка или | |контура соответствует точка на потенциальной диаграмме. | |Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на примере схемы на рис. 3. | | | | | |[pic] | |[pic] | | | |При параметрах схемы [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic] и [pic] токи в ветвях схемы | |равны: [pic]; [pic]; [pic]. | |Построим потенциальную диаграмму для контура abcda. | |Для выбора масштаба по оси абсцисс просуммируем сопротивления резисторов вдоль | |рассматриваемого контура: [pic][pic] после чего определим потенциалы точек контура | |относительно потенциала произвольно выбранной точки a, потенциал которой принят за | |нуль: | |[pic] | |Таким образом, координаты точек потенциальной диаграммы: а(0;0);b(4;-20); c(4;17); | |d(7;2). С учетом выбранных масштабов на рис. 4 построена потенциальная диаграмма для | |выбранного контура. | | | |Преобразование линейных электрических схем | |Для упрощения расчета и повышения наглядности анализа сложных электрических цепей во | |многих случаях рационально подвергнуть их предварительному преобразованию. Очевидно, | |что преобразование должно приводить к упрощению исходной схемы за счет уменьшения | |числа ее ветвей и (или) узлов. Такое преобразование называется целесообразным. При | |этом при любых способах преобразований должно выполняться условие неизменности токов | |в ветвях участков схемы, не затронутых этими преобразованиями. Из последнего | |вытекает, что, если преобразованию подвергаются участки цепи, не содержащие | |источников энергии, то мощности в исходной и эквивалентной схемах одинаковы. Если в | |преобразуемые участки входят источники энергии, то в общем случае мощности в исходной| |и преобразованной цепях будут различны. | |Рассмотрим наиболее важные случаи преобразования электрических цепей. | |1, Преобразование последовательно соединенных элементов | |Рассмотрим участок цепи на рис. 5,а. При расчете внешней по отношению к этому участку| |цепи данную ветвь можно свести к виду на рис. 5,б, где | |[pic] | |(1) | | | |или | |[pic]. | |(2) | | | | | | | | | |[pic] | | | | | |При этом при вычислении эквивалентной ЭДС [pic] k-я ЭДС берется со знаком “+”, если | |ее направление совпадает с направлением эквивалентной ЭДС, и “-”, если не совпадает. | |2 Преобразование параллельно соединенных ветвей | |Пусть имеем схему на рис. 6,а. | | | | | |[pic] | | | |Согласно закону Ома для участка цепи с источником ЭДС | |[pic], | |где [pic]. | |Тогда | |[pic] , | |где | |[pic]; | |(3) | | | | | |[pic], | |(4) | | | | | |причем со знаком “+” в (4) записываются ЭДС [pic] и ток [pic], если они направлены к | |тому же узлу, что и ЭДС [pic]; в противном случае они записываются со знаком “-”. | |3. Взаимные преобразования “треугольник-звезда” | |В ряде случаев могут встретиться схемы, соединения в которых нельзя отнести ни к | |последовательному, ни к параллельному типу (см. рис. 7). В таких случаях | |преобразования носят более сложный характер: преобразование треугольника в звезду и | |наоборот. | |Преобразовать треугольник в звезду – значит заменить три сопротивления, соединенных в| |треугольник между какими-то тремя узлами, другими тремя сопротивлениями, соединенными| |в звезду между теми же точками. При этом на участках схемы, не затронутых этими | |преобразованиями, токи должны остаться неизменными. | |Без вывода запишем формулы эквивалентных преобразований | |Треугольник | |[pic] | |звезда | | | |Звезда | |[pic] | |треугольник | | | |[pic] | | | |Литература | |Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, | |С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. | |Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для | |студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей | |вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш.шк., 1978. –528с. | |Контрольные вопросы и задачи | |Что представляют собой векторные диаграммы? | |Что такое топографические диаграммы, для чего они служат? | |В чем сходство и различие топографической и потенциальной диаграмм? | |Какой практический смысл преобразований электрических цепей? | |В чем заключается принцип эквивалентности преобразований? | |Построить потенциальные диаграммы для левого и внешнего контуров цепи рис.3. | |Полагая в цепи на рис. 8 известными ток [pic] и параметры всех ее элементов, | |качественно построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму | |потенциалов для нее. | |Определить входное сопротивление цепи на рис. 8, если [pic] [pic]. | |Ответ: [pic]. | |Определить сопротивления ветвей треугольника, эквивалентного звезде между узлами a,c | |и d в цепи на рис. 8. | |Ответ: [pic]; [pic]; [pic]. | |Определить сопротивления ветвей звезды, эквивалентной треугольнику в цепи на рис. 8, | |состоящему из элементов [pic], [pic] и [pic]. | |Ответ: [pic]; [pic]; [pic] | | Теория / ТОЭ / Лекция N 10. Анализ цепей с индуктивно связанными элементами. | |Электрические цепи могут содержать элементы, индуктивно связанные друг с другом. | |Такие элементы могут связывать цепи, электрически (гальванически) разделенные друг | |от друга. | |В том случае, когда изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС| |в другом элементе цепи, говорят, что эти два элемента индуктивно связаны, а | |возникающую ЭДС называют ЭДС взаимной индукции. Степень индуктивной связи элементов | |характеризуется коэффициентом связи | |[pic], | |(1) | | | |где М – взаимная индуктивность элементов цепи (размерность – Гн); [pic] и | |[pic] -собственные индуктивности этих элементов. | |Слеует отметить, что всегда к<1. | |Пусть имеем две соосные катушки в общем случае с ферромагнитным сердечником (см. рис.| |1). На рис. 1 схематично показана картина магнитного поля при наличии тока i1 в | |первой катушке (направление силовых линий магнитного потока определяется по правилу | |правого буравчика). Витки первой катушки сцеплены с магнитным потоком самоиндукции | |Ф11 , а витки второй катушки – с магнитным потоком взаимной индукции Ф21, который | |отличается от Ф11 (Ф21< Ф11) за счет потоков рассеяния. | |По определению | | | | | |[pic]; | |(2) | | | | | |[pic]. | |(3) | | | |Если теперь наоборот пропустить ток i2 по второй катушке, то соответственно получим | |[pic]; | |(4) | | | | | |[pic]. | |(5) | | | |При этом | |[pic]. | |(6) | | | |Следует отметить, что коэффициент связи мог бы быть равным 1, если бы [pic] и [pic], | |то есть когда весь поток, создаваемый одной катушкой, полностью пронизывал бы витки | |другой катушки. Практически даже различные витки одной и той же катушки пронизываются| |разными потоками. Поэтому с учетом рассеяния [pic] и [pic]. В этой связи | | | |[pic]. | |Рассмотрим цепь переменного тока на рис. 2, в которую последовательно включены две | |катушки индуктивности [pic] и [pic], индуктивно связанные друг с другом, и резистор | |R. | |При изменении тока i в цепи в катушках индуцируются ЭДС само- и взаимоиндукции. При | |этом ЭДС взаимной индукции должна по закону Ленца иметь такое направление, чтобы | |препятствовать изменению потока взаимной индукции. | |Тогда, если в цепи протекает гармонически изменяющийся ток [pic], то в первой катушке| |индуцируется ЭДС | |[pic], | |(7) | | | |а во второй – | |[pic]. | |(8) | | | |Катушки можно включить так, что ЭДС самоиндукции будет суммироваться с ЭДС | |взаимоиндукции; при переключении одной из катушек ЭДС взаимоиндукции будет вычитаться| |из ЭДС самоиндукции. Один из зажимов каждой катушки на схеме помечают, например | |точкой или звездочкой. Этот знак означает, что при увеличении, например, тока в | |первой катушке, протекающего от точки, во второй катушке индуцируется ЭДС | |взаимоиндукции, действующая от другого конца к точке. Различают согласное и встречное| |включения катушек. При согласном включении токи в катушках одинаково ориентированы по| |отношению к их одноименным зажимам. При этом ЭДС само- и взаимоиндукции складываются | |– случай, показанный на рис. 2. При встречном включении катушек токи ориентированы | |относительно одноименных зажимов различно. В этом случае ЭДС само- и взаимоиндукции | |вычитаются. Таким образом, тип включения катушек (согласное или встречное) | |определяются совместно способом намотки катушек и направлении токов в них. | |Перейдя к комплексной форме записи (7) и (8), получим | |[pic]; | |(9) | | | | | |[pic], | |(10) | | | |где [pic] - сопротивление взаимоиндукции (Ом). | |Для определения тока в цепи на рис. 2 запишем | |[pic], | |откуда | |[pic]. | |Воздушный (линейный) трансформатор | |Одним из важнейших элементов электрических цепей является трансформатор, служащий для| |преобразования величин токов и напряжений. В простейшем случае трансформатор состоит | |из двух гальванически несвязанных и неподвижных катушек без ферромагнитного | |сердечника. Такой трансформатор называется воздушным. Он является линейным. Наличие | |ферромагнитного сердечника обусловило бы нелинейные свойства трансформатора. | |На рис. 3 представлена схема