Материалы сайта
Это интересно
Автоматизированное проектирование деталей крыла
Составление математической модели теоретических обводов крыла
1 Классификация несущих поверхностей
Все многообразие проектируемых несущих поверхностей можно
классифицировать следующим образом: линейчатые, нелинейчатые, существенно
нелинейчатые и интегральные. При этом в основу классификации положен скорее
не теоретический подход, а некоторая практическая характеристика, которую
можно назвать геометротехнологической.
Чаще всего, как и в нашем случае, при математическом описании несущих
поверхностей применяются линейчатые поверхности, образованные путем
перемещения прямолинейной образующей по двум криволинейным пространственным
направляющим.
Для однозначности определения положения в пространстве прямолинейной
образующей необходимо задать закон ее перемещения. Этот закон может
задаваться в виде направления в пространстве, например, плоскости
параллелизма, или третьей направляющей. Если же две направляющие являются
плоскими кривыми, лежащими в параллельных плоскостях, а в качестве третьей
направляющей выбрана прямая, параллельная указанным плоскостям, то
образованная в этом случае поверхность будет называться поверхностью с
пропорциональной разбивкой. Действительно, если мы рассмотрим проекцию
направляющих и образующих на плоскость, перпендикулярную прямолинейной
образующей, нетрудно видеть, что отрезки проекций криволинейных
направляющих, отсекаемые образующими, будут пропорциональны.
Иногда такие поверхности называют линейчатыми поверхностями с
процентной разбивкой.
Частным случаем линейчатых поверхностей является развертываемая
поверхность, отличающаяся тем, что прямолинейная образующая, соединяющая
две точки на направляющих, и касательные в них компланарны, т.е.
поверхность получается путем обкатки плоскостью двух направляющих. Исходя
из этого углы наклона касательных, как в начале, так и в конце используемых
отрезков двух кривых должны быть равны между собой, а изменение углов
наклона вдоль кривых должно быть гладким и непрерывным.
Нелинейчатой будем называть такую поверхность, у которой способ
перехода от сечения к сечению в параллельных плоскостях не обеспечивает
линейность образующих, однако форма крыла в плане ограничена прямыми
линиями. Существенно нелинейчатая поверхность — это поверхность такого
крыла, геометрические параметры которого (форма профиля, толщина и
вогнутость его средней линии и другие) значительно изменяются вдоль размаха
крыла. Кроме того, форма в плане описывается криволинейными передней и
задней кромками. Следует отметить, что такая поверхность позволяет
существенно повысить аэродинамические характеристики крыла. Примером такого
крыла является, например, крыло сверхзвукового пассажирского самолета Ту-
144.
Для получения дополнительного выигрыша в аэродинамических
характеристиках (интерференция) фюзеляжа и крыла, а также бол ее полного
использования компонуемого объема в последние годы получило широкое
распространение объединение поверхности фюзеляжа и крыла в гладкую единую
поверхность с обеспечением их плавного сопряжения. Такая компоновка крыла и
фюзеляжа получила название интегральной. Это решение реализовано при
проектировании американского самолета В1-А.
2 Основные геометрические характеристики крыла
Геометрические характеристики крыла в основном можно определить по его
форме в плане. Вообще говоря, хорда крыла определяется как условная линия,
соединяющая точки передней и задней кромок крыла, полученные в результате
их пересечения плоскостью, параллельной плоскости симметрии самолета.
Хорда, взятая в произвольном по размаху месте крыла, называется
местной, ее длина [pic] равна:
[pic], (8.1)
где [pic], [pic] - координаты передней кромки крыла; [pic], [pic] -
координаты задней кромки крыла.
Хорда, определяемая при z = 0 в системе координат самолета, называется
центральной (корневой) [pic] • Бортовая хорда — это хорда крыла в
пересечении его с поверхностью фюзеляжа. В частном случае, например,
треугольного в плане крыла концевая хорда вырождается в ноль.
При расчете аэродинамических характеристик крыла чаще пользуются
геометрическими параметрами его проекции на базовую или строительную
плоскости.
Базовая плоскость крыла (БПК) — это плоскость, перпендикулярная
плоскости симметрии самолета и проходящая через корневую хорду крыла.
