Материалы сайта
Это интересно
Метод средних величин в изучении общественных явлений
Введение 2 I.Теоретическая часть 3 1.Средние величины в экономическом анализе. 3 2.Условия применения средних величин в анализе 6 3.Виды средних величин. 7 1)Средняя арифметическая 8 2)Средняя гармоническая 10 3)Средняя геометрическая 12 4)Средняя квадратическая и средняя кубическая 12 5)Структурные средние. 14 II.Расчетная часть 17 III.Аналитическая часть. 23 Заключение 31 Список литературы: 33 Введение В данной работе рассмотрим такое понятие, как средние величины. Большое распространение в статистике коммерческой деятельности имеют средние величины. В средних величинах отображаются важнейшие показатели товарооборота, товарных запасов, цен. Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др. Правильное понимания сущности средней определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики, когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития. В теоретической части рассмотрим виды средних величин, а именно: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя кубическая и структурные средние - в экономическом анализе, а также условия их применения. Материал изложен с пояснениями и примерами. В расчетной части представлены задачи на нахождение средних величин, на примере этих задач покажем различные способы нахождения средних величин, и использование их в экономическом анализе. В аналитической части проведем небольшое исследование в области дифференциации заработной платы с использованием средних величин. При проведении статистического анализа данных для текущей работы были использованы следующие программные средства: Microsoft Word и Microsoft Excell. Теоретическая часть Средние величины в экономическом анализе. Статистика, как известно, изучает массовые социально-экономические явления. Каждое из этих явлений может иметь различное количественное выражение одного и того же признака. Например, заработная плата одной и той же профессии рабочих или цены на рынке на один и тот же товар и т.д. Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др. Для изучения какой-либо совокупности по варьирующим (количественно изменяющимся) признакам статистика использует средние величины. Средняя величина - это обобщающая количественная характеристика совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку. В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин. Например, обобщающим показателем доходов рабочих акционерного общества (АО) служит средний доход одного рабочего, определяемый отношением фонда заработной платы и выплат социального характера за рассматриваемый период (год, квартал, месяц) к численности рабочих АО. Для лиц с достаточно однородным уровнем доходов, например, работников бюджетной сферы и пенсионеров по старости (исключая имеющих льготы и дополнительные доходы) можно определить типичные доли расходов на покупку предметов питания. Так можно говорить о средней продолжительности рабочего дня, среднем тарифном разряде рабочих, среднем уровне производительности труда и т.д. Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она представляет значение определенного признака во всей совокупности одним числом, несмотря на количественные различия его у отдельных единиц совокупности, и выражает то общее, что присуще всем единицам изучаемой совокупности. Таким образом, через характеристику единицы совокупности она характеризует всю совокупность в целом. Средние величины связаны с законом больших чисел. Суть этой связи заключается в том, что при осреднении случайные отклонения индивидуальных величин в силу действия закона больших чисел взаимопогашаются и в средней выявляется основная тенденция развития, необходимость, закономерность, однако, для этого среднюю необходимо вычислять на основе обобщения массы фактов. Средние величины позволяют сравнивать показатели, относящиеся к совокупностям с различной численностью единиц. Важнейшим условием научного использования средних величин в статистическом анализе общественных явлений является однородность совокупности, для которой исчисляется средняя. Одинаковая по форме и технике вычисления средняя в одних условиях (для неоднородной совокупности) фиктивная, а в других (для однородной совокупности) соответствует действительности. Качественная однородность совокупности определяется на основе всестороннего теоретического анализа сущности явления. Так, например, при исчислении средней урожайности требуется, чтобы исходные данные относились к одной и той же культуре (средняя урожайность пшеницы) или группе культур (средняя урожайность зерновых). Нельзя вычислять среднюю для разнородных культур. Средние, полученные для неоднородных совокупностей, будут искажать характер изучаемого общественного явления, фальсифицировать его, или будут бессмысленными. Так, если рассчитать средний уровень доходов служащих какого-либо района, то получится фиктивный средний показатель, поскольку для его исчисления использована неоднородная совокупность, включающая в себя служащих предприятий различных типов (государственных, совместных, арендных, акционерных), а также органов государственного управления, сферы науки, культуры, образования и т.