Материалы сайта
Это интересно
Аксиоматика векторного пространства
Задача. Каждое ребро призмы ABCA1B1С1 равно 2. Точки М и N – середины ребер АВ и A1А. Найти расстояние от точки М до прямой CN, если известно, что угол A1AС paвeн 60° и прямые A1A и АВ перпендикулярны. Решение. Рассмотрим базис, состоящий из векторов [pic], [pic], [pic] и составим таблицу умножения для этих векторов. |* |а |b |с | |а |4 |0 |2 | |b |0 |4 |2 | |с |2 |2 |4 | Расстояние от точки М до прямой CN равно расстоянию от точки М до её проекции на прямую CN. Пусть Р – проекция точки М на прямую CN. Тогда [pic] для некоторого числа х. Так как [pic] и [pic], [pic] Поскольку прямые [pic] и [pic] перпендикулярны, то [pic] т.е. [pic]. Раскрывая скобки и пользуясь таблицей умножения для нашего базиса, получаем: [pic]. Тогда [pic]. Искомое расстояние [pic] равно [pic] Снова раскрывая скобки и пользуясь таблицей умножения, находим [pic]. Таким образом, расстояние от точки М до прямой [pic] равно [pic]. Ответ : расстояние равно [pic]. у 6 Задача. В параллелограмма ABCD точка К – середина стороны ВС, а точка М – середина стороны CD. Найдите AD, если АК = 6, АМ = 3, угол КАМ = 60°. Решение. В качестве базиса выберем векторы [pic] и [pic] и составим таблицу умножения для векторов этого базиса. |* |k |m | |k |36 |9 | |m |9 |9 | По формуле треугольника [pic] и [pic]. Так как X – середина ВС, М – середина CD, то [pic] и [pic], и получаем систему: [pic] [pic], откуда [pic] Ответ: 4. Задача. Ребра СА, СВ, СС, треугольной призмы ABCA1В1С1 равны, соответственно 2, 3 и 4 образуют между собой углы [pic]ACB = 90°, [pic]ACС1 = 45° и [pic]BCC1 = 60°. Найдите объём призмы. [pic] Решение. Пусть отрезок С1О является высотой данной призмы. Тогда [pic] Для того, чтобы найти высоту С1О, выберем в качестве базиса векторы [pic] и составим таблицу умножения. |* |[pic] |[pic] |[pic] | |[pic] |4 |0 |[pic] | |[pic] |0 |9 |6 | |[pic] |[pic] |6 |16 | Разложим вектор C1O по векторам [pic]. Получим: [pic], где [pic], а [pic]. Таким образом [pic]. Коэффициенты х, у находим из условий перпендикулярности вектора C1O с векторами [pic]. [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]. Следовательно, [pic] Значит С1О = [pic] Тогда V = 3·C1O = 3·2 = 6 Ответ: 6. С помощью векторов можно решать не только геометрические задачи, но и доказывать алгебраические неравенства. I. Доказать неравенство [pic] Доказательство: Рассмотрим векторы [pic] и [pic]. Их скалярное произведение [pic] Так как [pic], [pic], то, учитывая неравенство [pic], получим [pic]. II. Докажем, что для любых неотрицательных чисел a, b, c справедливо неравенство: [pic] Доказательство: Рассмотрим векторы [pic] и [pic]. Их скалярное произведение: [pic], а длины [pic] и [pic]. Отсюда, учитывая неравенство [pic], получаем [pic].