Строительной плоскостью крыла (СПК) называют плоскость, проходящую
через хорду одного из сечений крыла (чаще всего корневого или бортового) и
точку, лежащую на хорде концевого сечения. Тогда при прямолинейности задней
кромки крыла СПК будет определяться двумя пересекающимися линиями —
корневой хордой и задней кромкой крыла.
При нулевом значении угла поперечного V крыла базовая и строительная
плоскости совпадают. Поэтому будем считать, что крыло в плане ограничено
проекциями линий передней и задней кромок на СПК, корневой и концевой
.хордами. Площадь, ограниченную этими линиями, будем называть проекционной
площадью крыла.
Местный угол стреловидности передней кромки крыла [pic] - угол между
касательной к линии передней кромки в заданной точке и плоскостью,
перпендикулярной к корневой хорде крыла. Аналогично определяется угол
стреловидности задней кромки [pic] и линии четверти хорды крыла.
Удлинение крыла определяется как отношение квадрата полного размаха
[pic] к его площади [pic]:
[pic]. (8.2)
Другой важной характеристикой формы крыла в плане является сужение,
которое определяется как отношение корневой хорды и концевой:
[pic] (8.3)
В ряде случаев из конструктивных соображений или по аэродинамическим
требованиям законцовку трапециевидного крыла обрезают. В этом случае для
определения сужения крыла исходную форму в плане заменяют фиктивным
трапециевидным крылом равной площади с совпадающими передней и задней
кромками. Концевая хорда [pic] такого крыла определяется из условия
равенства площадей по формуле:
[pic], (8.3)
а сужение крыла определяется так:
[pic]. (8.4)
При этом следует отметить, что полученное фиктивное крыло нельзя
использовать для расчета таких характеристик, как удлинение и средняя
аэродинамическая хорда.
Средняя аэродинамическая хорда (САХ) определяется как хорда
прямоугольного крыла, равного по размаху и площади исходному. САХ является
одним из важнейших геометрических параметров несущей поверхности,
используемых при расчетах аэродинамических и динамических характеристик, и
рассчитывается на основании приведенного выше определения так:
[pic]. (8.5)
Формулой (8.5) пользуются для определения САХ сложного по форме в
плане крыла. Однако в большинстве случаев форму крыла в плане можно
привести к одной или нескольким трапециям. В этом случае САХ рассчитывается
по известным геометрическим формулам:
площадь крыла
[pic]; (8.6)
положение САХ по размаху
[pic]; (8.7)
длина САХ
[pic]; (8.8)
положение носка САХ относительно начала координат крыла
[pic]. (8.9)
Если воспользоваться такими характеристиками крыла, как сужение и
удлинение, то формулы (8.7) и (8.8) принимают вид
[pic]; (8.10)
[pic]. (8.11)
Для крыла, составленного из двух трапеций, САХ и ее положение
определяются по формулам:
[pic]; (8.12)
[pic]; (8.13)
[pic]. (8.14)
Здесь индексом "1" обозначены параметры внутренней, а индексом "2" -
внешней секции крыла.
Для многосекционного крыла, состоящего из n трапеций, длина САХ
определяется по формуле:
[pic]. (8.15)
Приведенные выше зависимости для определения геометрических
характеристик крыла справедливы и для других несущих поверхностей, таких,
как вертикальное и горизонтальное оперение, с той лишь разницей, что вместо
корневой хорды в них используется бортовая хорда и размах определяется как
сумма длин консолей , т.е.
[pic]. (8.16)
3 Геометрические характеристики аэродинамического профиля
Аэродинамический профиль является основой построения поверхности крыла
и определяет основные его характеристики. В общем случае профилем крыла
следует считать плоский замкнутый контур, полученный в результате
пересечения поверхности крыла плоскостью, перпендикулярной строительной
плоскости крыла и пересекающей переднюю и заднюю кромки крыла.
Задачу об обтекании крыла потоком теоретическая аэродинамика разделяет
на две: задачу об обтекании прямоугольного недеформированного крыла
заданной толщины и задачу об обтекании деформированной пластины нулевой
толщины. При решении задачи обтекания поверхность крыла и аэродинамический
профиль считают симметричными относительно строительной плоскости с
наложенными на них деформациями искривления и сдвигом срединной
поверхности, т.е. ординаты точек поверхности определяются в виде:
[pic] (8.17)
где [pic] - ордината верхней поверхности крыла; [pic] - ордината нижней
поверхности крыла; [pic] - положительная ордината симметричной поверхности
крыла; [pic] - ордината деформированной срединной поверхности.
