Материалы сайта
Это интересно
ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова
Математика. Задачи устного экзамена
1. Доказать, что число n3 - n + 3 составное для любого натурального n>1.
2. Целое число кратно 7 и при делении на 4 дает в остатке 3. Найти остаток от деления этого числа на 28.
3. Доказать, что если a + b + c делится нацело на 6, то и a3 + b3 +c3 делится нацело на 6 (a, b, c - целые числа).
4. Решить в целых числах уравнение 9 x = 4y + 1.
5. Сравнить числа a и b, если известно, что 5(a - 1) = a2 + b.
6. Имеет ли смысл выражение ?
7. Изобразить на плоскости геометрическое место точек, удовлетворяющих
равенству
|y - x| + |y - x2| = 2.
8. Построить график функции y(x) = arcsin (|sinx|).
9. Решить уравнение sinx.sin3x = 2cos2x - cos2x.
10. Решить уравнение .
11. При каких a уравнение sinx + cosx + sinx.cosx = a имеет решения ?
12. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = arcsinx.arccosx + 1.
13. Решить неравенство .
14. В треугольнике все три высоты меньше 1. Доказать, что радиус вписанной окружности меньше 1/3.
15. Доказать, что в любом треугольнике сумма длин всех трех медиан меньше периметра треугольника, но больше 3/4 периметра треугольника.
16. В треугольнике АВС проведены высота СК и медиана СМ. Известно, что РАСК= РВСМ и РКСМ0. Найти величину угла АСВ.
17. Построить параллелограмм по диагоналям и углу паралеллограмма.
18. Построить треугольник по двум углам и биссектрисе третьего угла.