замещения трансформатора, первичная обмотка которого | |включена на напряжение U1, а от вторичной обмотки получает питание приемник с | |сопротивлением [pic]. | | | |В трансформаторе энергия из первичной цепи передается во вторичную посредством | |магнитного поля. Если в первичной цепи под действием напряжения источника возникает | |переменный ток, то во вторичной цепи за счет магнитной связи катушек индуцируется | |ЭДС, вызывающая протекание тока в нагрузке. | |По второму закону Кирхгофа для первичной и вторичной цепей трансформатора можно | |записать | |[pic]; | |[pic]. | |Таким образом, уравнения воздушного трансформатора имеют вид: | |[pic]; | |(11) | | | | | |[pic], . | |(12) | | | |где [pic] и [pic] - активные сопротивления обмоток; [pic]. | |Если уравнения (11) и (12) решить относительно [pic], предварительно подставив в (12)| |[pic] и обозначив [pic]; [pic], то получим | |[pic], | |(13) | | | |где [pic]; [pic] - вносимые активное и реактивное сопротивления. | |Таким образом, согласно (13) воздушный трансформатор со стороны первичной обмотки | |может рассматриваться как двухполюсник с сопротивлением [pic]. | |Баланс мощностей в цепях с индуктивно связанными элементами | |Пусть имеем схему по рис. 4, где А – некоторый активный четырехполюсник. Для данной | |цепи можно записать | |[pic]; | |[pic]. | |Обозначим токи [pic] и [pic] как: [pic]; [pic]. | |Тогда для комплексов полных мощностей первой и второй ветвей соответственно можно | |записать: | | [pic]; | |[pic]. | |Рассмотрим в этих уравнениях члены со взаимной индуктивностью: | |[pic] | |(14) | | | | | |[pic] . | |(15) | | | |где [pic]. | |Из (14) и (15) вытекает, что | |[pic]; | |(16) | | | | | |[pic]. | |(17) | | | |Соотношение (16) показывает, что активная мощность передается от первой катушки ко | |второй. При этом суммарная реактивная мощность, обусловленная взаимной индукцией, | |равна нулю, т.к. [pic]. Это означает, что на общий баланс активной мощности цепи | |индуктивно связанные элементы не влияют. | |Суммарная реактивная мощность, обусловленная взаимоиндукцией, равна | |[pic]. | |Таким образом, общее уравнение баланса мощностей с учетом индуктивно связанных | |элементов имеет вид | |[pic], | |(18) | | | |где знак “+” ставится при согласном включении катушек, а “-” – при встречном. | |Расчет разветвленных цепей при наличии взаимной индуктивности может быть осуществлен | |путем составления уравнений по законам Кирхгофа или методом контурных токов. | |Непосредственное применение метода узловых потенциалов для расчета таких цепей | |неприемлемо, поскольку в этом случае ток в ветви зависит также от токов других | |ветвей, которые наводят ЭДС взаимной индукции. | |В качестве примера расчета цепей с индуктивно связанными элементами составим | |контурные уравнения для цепи на рис. 5: | |[pic] | |Чтобы обойти указанное выше ограничение в отношении применения метода узловых | |потенциалов для расчета рассматриваемых схем можно использовать эквивалентные | |преобразования, которые иллюстрируют схемы на рис. 6, где цепь на рис. 6,б | |эквивалентна цепи на рис. 6,а. При этом верхние знаки ставятся при согласном | |включении катушек, а нижние – при встречном. | | | | | |Литература | |Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А. Ионкин, А.В.Нетушил, | |С.В.Страхов. –5-еизд.,перераб.–М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. | |Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для | |студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей | |вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. | | | |Контрольные вопросы и задачи | |Какие элементы называются индуктивно связанными? | |Что такое коэффициент связи, и в каких пределах он изменяется? | |Что такое воздушный трансформатор? Почему он называется линейным? | |Запишите уравнения воздушного трансформатора, нарисуйте его схему замещения. | |Как влияют индуктивно связанные элементы на баланс мощностей? | |Какие методы расчета можно использовать для анализа цепей с индуктивно связанными | |элементами? | |Записать уравнения для расчета цепи на рис. 5, используя законы Кирхгофа. | |Записать контурные уравнения для цепи на рис. 5, используя эквивалентную замену | |индуктивных связей. | |С использованием эквивалентной замены индуктивных связей записать узловые уравнения | |для цепи на рис. 5. | |Рассчитать входное сопротивление на рис. 3, если [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; | |[pic]. | |Ответ: [pic] |