Одной из основных характеристик профиля крыла является его хорда,
которая определяется как расстояние между крайними его точками, являющимися
точками вертикальных касательных.
В местной системе координат, начало которой лежит в носке профиля, а
ось x направлена вдоль его хорды, ординаты профиля можно представить в
виде:
[pic] (8.18)
где [pic] - ордината верхнего контура профиля; [pic] - ордината нижнего
контура профиля; [pic] - положительная ордината симметричной части профиля;
[pic] - ордината средней линии профиля.
Преобразуя (8.18), получаем:
[pic]; (8.19)
[pic]. (8.20)
Для удобства сравнения профилей различных форм и размеров были введены
безразмерные, или относительные, координаты:
[pic] (8.21)
где b – хорда аэродинамического профиля.
Основными геометрическими характеристиками аэродинамического профиля
являются: максимальная относительная толщина симметричной части профиля
[pic] и ее положение на единичной хорде [pic], максимальная кривизна [pic]
и ее положение [pic].
В практике проектирования несущих поверхностей широко применяется
пересчет координат исходного профиля на заданную относительную толщину и
кривизну по формулам:
[pic] (8.22)
где индексом «3» отмечены параметры и координаты искомого профиля, а
индексом «и» - исходного профиля.
Важной характеристикой формы профиля является также относительный
радиус скругления носовой части профиля [pic], представляющий собой
значение радиуса кривизны контура в точке [pic].
В полете под действием аэродинамических сил происходит деформация
крыла: изгиб вдоль размаха и закрутка сечений относительно продольной оси
крыла. В результате закрутки сечений происходит увеличение местного угла
атаки профиля, причем это увеличение нарастает к концам крыла. На больших
углах атаки полета самолета в концевых частях крыла возникает срыв потока и
уменьшение подъемной силы.
Под геометрической деформацией крыла понимается закрутка (поворот)
каждого текущего сечения крыла на угол [pic] относительно принятой оси и
отгиб носовой части профиля на угол [pic]. Относительную величину носовой
части профиля, на которую распространяется деформация отгиба, обозначим
[pic].
Излом по обводу профиля, особенно в носовой части, недопустим. Поэтому
в точке [pic] необходимо обеспечить как минимум первый порядок гладкости
стыковки. В этом случае при заданном в сечении z угле отгиба [pic]
деформация будет определяться формулой:
[pic]. (8.23)
Если же необходимо обеспечить второй порядок гладкости в точке [pic],
т.е. [pic], то формула для определении деформации при отгибе принимает вид:
[pic]. (8.24)
За ось крутки сечений крыла обычно принимается задняя кромка. В этом
случае деформация крутки рассчитывается по формуле:
[pic], (8.25)
где [pic] - ордината несимметричного профиля без крутки.
В ряде случаев для упрощения расчетов ввиду малости углов [pic]
поворот сечения относительно оси крутки заменяют деформацией аффинного
сдвига и величину деформации крутки [pic] рассчитывают по формуле:
[pic], (8.26)
Из технологических соображений удобнее бывает задавать положение
передней кромки закрученного крыла [pic]. В этом случае формула (8.26)
преобразуется к виду:
[pic]. (8.27)
Аэродинамический профиль является исходной информацией при
проектировании крыла летательного аппарата, и требование выдерживания его
формы в процессе конструирования и изготовления крыла выдвигается на первый
план по сравнению с требованиями компоновки, технологичности и т.д. Поэтому
вопросам описания обводов типа аэродинамический профиль посвящены многие
исследования по проектированию и расчету поверхностей в самолетостроении.
В зависимости от назначения профиля предъявляются соответствующие
требования к его форме и геометрическим характеристикам.
1. Дозвуковые профили характеризуются утолщенной носовой частью,
смещением максимальной толщины профиля вперед и плавными
сходами к хвостовой части (рис. 2.1, а).
2. Околозвуковые профили отличаются несколько более заостренной
носовой частью, смещением максимальной толщины в более заднее
положение и более плавными формами в районе максимальной
толщины (рис. 2.1,6).
3. Появившиеся в последние годы трансзвуковые, или
суперкритические, профили характеризуются уплощенной верхней
линией профиля и значительным искривлением хвостовой части
(рис. 2.1, в).
