Материалы сайта
Это интересно
Теория вероятности и мат статистика
Найдем по двумерной плотности одномерные плотности случайных величин X и Y. [pic] Т.к. полученное равенство верно для всех х, то подинтегральные выражение [pic] аналогично [pic] В математической теории вероятности вводится как базовая формула (1) ибо предлагается, что плотность вероятности как аналитическая функция может не существовать. Но т.к. в нашем курсе мы исследуем только 2 конструкции - дискретные или непрерывные, то для них полученные формулы эквивалентны и не имеет смысла какую-то из них вводить как первичную. Условная плотность вероятности. Найдем плотность вероятности случайной величины Y при условии, что в результате испытания над случайной величиной XY , X приняло значение х. Обозначим [pic] тут мы использовали второе определение одномерной плотности. В качестве условной плотности вероятности используется следующее выражение [pic] Обоснование выражения для условной плотности вероятности [pic] Выведем выражение для a [pic] Обозначим [pic] [pic] Условное мат. ожидание и дисперсия линии регрессии - зависимость Y от X, выраженная в изменении средних значений Y при переходе x от одного значения к другому. Найдем математическое ожидание MZ, где [pic] Двумерные независимые случайные величины (двумерные дискретные случайные величины) Двумерная дискретная случайная величина называется случайной величиной с независимыми компонентами, если[pic] Показать самим, что справедливо [pic] Доказать самим, что если испытание, исходом которого является пара чисел [pic] является композицией двух независимых испытаний, то случайные величины X Y независимы. [pic] Независимые непрерывные двумерные случайные величины. Непрерывными случайными величинами с независимыми компонентами называются если: Непрерывная двумерная случайная величина имеет независимые случайные компоненты, если или [pic] Покажем, что второе эквивалентно первому. [pic] Покажем, что если двумерная непрерывная случайная величина XY порождена композицией независимых испытаний, то X и Y независимы. В силу определения независимых испытаний в композиционном пространстве [pic] В силу определения независимых испытаний в композиционном пространстве A и B независимы. Следовательно: [pic] Многомерные дискретные случайные величины Это система, состоящая из m дискретных одномерных случайных величин. Всю арифметику проделать самостоятельно. Многомерные непрерывные случайные величины. Система из m одномерных непрерывных случайных величин, у которой пространством элементарных событий является m-мерное арифметическое пространство либо его область, имеющая ненулевой объем. m-мерная плотность вероятности удовлетворяет выражению [pic] m-мерной функцией распределения называется числовая скалярная функция m действительных аргументов, которая численно равна: [pic] Случайные величины x1, x2, ... xm независимы, если [pic] Доказать, что если m-мерная случайная величина порождена композицией m- мерных испытаний, то события независимы. Запишем аналог формул [pic] для многомерного случая. Для получения плотности вероятности [pic] необходимо n-мерную плотность проинтегрировать в бесконечных пределах по переменным, которые соответствуют случайным величинам, не входящим в [pic] Найдем плотность n-мерной случайной величины. [pic] Математическое ожидание скалярной функции случайных аргументов. Двумерный дискретный случай. XY Числовая скалярная функция [pic] [pic] является одномерной дискретной случайной величиной, со следующим отличием от обычного представления: для того, чтобы в испытании получить реализацию [pic] необходимо провести испытание над двумерной случайной величиной XY, зафиксировать ее результат xi,yi и подставить в [pic] . Полученное число и есть реализация случайной величины [pic]. Таблица случайной величины строится по таблице [pic] Двумерные непрерывные случайные величины [pic] Случайную величину [pic] аппроксимируем дискретной по следующему правилу: пространство элементарных событий XY представим в виде совокупности прямоугольников с вершинами [pic], если в результате испытания XY попало в прямоугольник (i,j), то эта случайная величина приняла значение [pic]. Вероятность наступления этого события равна: [pic] точное значение мат. ожидания [pic] n-мерный дискретный случай [pic] - многомерная дискретная случайная величина Найдем [pic] Вероятностное пространство зададим в виде [pic] Тогда [pic] n-мерный непрерывный случай [pic] Теорема 1. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий [pic] а) дискретный случай [pic] б) непрерывный случай [pic] Пусть n-произвольное число [pic] Теорема 2. