Материалы сайта
Это интересно
Численные методы
ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ. Большое число задач математики и физики требует отыскания собственных значений и собственных векторов матриц, т.е. отыскания таких значений +[pic], для которых существуют нетривиальные решения однородной системы линейных алгебраических уравнений [pic] , (1) и отыскания этих нетривиальных решений. Здесь [pic] -квадратная матрица порядка m , [pic]- неизвестный вектор - столбец. Из курса алгебры известно, что нетривиальное решение системы (1) существует тогда и только тогда, когда [pic], (2) где Е - единичная матрица. Если раскрыть определитель [pic] , получается алгебраическое уравнение степени m относительно [pic].Таким образом задача отыскания собственных значений сводится к проблеме раскрытия определителя [pic] по степеням [pic] и последующему решению алгебраического уравнения m- й степени. Определитель [pic] называется характеристическим (или вековым ) определителем, а уравнение (2) называется характеристическим (или вековым ) уравнением. Различают полную проблему собственных значений, когда необходимо отыскать все собственные значения матрицы А и соответствующие собственные векторы, и частичную проблему собственных значений, когда необходимо отыскать только некоторые собственные значения, например, максимальное по модулю собственное значение . Метод Данилевского развертывание векового определителя. Определение. Квадратная матрица Р порядка m называется подобной матрице А , если она представлена в виде [pic], где S - невыродженная квадратная матрица порядка m. ТЕОРЕМА. Характеристический определитель исходной и подобной матрицы совпадают . Доказательство. [pic] Идея метода Данилевского состоит в том, что матрица А подобным преобразованиям приводится, к так называемой нормальной форме Фробениуса [pic] . Характеристическое уравнение для матрицы Р имеет простой вид [pic]т.е. коэффициенты при степенях [pic] характеристического полинома непосредственно выражаются через элементы первой строки матрицы Р. Приведение матрицы А к нормальной форме Фробениуса Р осуществляется последовательно построкам, начиная с последеней строки. Приведем матрицу А [pic] подобным преобразование к виду [pic] Пусть [pic] Можн проверить,что такой вид имеет матрица [pic], которая равна [pic] где [pic] [pic] Слудующий шаг - приведение матрицы [pic] подобным преобразованием к виду [pic], где и вторая снизу строка имеет единицу в [pic]-ом столбце, а все остальные элементы строки равны нулю: [pic] Если [pic]то можно проверить, что такой вид имеет матрица [pic]: [pic] где[pic] [pic] Таким образом [pic] Далее процедура аналогичная, если на кождом шаге в очередной строке, на месте которого подобным преобразованием нужно получить единицу, не равную нулю. В этом случае ( будем называт его регулярным ) нормальная формула Фробениуса будет получена за ( m-1 ) шагов и будет иметь вид [pic] Рассмотрим нерегулярный случай, когда матрица, полученная в результате подобных преобразований приведена уже к виду [pic]и элемент [pic] . Таким образом обычная процедура метода Данилевского не подходит из-за необходимости деления на ноль. В этой ситуации возможно два случая. В первом случае к-й строке левее элемента [pic] есть элемент [pic] [pic] Тогда домножая матрицу [pic] слева и справа на элементарную матрицу перестановок [pic], получаем матрицу [pic], у которой по сравнению с матрицей [pic] переставлены l -я и (k-1 )-я строка l-й и ( k-1)- й стодбец. В результате на необходимом нам месте оказывается ненулевой элемент [pic] , уже преобразованная часть матрицы не меняется, можно применять обычный шаг метода Данилевского к матрице [pic]. Она подбна матрице [pic] (и, следовательно, исходной матрице А ), т.к. елементарная матрица перестановок совпадает со своей обратной, т.е. [pic] Рассмотрим второй нерегулярный случай, когда в матрице [pic] элемент [pic] и все элементы этой строки, которые тоже находятся левее его, тоже равны нулю. В этом случае характеристический определитель матрицы [pic] можно представить в виде [pic] где [pic] і [pic] - единичные матрицы соответствующей размерности, а квадратные матрицы [pic] и [pic] имееют вид: [pic] Обративм внимание на то, что матрица [pic] уже нормальную форму Фробениуса, и поэтому сомножитель [pic] просто развертывается в виде многочлена с коэффциентами, равными элементам первой строки. Сомножитель [pic], есть характеристический определитель матрицы [pic]. Для развертывания можн опять применять метод Данилевского, приводя матрицу [pic] подобными преобразованиями к нормальной форме Фробениуса. Предположим теперь, что матрица А подобным преобразованиям [pic] уже приведена к нормальной форме Фробениуса. Решая характеристическое уравнение [pic], находим одним из известных методов его корни [pic] которые являются собственными значениями матрицы Р и исходной матрицы А. Теперь стоит задача отыскать собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, т.е. векторы [pic] такие, что [pic] Решим ее следующим образом: найдем собственные векторы матрицы Р , а затем по определенному соотношению я пересчитаем собственные векторы матрицы А . Это соотношение дает следующая теорема. ТЕОРЕМА. Пусть [pic]є есть собственное значение , а [pic] есть соответствующий собственный вектор матрицы Р , которая подобна матрице А ,т.е. [pic] Тогда [pic] есть собственный вектор матрицы А , соответствующий собственному значению [pic] Доказательство.Тривиально следует из того, что [pic] Домножая левую и правую часть этого равенства слева на S , имеем [pic] А это и означает, что [pic]-собственный вектор матрицы А , отвечающий собственному значению [pic] Найдем собственный вектор матрицы Р , которая имеет нормальную форму Фробениуса и подобна матрице А. Записывая [pic] в развернутой форме, имеем [pic] или [pic] В этой системе одна из переменных может быть сделана свободной и ей может быть придано произвольное значение. В качестве таковой возьмем [pic] и положим [pic] Тогда последовательно находим [pic], т.е. искомый собственный вектор матрицы Р имеет вид [pic] . Если процесс приведения матрицы А к форме Р был регулярным, то [pic] В соответствии с теоремой собственным вектором матрицы А для собственного значения [pic] будет вектор [pic] Таким образом, задача вычисления собственных векторов матрицы А решена.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14