4. Сверхзвуковые профили обычно представляют собой обводы с
заостренными носовой и хвостовой частями (рис. 2.1, г).
5. Гиперзвуковые профили отличаются заостренной носовой частью и
резко затупленной хвостовой частью, а также значительным
смещением максимальной толщины назад (рис. 2.1, д).
[pic]
При этом следует отметить, что приведенная классификация профилей
достаточно условна. Выбор формы профиля диктуется конкретными задачами.
По методам описания обводов аэродинамические профили делятся на две
группы:
1) профили, обводы которых имеют аналитическое описание;
2) профили, обводы которых заданы дискретным массивом координат.
Обводы профилей первой группы могут быть получены по заданным
аэродинамическим характеристикам в результате решения задачи обтекания
кругового цилиндра с использованием конформного отображения (профили
Жуковского, Кармана-Трефтца, Мизеса, Карафоли). При этом уравнения контура
профиля достаточно сложны. Поэтому были предложены способы описания обводов
типа аэродинамический профиль гладкими функциями простого вида (степенными,
строфоидами и т.п.) с последующим определением их аэродинамических
характеристик экспериментальным путем. Аэродинамические профили этой группы
получили распространение в 30-40-х гг. В последующие годы более широкое
распространение получили профили, обводы которых получены путем численного
решения дифференциальных уравнений обтекания с последующей
экспериментальной доводкой на основании исследований в аэродинамических
трубах с целью получения заданных характеристик.
Информация об обводах профилей второй группы обычно представляется в
виде таблицы значений координат точек, принадлежащих контуру.
Поэтому одной из задач проектирования поверхности крыла является
задача описания обвода, заданного дискретным точечным рядом.
Прежде чем приступить к выбору функции, аппроксимирующей заданный
аэродинамический профиль, оговорим требования, которым должна отвечать эта
функция.
Эти требования определяются, с одной стороны, условиями работы
проектируемого аппарата, т.е. необходимостью обеспечения безотрывного
обтекания крыла потоком, особенно в носовой его части. С другой стороны,
математический аппарат описания обвода должен создавать максимальные
удобства проектировщику при работе с ним, представляя собой неотъемлемую
часть автоматизированной системы проектирования поверхности. Таким образом,
аппроксимирующая функция должна удовлетворять следующим основным
требованиям:
1) быть непрерывной и обеспечивать гладкость обвода не ниже второго
порядка;
2) обеспечивать по возможности описание наибольшего количества типов
профилей;
3) обеспечивать гладкую аппроксимацию профиля без предварительного
графического сглаживания исходных данных;
4) обладать минимальным, но достаточным числом параметров, варьируемых
для управления формой профиля.
В настоящее время при проектировании плоских контуров типа
аэродинамический профиль применяется целый ряд математических зависимостей,
таких как полиномиальные функции, кривые второго порядка, степенные
уравнения, уравнения специальных контуров, сплайн-функции.
4 Проектирование поверхности линейчатого крыла
При проектировании несущих поверхностей наиболее широкое применение
получили линейчатые поверхности, что обусловлено простотой алгоритма их
построения и высокой степенью технологичности. И если в общем случае
линейчатая поверхность не является разворачиваемой, как, например,
гиперболоид вращения, то для поверхностей крыльев можно получить развертку
с достаточно высокой степенью точности. Это важно при изготовлении обшивки
крыла, особенно на участках кессона, где ее толщина велика и,
следовательно, в качестве технологического процесса изготовления может быть
использована только гибка в случае изготовления из металлов.
Особенно широкое распространение линейчатые поверхности получили также
в силу простоты их увязки и построения графическим способом. Однако в
последние годы из-за повышения требований к технологии подготовки
производства и к точности изготовления оснастки и деталей несущих
поверхностей, а также в силу необходимости автоматизации конструкторских
работ все большее распространение получают математические методы описания
линейчатых поверхностей. При этом применяются алгоритмы проектирования
поверхностей на основе как традиционного точечного задания профилей, так и
аналитического описания профилей и поверхностей.
