Материалы сайта
Это интересно
Сборник Лекций 2 по Мат.Анализу
§3. Дифференциал функции двух переменных Рассмотрим функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р0(х0,у0) частные производные f(x(х0,у0) и f(у(х0,у0). Перейдём от точки Р0 к точке R0(x0+(x,y0+(у), придавая переменным х и у в точке Р0 произвольные приращения (x и (у, соответственно. При этом функция в точке Р0 получит приращение (f(х0,у0) = f(x0+(x,y0+(y) – f(x0,y0) = f(R0) – f(P0). Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде (f(х0,у0) = f(x(х0,у0)(x + f(у(х0,у0)(у + (((x;(у) (x + (((x;(у)(у, (1) где [pic], то функция называется дифференцируемой в точке Р0(х0,у0). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в точке Р0 и обозначается df(x0,y0): df(x0,y0) = f(x(х0,у0)(x + f(у(х0,у0)(у. (2) Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагая поочерёдно f(x,y) = х и f(x,y) = у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно (x и (у . Таким образом df = f(x dх + f(у dу. Раньше говорилось о том, что из существования частных производных в точке не следует непрерывности функции в этой точке. Однако, из справедливости равенства (1) следует [pic], а это означает непрерывность функции в точке (х0,у0). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке. Из сказанного следует, что существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция дифференцируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, что функция дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке. На рисунке 1 график функции z = f(x,y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р0Р равна значению функции z в точке P0, [pic] то есть (Р0Р( = f(x0,y0) (на рисунке для наглядности поверхность F выбрана так, что все рассматриваемые значения функции и приращения в точке P0 положительны, но это не ограничивает справедливости приведенных выше выводов и формул в общем случае). Координатами точек Q0, S0 и R0 являются пары чисел соответственно (x0,y0+(у); (x0+(x,y0) и (x0+(x,y0+(у), причём (Q0Q( = f(Q0), (S0S( = f(S0) и (R0R( = f(R0). Приращение (f(х0,у0) функции в точке Р0 равно (RR2(. Параллелограмм PQ1R1S1 лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ2R2S2 расположен в горизонтальной плоскости. Очевидно: (Q2Q1( = f(y(x0,y0)(y и (S2S1( = f(x(x0,y0)(x. Из легко доказываемого равенства (R2R1( = (S2S1( + (Q2Q1( и формулы (2) следует, что дифференциал функции в точке Р0 равен (R2R1(. Так как df(x0,y0) ( (f(x0,y0), дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.