Материалы сайта
Это интересно
Оптимальные и адаптивные системы
1. Экстремальные системы управления Введение Экстремальные СУ – это такие САУ, в которых один из показателей качества работы нужно удерживать на предельном уровне (min или max). Классическим примером экстремальной СУ является система автоподстройки частоты радиоприёмника. A - экстремальная характеристика w Рис.1.1. Амплитудно-частотная характеристика 1.1. Постановка задачи синтеза экстремальных систем Объекты описываются уравнениями: [pic] (1.1) Экстремальная характеристика дрейфует во времени. Необходимо подобрать такое управляющее воздействие, которое позволяло бы автоматически находить экстремум и удерживать систему в этой точке. U: extr Y=Yo (1.2) Y y – выход динамической части объекта Y – экстремальный выход Yo - точка экстремума yo y Рис.1.2. Статическая экстремальная характеристика Необходимо определить такое управляющее воздействие, которое обеспечило выполнение свойства: [pic] (1.3) 1.2. Условие экстремума Необходимое условие экстремума – равенство нулю первых частных производных. [pic] G – градиент. (1.4) Достаточное условие экстремума – равенство нулю вторых частных производных . При синтезе экстремальной системы необходимо оценить градиент, но вектор вторых частных производных оценить невозможно, и на практике, вместо достаточного условия экстремума используют соотношение: [pic]- min (1.5) [pic] - max (1.6) Этапы синтеза экстремальной системы: 1) оценка градиента. 2) Организация движения в соответствии с условием: G >0, т.е. движение к экстремуму. 3) Стабилизация системы в точке экстремума U [pic][pic]= f+BU y Y P y = g(x) экстремальная регулятор характеристика БОГ Рис.1.3. Функциональная схема экстремальной системы 1.3. Виды экстремальных характеристик 1) Унимодальная экстремальная характеристика типа модуля Y Y = k |y| (1.7) Y = k1|y-y0(t)| + k2(t) k1 – определяет наклон; Yo yo – горизонтальный дрейф экстремума; k2 – вертикальный дрейф экстремума. y0 Рис. 1.4. Экстремальная характеристика типа модуля 2) Экстремальная характеристика типа параболы Y Y = ky2; (1.8) Y = k1 [y-yo(t)]2 + k2(t) y Рис. 1.5. Экстремальная характеристика типа параболы 3) В общем случае экстремальную характеристику можно описать параболой n-го порядка: Y = k1|y-yo(t)|n + k2|y-yo(t)|n-1 + …+kn| y-yo(t)| + kn+1(t). (1.9) 4) Векторно-матричное представление Y = yTBy (1.10) 1.4. Способы оценки градиента 1.4.1. Способ деления производных Рассмотрим его на унимодальной характеристике, y- выход динамический части системы. y[pic]R1, [pic] Y = Y(y,t) Найдём полную производную по времени: [pic] (1.11) При медленном дрейфе [pic], таким образом [pic] (1.12) Достоинство: простота. Недостаток: при малых [pic]0 нельзя определить градиент. [pic] - дифференцирующий фильтр. y Y [pic] [pic] БОГ G Рис. 1.6. Схема оценки частной производной 1.4.2. Дискретная оценка градиента [pic] [pic] (1.13) y Y Недостаток: невозможность определения G при ?y = 0. y(kT) Z-1 Z-1 Y(kT) G Рис. 1.7. Схема дискретной оценки частной производной 1.4.3. Дискретная оценка знака градиента [pic] [pic] [pic] При малом шаге дискретизации заменяем: Т > 0: [pic] [pic] (1.14) 1.4.4. Метод синхронного детектирования Метод синхронного детектирования предполагает добавление ко входному сигналу на экстремальный объект дополнительного синусоидального сигнала малой амплитуды, высокой частоты и выделение из выходного сигнала соответствующей составляющей. По соотношению фаз этих двух сигналов можно сделать вывод о знаке частных производных. y Y ГСК – генератор синусоидальных asinwt колебаний. ФЧУ ФЧУ – фазо-чувствительное устройство ГСК ? Ф - фильтр Ф Z Рис. 1.8. Функциональная схема оценки частной производной Y Yo t t y y1 yo y2 a t t Рис. 1.9. Иллюстрация прохождения поисковых колебаний на выход системы y1 – рабочая точка При этом разность фаз сигналов равна 0. y2 – разность фаз сигналов равна ?. В качестве простейшего ФЧУ можно использовать блок перемножения. ФЧУ y ? 1) 2) 1) Y 2) Рис. 1.10. Иллюстрация работы ФЧУ В качестве фильтра выбирают усредняющий на периоде фильтр, который позволяет получить на выходе сигнал, пропорциональный значению частной производной. Y При малой амплитуде поискового сигнала можно считать, что статическая характеристика в малой окрестности рабочей точки – линейка и аппроксимируем её касательной в этой точке. y1 y Рис. 1.11. Линеаризация статической характеристики в рабочей точке Следовательно уравнение экстремальной кривой можно заменить уравнением прямой: [pic] [pic] (1.16) [pic] [pic] [pic] Сигнал на выходе ФЧУ: [pic] (1.17) k – коэффициент пропорциональности – тангенс угла наклона прямой. [pic]. (1.18) Сигнал на выходе фильтра: [pic] Таким образом: [pic]? [pic] (1.19) Метод синхронного детектирования годится для определения не только одной частной производной, но и градиента в целом, при этом на вход подаётся несколько колебаний различной частоты. Соответствующие фильтры на выходе выделяют реакцию на конкретный поисковый сигнал. 