п. В таких случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок, позволяющим выделить однородные группы, по которым и исчисляются типические групповые средние. Средине величины очень тесно связаны с методом группировок, т.к. для характеристики явлений необходимо исчислять не только общие (для всего явления) средние, но и групповые (для типических групп этого явления по изучаемому признаку). Групповые средние позволяют избежать "огульных" средних, обеспечивают сравнение уровней отдельных групп с общим уровнем по совокупности, выявление имеющихся различий и т.д. Однако нельзя сводить роль средних только к характеристике типических значений признаков в однородных по данному признаку совокупностях. На практике современная статистика использует так называемые системные средние, обобщающие неоднородные явления (характеристики государства, единой народнохозяйственной системы: например, средний национальный доход на душу населения, средняя урожайность зерновых по всей стране, средний реальный доход на душу населения, среднее потребление продуктов питания на душу населения, производительность общественного труда). В современных условиях развития рыночных отношений в экономике средние служат инструментом изучения объективных закономерностей социально- экономических явлений. Однако в экономическом анализе нельзя ограничиваться лишь средними показателями, так как за общими благоприятными средними могут скрываться и крупные серьезные недостатки в деятельности отдельных хозяйствующих субъектов, и ростки нового, прогрессивного. Так, например, распределение населения по доходу позволяет выявлять формирование новых социальных групп. Поэтому наряду со средними статистическими данными необходимо учитывать особенности отдельных единиц совокупности. Средняя величина может принимать такие значения, которые не присущи непосредственно ни одному из элементов изучаемой совокупности, кроме того, на практике часто средняя величина для дискретного признака выражается как для непрерывного. Например, среднее число родившихся на каждую тысячу населения в регионе: в регионе имеются несколько населенных пунктов, в каждом из которых складывается собственный уровень рождаемости. Чтобы рассчитать среднюю рождаемость по региону необходимо численность всех родившихся младенцев соотнести с численностью населения и умножить на 1000: Результат расчета средней величины по данному показателю может выражаться в дробных числах, несмотря на то, что показатель «число родившихся» является целым числом. Средняя величина являются равнодействующей всех факторов, оказывающих влияние на изучаемое явление. То есть, при расчете средних величин взаимопогашаются влияние случайных (пертурбационных, индивидуальных) факторов и, таким образом, возможно определение закономерности, присущей исследуемому явлению. Адольф Кетле подчеркивал, что значение метода средних величин состоит в возможности перехода от единичного к общему, от случайного к закономерному, и существование средних величин является категорией объективной действительности. «Понятие о средней величине существует вне науки, которая только придает ему определенность и точность[1]». Математические приемы, используемые в различных разделах статистики, непосредственно связаны с вычислением средних величин. Средние в общественных явлениях обладают относительным постоянством, т.е. в течение какого-то определенного промежутка времени однотипные явления характеризуются примерно одинаковыми средними. Условия применения средних величин в анализе Как уже говорилось выше обязательным условием расчета средних величин для исследуемой совокупности является ее однородность. Действительно, допустим, что отдельные элементы совокупности, вследствие подверженности влиянию некоторого случайного фактора, имеют слишком большие (или слишком малые) величины изучаемого признака, существенно отличающиеся от остальных. Такие элементы повлияют на размер средней для данной совокупности, поэтому средняя не будет выражать наиболее характерную для совокупности величину признака. Если исследуемое явление не является однородным, то его разбивают на группы, содержащие только однородные элементы. Для такого явления рассчитываются сначала средние по группам, которые называются групповые средние, – они будут выражать наиболее типичную величину явления в каждой группе. Затем рассчитывается для всех элементов общая средняя величина, характеризующая явление в целом, – она рассчитывается как средняя из групповых средних, взвешенных по числу элементов совокупности, включенных в каждую группу. На практике, однако, безусловное выполнение данного условия повлекло бы за собой ограничение возможностей статистического анализа общественных процессов. Поэтому, часто средние величины рассчитываются по неоднородным явлениям. Например, при расчете величины средней заработной платы по Тюменской области, когда совместно анализируется заработная плата труда в автономных округах и в южных районах Тюменской области, а затем полученный средний уровень заработной платы труда сопоставляется с соседними сибирскими регионами. Еще одним важным условием применения средних величин в анализе является достаточное количество единиц в совокупности, по которой рассчитывается среднее значение признака. Достаточность анализируемых единиц обеспечивается корректным определением границ исследуемой совокупности, т.