Рассмотрим алгоритм расчета линейчатого крыла, направляющие которого
заданы аналитически в явном виде как функции от двух переменных:
[pic]; [pic] (8.28)
Пусть задана точка А на плановой проекции крыла с координатами [pic],
[pic]. Необходимо определить третью координату этой точки [pic]. Рассмотрим
каждый этап этого алгоритма. На первом этапе по задан ной координате [pic]
определяем значения координат передней и задней кромок, которые заданы как
функции одной переменной,
[pic]; (8.29)
[pic]. (8.30)
Используя эти величины, можно легко определить длину текущей хорды,
координаты x точки в местной системе координат с началом на передней кромке
крыла, а также значение относительной координаты x точки по следующим
формулам:
[pic]; (8.31)
[pic]; (8.32)
[pic]. (8.33)
На следующем этапе определяем координаты точек первого и второго
теоретических сечений с равнопроцентными координатами x:
[pic]. (8.34)
Умножая каждую относительную координату на величину хорды, получаем
абсолютные значения координат х в местной системе координат. Находим
координаты у точек на первом и втором теоретических сечениях:
[pic]; (8.35)
[pic]; (8.36)
[pic]; (8.37)
[pic]. (8.38)
Для перехода в систему координат агрегата прибавим к [pic] и [pic]
значения соответствующих координат передней кромки:
[pic]; (8.39)
[pic]. (8.40)
Таким образом, нам известны координаты х двух точек образующей
линейчатого крыла, которая проходит через точку А.
Для определения неизвестной координаты у точки А необходимо подставить
известные ее координаты в уравнение проекции образующей:
[pic], (8.41)
откуда:
[pic], (8.42)
или:
[pic]. (8.43)
При расчете сечений поверхности линейчатого крыла формулы (8.42) и
(8.43) можно использовать при взаимной перпендикулярности плоскости сечения
и плоскости хорд крыла. Если эти плоскости не перпендикулярны, то
неизвестные координаты точки А определяются из решения системы линейных
уравнений:
[pic] (8.44)
где [pic], [pic] и [pic] - некоторые постоянные коэффициенты.
Для решения этой системы можно использовать известный метод Крамера.
Рассмотренный алгоритм определения координат произвольной точки можно
использовать и для расчета сечений линейчатого крыла по заданной стреле
прогиба, т.к. при аналитическом задании профилей можно определить
произвольную точку на поверхности.
-----------------------
[pic]
Рисунок 8.1. Профили.
64
ДП 1301.02.07.00.00.00 ПЗ
Дата
Подп.
№ докум.
Лист
Изм
Лист
65
ДП 1301.02.07.00.00.00 ПЗ
Дата
Подп.
№ докум.
Лист
Изм
Лист
66
ДП 1301.02.07.00.00.00 ПЗ
Дата
Подп.
№ докум.
Лист
Изм
Лист
67
ДП 1301.02.07.00.00.00 ПЗ
Дата
Подп.
№ докум.
Лист
Изм
Лист
68
ДП 1301.02.07.00.00.00 ПЗ
Дата
Подп.
№ докум.
Лист
Изм
Лист
69
ДП 1301.02.07.00.00.00 ПЗ
Дата
Подп.
№ докум.
Лист
Изм
Лист
70
ДП 1301.02.07.00.00.00 ПЗ
Дата
Подп.
№ докум.
Лист
Изм
Лист
71
ДП 1301.02.07.00.00.00 ПЗ
Дата
Подп.
№ докум.
Лист
Изм
Лист
72
ДП 1301.02.07.00.00.00 ПЗ
Дата
Подп.
№ докум.
Лист
Изм
Лист
73
ДП 1301.02.07.00.00.00 ПЗ
Дата
Подп.
№ докум.
Лист
Изм
Лист
74
ДП 1301.02.07.00.00.00 ПЗ
Дата
Подп.
№ докум.
Лист
Изм
Лист
75
ДП 1301.02.07.00.00.00 ПЗ
Дата
Подп.
№ докум.
Лист
Изм
Лист
76
ДП 1301.02.07.00.00.00 ПЗ
Дата
Подп.
№ докум.
Лист
Изм
Лист
79
ДП 1301.02.07.00.00.00 ПЗ
Дата
Подп.
№ докум.
Лист
Изм
Лист
77
ДП 1301.02.07.00.00.00 ПЗ
Дата
Подп.
№ докум.
Лист
Изм
Лист
78
ДП 1301.02.07.00.00.00 ПЗ
Дата
Подп.
№ докум.
Лист
Изм
Лист