Материалы сайта
Это интересно
Исследование эмпирической зависимости
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) КУРСОВАЯ РАБОТА ТЕМА: «Исследование эмпирической зависимости». КУРС: «Математическое моделирование экономических процессов». Студентки группы МФ-3-95 Франковской К. И. ____________________________________________________________________________ МОСКВА 1998 План 1. Введение 2. Исходные данные 3. Исследование на приближение к экспоненциальной зависимости 1. Построение графика эмпирической зависимости в полулогарифмических координатах 2. Построение производной 3. Построение темпа производной 4. Исследование на приближение к степенной зависимости 1. Построение обратного темпа роста интеграла степенной зависимости 2. Построение графика B(X 3. Построение графика эмпирической последовательности в логарифмических координатах 5. Заключение 6. Используемая литература 7. Приложение 1. Введение Анализ эмпирических данных используется в качестве анализа многих экономических показателей для возможности прогнозирования изменения этих показателей. Прогнозированием различной экономической динамики занимаются технический и фундаментальный анализы. Технический анализ по результатам исследования предоставляет конкретное решение по действиям, а на базе фундаментального анализа, можно построить прогноз динамики изменения конкретного показателя в будущем. В качестве исследуемой последовательности будет взят эмпирический набор экономических данных, имеющий растущую тенденцию изменения во времени. Данные исследования эмпирических данных будут проводиться с целью выявления некоторых функциональных зависимостей между ними, а также математической модели, к которой наиболее близко приближается эмпирическая зависимость. В данной курсовой работе будет проведен анализ двух эмпирических последовательностей на соответствие математическим моделям роста, таким как экспоненциальная зависимость и степенная зависимость. 2. Исходные данные В качестве исходных последовательностей взяты статистические данные из книги «Историческая статистика Соединенных Штатов Америки» – Эмиграция в США из Центральной Европы с 1886 по 1915 год и Эмиграция в США из СССР и стран Балтии с 1886 по 1915 год. График исходных данных представлен на листе 1 (см. Приложение). Эмиграция в США Эмиграция в США из Центральной Европы из СССР и стран Балтии (Венгрия, Австрия) (Литва, Эстония, Латвия, Финляндия) [pic] [pic] 3.Исследование на приближение к экспоненциальной зависимости 3.1 Построение графика эмпирической зависимости в полулогарифмических координатах Уравнение экспоненциальной функции имеет следующий вид: X=Cekt , что является решением дифференциального уравнения: dX/dt = KX . Проинтегрировав это уравнение получим линейную зависимость lnX по t: lnX = kt + lnC . Эмиграция из Центральной Европы Эмиграция из СССР и стран Балтии [pic] [pic] Формула, указанная выше позволяет нам сделать утверждение, что если данные последовательности эмпирических данных приближаются к экспоненте, то график зависимости lnX от времени должен находиться в линейном коридоре. Иными словами, если последовательность представляет собой экспоненциальную функцию, то ее график в полулогарифмических координатах спрямляется. По данному графику определяется темп роста, равный K = (2/(1 = (lnX2 – lnX1)/(t2-t1) , параметр lnC влияет на расположение прямой на плоскости. Графики зависимости lnX от t представлены на листе 2 (см. Приложение). Темп роста К, определенный по графикам, равен для графика зависимости Эмиграции в США из Центральной Европы – 0,11, для графика зависимости Эмиграции из СССР и стран Балтии – 0,13. 3.2 Построение производной Производная эмпирической последовательности рассчитывается по формуле: Xґ(ti) = (Xi – Xi-1)/(ti – ti-1) . Графики производной изображены на листе 3 (см. Приложение) и представляют собой колебания, имеющие увеличивающуюся амплитуду во времени. Это показывает на то, что скорость роста обеих эмпирических зависимостей во времени увеличивается. Эмиграция в США из Эмиграция в США из СССР и Центральной Европы стран Балтии [pic] [pic] 3.3 Построение темпа производной График изменения темпа производной строится с использованием формулы: Xґ(ti)/X(ti) = (Xi – Xi-1)/Xi(ti – ti-1) . Эмиграция в США из Эмиграция в США из Центральной Европы СССР и стран Балтии [pic] [pic] В результате построений получен график, представляющий собой колебания с различной амплитудой относительно прямой, равной темпу роста К, который характеризует скорость роста логарифма эмпирической последовательности. 