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению мат.ожиданий. По определению имеем [pic] т.к. случайные величины X и Y независимы, то [pic] [pic] Коэффициент ковариации Коэффициентом ковариации называется выражение [pic] Эта формула верна, т.к. верна следующая формула. Пусть [pic] тогда [pic] Если случайные величины XY независимы, то их коэффициент ковариации равен нулю, обратное в общем случае неверно. Пример. X - случайная величина, имеющая нормальное распределение с нулевым мат.ожиданием [pic] Y=X2 (Y и X связаны функционально). Найдем [pic] Случайная величина [pic] называется нормированной случайной величиной, ее мат.ожидание равно 0, а дисперсия -1. [pic] Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y - это число [pic] Следствие: Если X и Y независимы, то коэффициент ковариации равен 0, то [pic] Доказать, если [pic] независимы, то [pic] Свойства коэффициента корреляции 1. [pic] По определению [pic] т.к. [pic] всегда неотрицательна, то [pic] 2. Если [pic], то с вероятность 1 X и Y связаны линейно. [pic] Рассмотрим X*-Y*, отсюда M(X*-Y*)=0. [pic] Если X и Y дискретные случайные величины, и дисперсия равна 0, то их сумма (разность) является постоянной [pic] Пусть X и Y непрерывные случайные величины, то в соответствии с неравенством Чебышева [pic] т.к. [pic] [pic] Это неравенство и обозначает, что с вероятностью 1 [pic] откуда y=ax+b, где [pic] Если коэффициент корреляции [pic], то результаты опыта лежат на прямой [pic] В общем случае Y можно представить в виде [pic] Коэффициент корреляции является мерой близости линейной связи между случайными величинами X и Y: чем ближе коэффициент корреляции по модулю к 1, тем более тесно результаты конкретного испытания над X и Y соотносятся с прямой ax+b. Нахождение плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин Дискретный случай. Пусть X и Y - две дискретные независимые величины данного испытания и Z=X+Y. Возможное значение Z=z=x+y всегда представляет сумму двух возможных значений слагаемых X=x и Y=y. По правилу сложения [pic] где суммирование распространено на те пары, которые в сумме дают Z. В силу независимости X и Y [pic] Приняв во внимание, что y=z-x [pic] последняя сумма [pic] распространяется не на все значения x, а только на такие, для которых z-x равно одному из возможных значений y. Если условиться, что P(y=z-x)=0, если z-x не принадлежит к числу возможных значений Y, то [pic] Аналогично [pic] Формулы (1) и (2) определяют композицию величин X и Y. Или [pic] Непрерывный случай. Пусть X и Y независимые непрерывные случайные величины. Пусть f(x,y) - двумерная плотность вероятности двумерной случайной величины XY. Плотность совместного распределения f(x,y) в силу независимости X и Y имеет вид [pic] Рассмотрим функцию распределения случайной величины Z. [pic] [pic] Для того, чтобы имело место событие [pic]действительное число необходимо и достаточно, чтобы случайная точка Q(x,y) попала в область 1. Тогда эта вероятность равна [pic] Дифференцируя под знаком интеграла [pic] Двумерное нормальное распределение Двумерная случайная величина XY распределена нормально, если ее плотность вероятности f(x,y) имеет вид [pic] Свойства двумерного нормального распределения 1. [pic] 2. [pic] т.е. X и Y имеет одномерное нормальное распределение. [pic] Сделаем подстановку [pic] [pic] тут мы для краткости обозначили [pic] Прибавляя и вычитая в показателе степени по e по [pic] [pic] Сделаем подстановку [pic] 3. [pic] то X и Y независимые случайные величины, то плотность вероятности двумерная распадается на произведение одномерных [pic] Найдем условную плотность вероятности [pic] Подставляя в полученное выражение значения [pic] и [pic] получаем [pic] Вывод: условная плотность вероятности оказалось нормальной с мат. ожиданием [pic] и дисперсией, постоянной [pic] Многомерное нормальное распределение n-мерная непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение, если ее многомерная плотность вероятности в матричном виде [pic] Показать, что формула [pic] в двумерном случае переходит в [pic] для n=2 находим [pic] Показатель степени при e [pic] Найдем обратную матрицу матрице В [pic] Проводим непосредственное доказательство [pic] B - ковариационная матрица [pic] Показать, что эта формула в двумерном случае совпадает с выражением, рассмотренном ранее. Свойства n-мерного нормального распределения. [pic] - определитель матрицы B - неотрицательное число. По критерию Сильвестрова, если [pic] то все главные миноры матрицы B неотрицательные и определитель матрицы B неотрицателен. [pic]