е. закладывается еще на начальном этапе статистического исследования. Данное условие становится решающим при применении выборочного наблюдения, когда необходимо обеспечить репрезентативность выборки. Определение максимального и минимального значения признака в изучаемой совокупности также является условием применения средней величины в анализе. В случае больших отклонений между крайними значениями и средней, необходимо проверить принадлежность экстремумов к исследуемой совокупности. Если сильная изменчивость признака вызвана случайными, кратковременными факторами, то, возможно, крайние значения не характерны для совокупности. Следовательно, их следует исключить из анализа, т.к. они оказывают влияние на размер средней величины. Виды средних величин. В статистике выделяют несколько видов средних величин: 1. По наличию признака-веса: а) невзвешенная средняя величина; б) взвешенная средняя величина. 2. По форме расчета: а) средняя арифметическая величина; б) средняя гармоническая величина; в) средняя геометрическая величина; г) средняя квадратическая, кубическая и т.д. величины. 3. По охвату совокупности: а) групповая средняя величина; б) общая средняя величина. Средние величины различаются в зависимости от учета признаков, влияющих на осредняемую величину: Если средняя величина рассчитывается для признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая средняя величина называется средней невзвешенной или простой средней. Если имеются сведения о влиянии на осредняемый признак некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная. По форме расчета выделяют несколько видов средних величин, которые образованы из единой степенной средней величины. Степенная средняя величина имеет форму: [pic], где [pic]- среднее значение исследуемого явления; k – показатель степени средней; x – текущее значение (вариант) осредняемого признака; i –i-тый элемент совокупности; n – число наблюдений (число единиц совокупности). При разных показателях степени k получаем, соответственно, различные по форме средние величины. (Табл. 1): Таблица 1 |Степень |Название | |средней |средней | |величины (k) | | |-1 |гармоническая| |0 |геометрическа| | |я | |1 |арифметическа| | |я | |2 |квадратическа| | |я | |3 |кубическая | Выбор формы средней обусловлен исходным соотношением, суть которого приводилась выше. Существует порядок расчета средней величины: 1. Определение исходного соотношения для исследуемого показателя. 2. Определение недостающих данных для расчета исходного соотношения. 3. Расчет средней величины. Рассмотрим некоторые виды средних, которые наиболее часто используются в статистике.Для этого введем следующие понятия и обозначения: Признак, по которому находится средняя, называемый осередняемым признаком, обозначим буквой "х" Значения признака, которые встречаются у группы единиц или отдельных единиц совокупности (не повторяясь) называются вариантами признака и обозначаются через x1, x2, x3 и т.д. Средняя величина этих значений обозначается через " " . Средняя арифметическая Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений. Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают через х ([pic]); число единиц совокупности обозначают через n, среднее значение признака - через [pic]. Следовательно, средняя арифметическая простая равна: [pic] Например,имеются следующие данные о производстве рабочими продукции А за смену: |20-30 |7 |25 | |30-40 |13 |35 | |40-50 |48 |45 | |50-60 |32 |55 | |60 и более |6 |65 | |Итого |106 |Х | Средний возраст рабочих цеха будет равен [pic]лет. В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная. Средняя арифметическая обладает рядом свойств: 1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака х в п раз величина средней арифметической не изменится. Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится. 2. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней: [pic] 3. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних: [pic] 4. Если х = с, где с - постоянная величина, то [pic]. 5. Сумма отклонений значений признака Х от средней арифметической х равна нулю: [pic] Средняя гармоническая Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (fi) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей. Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле [pic], т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака. Например, бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин., третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали. На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой: [pic] Полученная средняя была бы правильной, если бы каждый рабочий сделал только по одной детали. Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением: все затраченное время Среднее время, затраченное = -------------------------------------- на одну деталь число деталей Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно: [pic] Это же решение можно представить иначе: [pic] Таким образом, формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид: [pic] Средняя гармоническая взвешенная: [pic], где Mi=xi*fi (по содержанию). Например, необходимо определить среднюю урожайность всех технических культур на основании следующих данных (таблица 3): Таблица 3 Валовой сбор и урожайность технических культур по одному из районов во всех категориях хозяйств. |Культуры |Валовой сбор, ц (Mi) |Урожайность, ц/га (xi) | |Хлопчатник |97,2 |30,4 | |Сахарная свекла |601,2 |467,0 | |Подсолнечник |46,3 |11,0 | |Льноволокно |2,6 |2,9 | |Итого |743,3 |Х | Здесь в исходной информации веса (площадь под культурами) не заданы, но входят сомножителем в валовой сбор, равный урожайности, умноженной на площадь Mi=xi*fi , поэтому [pic], а средняя урожайность будет равна [pic]. Средняя геометрическая Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста. Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени и из произведений отдельных значений — вариантов признака х: [pic] где n — число вариантов; П — знак произведения. Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения. Средняя квадратическая и средняя кубическая В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов). Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число: [pic], где x1,x2,…xn- значения признака, n- их число. Средняя квадратическая взвешенная: [pic], где f-веса. Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы кубов отдельных значений признака на их число: [pic], где x1,x2,…xn- значения признака, n- их число. Средняя кубическая взвешенная: [pic], где f-веса. Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов x, и из их отклонений от средней (х — [pic]) при расчете показателей вариации. Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже сред- них индивидуальных). Структурные средние. Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической практике мода и медиана. Мода – значение случайной величины встречающейся с наибольшей вероятностью. В дискретном вариационном ряду это вариант имеющий наибольшую частоту. В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях: 44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43; Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет модальной. В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле [pic], где [pic] - начальное значение интервала, содержащего моду; [pic] - величина модального интервала; [pic] - частота модального интервала; [pic] - частота интервала, предшествующего модальному; [pic] - частота интервала, следующего за модальным. Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте (таблица 4) Распределение предприятий по численности промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными: Таблица 4 |Группы предприятий по числу работающих, |Число предприятий | |чел | | |100 — 200 |1 | |200 — 300 |3 | |300 — 400 |7 | |400 — 500 |30 | |500 — 600 |19 | |600 — 700 |15 | |700 — 800 |5 | |ИТОГО |80 | В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения. Введем следующие обозначения: [pic] =400, [pic] =100, [pic] =30, [pic]=7, [pic]=19 Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления: [pic] Мода применяется для решения некоторых практических задач. Так, например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды и др. Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части. В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности - это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов из 27 человек медианным будет рост у 14-го, если они выстроятся по росту. Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя арифметическая из значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов. В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле: [pic] , где x0 - нижняя гранича медианного интервала; iMe - величина медианного интервала; Sme-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала; fMe - частота медианного интервала. Распределение предприятий по численности промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными: Таблица 5 |Группы предприятий по |Число предприятий |Сумма накопительных | |числу рабочих, чел. | |частот | |100 — 200 |1 |1 | |200 — 300 |3 |4 (1+3) | |300 — 400 |7 |11 (4+7) | |400 — 500 |30 |41 (11+30) | |500 — 600 |19 |— | |600 — 700 |15 |— | |700 — 800 |5 |— | |ИТОГО |80 | | Определим прежде всего медианный интервал. В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 - 500. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле. Известно, что: [pic] Следовательно, [pic]. Cоотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если M0