4. Исследование на приближение к степенной зависимости 4.1 Построение обратного темпа роста интеграла степенной зависимости Степенная функция имеет вид: X = X0(t – t0)B , который является решением дифференциального уравнения следующего вида: dX\dt = BX/(t – t0) . Производная степенной функции равна: Xґ = BX0(t – t0)B-1 . Темп роста степенной функции равен: Xґ/X = B/(t – t0) , а обратный темп роста степенной функции имеет следующий вид: X/Xґ = (t – t0)/B . Но график обратного темпа имеет очень сильные колебания, что не позволяет с большой точностью отследить тенденцию графика. В следствие этого будет построен график обратного темпа интеграла степенной функции, имеющий более сглаженные колебания и позволяющий достаточно точно определить тегнденцию графика. График обратного темпа интеграла в идеальном случае имеет вид прямой с коэффициентом наклона равным В, которая пересекает ось абсцисс в точке t0. Интеграл степенной функции вычисляется по формуле : Y = Xґ(t – t0)B+1/B+1 . А обратный темп роста интеграла равен: Yґ/Y = X/Y = (B+1)/(t – t0) . Коэффициент наклона прямой В может быть найден из графика по формуле: B = ctg( - 1 , или, другими словами, разности отношения приращения аргумента ((1) к приращению функции ((2) и 1. Обратный темп интеграла степенной зависимости рассчитывается по формуле: Y/Yґ = ((X(t)/X . Эмиграция в США Эмиграция в США из Центральной Европы из СССР и стран Балтии [pic] [pic] Полученные графики расположены на листе 5 (см. Приложение). Так как графики зависимостей не имеют ярко выраженной тенденции по приближению к степенной функции, в качестве искомой прямой была взята общая тенденция роста данного графика, полученная с помощью метода наименьших квадратов. На основе данных графиков получены следующие значения параметров прямой: График обратного темпа интеграла зависимости Эмиграция в США из Центральной Европы: t0 = 1877, B = 2.5 График обратного темпа интеграла зависимости Эмиграция в США из СССР и стран Балтии: t0 = 1875.5, B = 2.9 4.2 Построение графика B(X Для проверки правильности значений коэффициента наклона В и начального времени t0, построен график зависимости B(X от времени. Полученые графики расположены на листе 6 (см. Приложение). Поскольку, как и в предыдущем случае, невозможно выделить четкую линейную тенденцию графиков эмпирических последовательностей. Поэтому путем проведения прямой через минимумы графика и прямой через максимумы графика, ищется прямая, расположенная на одинаковом расстоянии от обеих прямых. В результате проведенных построений определились значения t0. В обоих случаях они не совпадают со значениями, полученными в результате предыдущих построений. Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы новое значение t0 = 1890. Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии новое значение t0 = 1883. Эмиграция в США Эмиграция в США из Центральной Европы из СССР и стран Балтии [pic] [pic] 4.3 Построение графика эмпирической последовательности в логарифмических координатах Как было сказано выше, степенная функция имеет вид: X = X0(t – t0)B . Прологарифмировав обе части, получаем линейную зависимость lnX от lnT, где Т = t – t0: LnX = lnX0 + Bln(t – t0) . Графики зависимости lnX от lnТ построены с учетом обоих значений t0. Для значений t0 (t – t0 = T1, t0= 1877 для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы, t0 = 1875,5 для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии), полученных при исследовании графиков обратного темпа роста интеграла эмпирической последовательности, графики имеют вид, представленный на листе 7 (см. Приложение). Эмиграция в США Эмиграция в США из Центральной Европы из СССР и стран Балтии [pic] [pic] Как и в предыдущем случае, проводится прямая, находящаяся на одинаковом расстоянии от прямой, проведенной через минимумы графика и прямой, проведенной через максимумы графика. Коэффициент наклона данной прямой в этом случае будет равняться Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы В = 2,39; Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии В = 2,73. Для значений t0 (t – t0 = T2, t0 = 1890 для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы, t0 = 1883 для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии), полученных при исследовании графиков B(X , графики имеют вид, представленный на листе 8 (см. Приложение). Эмиграция в США Эмиграция в США из Центральной Европы из СССР и стран Балтии [pic] [pic] Из аналогично обработанноых графиков эмпирических последовательностей получены новые значения коэффициентов наклона прямых, равные Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы В = 2,44; Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии В = 1,82. 5.Заключение В результате проведенных исследований были построены графики эмпирических зависимостей и из них получено: эмпирическая последовательность Эмиграция в США из Центральной Европы приближается к экспоненциальной зависимости с темпом роста К=0,11 эмпирическая последовательность Эмиграция в США из СССР и стран Балтии приближается к экспоненциальной зависимости с темпом роста К=0,13 эмпирическая последовательность Эмиграция в США из Центральной Европы приближается к степенной зависимости с параметрами В и t0. При построении графиков были получены следующие значения параметров: В=2,5 t0= 1877 В=2,39 t0= 1890 В=2,44 эмпирическая последовательность Эмиграция в США из СССР и стран Балтии приближается к степенной зависимости с параметрами В и t0. При построении графиков были получены следующие значения параметров: В= 2,9 t0= 1875,5 В= 2,73 t0= 1883 В= 1,82 6. Используемая литература 1. Statistical History of USA. 7. ПРИЛОЖЕНИЕ