1.4.5. Специальный фильтр оценки градиента Этот метод предполагает введение в систему специальную динамическую систему, промежуточный сигнал которой равен частной производной. y Z [pic] ДФ Р [pic] [pic] [pic] [pic] G Рис. 1.12. Схема специального фильтра оценки частной производной T- постоянная времени фильтра [pic] [pic]; [pic]; (1.20) При [pic]: [pic] (1.21) Для оценки полной производной Y используют ДФ – дифференцирующий фильтр, а затем эта оценка полной производной применяется для оценки градиента. 1.5. Организация движения к экстремуму 1.5.1. Системы первого порядка [pic] (1.22) Организуем закон управления пропорционально градиенту: [pic] [pic] (1.23) Запишем уравнение замкнутой системы: [pic] - нелинейное дифференциальное уравнение (1.24) Это обычное дифференциальное уравнение, которое можно исследовать методами ТАУ. Рассмотрим уравнение статики системы: [pic] т.к. [pic], то из уравнения следует, что [pic] (1.25) Если с помощью коэффициента усиления k обеспечить устойчивость замкнутой системы, то автоматически в статике мы придём в точку экстремума. В некоторых случаях с помощью коэффициента k можно кроме устойчивости обеспечить определённую длительность переходного процесса в замкнутой системе, т.е. обеспечить заданное время выхода на экстремум. Пример: [pic] [pic]; [pic]; [pic]; [pic] [pic] где k – устойчивость ?>0 [pic] [pic] ?=1 U=-y -? [pic] БОГ G Рис. 1.13. Функциональная схема градиентной экстремальной системы первого порядка Этот способ годится только для унимодальных систем, т.е. систем с одним глобальным экстремумом. 1.5.2. Метод тяжёлого шарика По аналогии с шариком, который скатывается в овраг и проскакивает точки локальных экстремумов, система АУ с колебательными процессами также проскакивает локальные экстремумы. Для обеспечения колебательных процессов в систему первого порядка вводим дополнительную инерционность. -? [pic] БОГ T-? [pic] G Рис. 1.14. Иллюстрация метода “тяжёлого” шарика [pic] G = y; [pic] [pic]- уравнение замкнутой системы; [pic] - характеристическое уравнение системы. (1.26) [pic] [pic][pic][pic] d<1 (1.27) Чем меньше d тем длиннее переходный процесс. Анализируя экстремальную характеристику, задаются необходимые перерегулирование и длительность переходного процесса, откуда задаются: [pic] 1.5.3. Одноканальные системы общего вида [pic] (1.28) Закон управления: [pic] Подставив закон управления в управление объекта, получим уравнение замкнутой системы: [pic] [pic] (1.29) В общем случае, для анализа устойчивости замкнутой системы необходимо использовать второй метод Ляпунова, с помощью которого определяется коэффициент усиления регулятора. Т.к. 2й метод Ляпунова даёт лишь достаточное условие устойчивости, то выбранная функция Ляпунова может оказаться неудачной и регулярную процедуру расчёта регулятора здесь предложить нельзя. 1.5.4. Системы со старшей производной в управлении Общий случай экстремума объектов [pic] [pic] (1.30) Функции f, B и g должны удовлетворять условиям существования и единственности решения дифференциального уравнения. Функция g – должна быть многократно дифференцируемой. С – матрица производных [pic]; [pic] Задача синтеза разрешима, если матрица произведений [pic] будет не вырожденна, т.е. [pic] (1.31) Анализ условия разрешимости задачи синтеза позволяет определить производную выходных переменных, которая явно зависит от управляющего воздействия. Если выполняется условие (1.31), то такой производной является первая производная [pic], а следовательно требования к поведению замкнутой системы можно формировать в виде дифференциального уравнения для y, соответствующего порядка. [pic] [pic] [pic] Сформируем закон управления замкнутой системы, для чего сформируем закон управления, подставив в правую часть управления для [pic]: [pic]- уравнение замкнутой системы относительно выходной переменной. [pic] [pic] (1.34) Рассмотрим ситуацию, когда [pic] [pic][pic] (1.35) При соответствующем выборе коэффициента усиления мы получаем желаемое уравнение и автоматический выход на экстремум. Параметры регулятора выбираются из тех соображений, что и для обычных САУ, т.е. (СВК)i = (20ч100), что позволяет обеспечить соответствующую ошибку. U y Y F k [pic] [pic] БОГ G Рис. 1.15. Схема системы со старшей производной в управлении В системе для оценки полной производной по времени в систему вводят дифференцирующий фильтр, поэтому для оценки градиентов в таких системах удобно использовать фильтр оценки градиента. Т.к. оба этих фильтра имеют малые постоянные времени, то в системе могут возникать разнотемповые процессы, выделить которые можно с помощью метода разделения движений, причём медленные движения будут описываться уравнением (1.34), которое соответствует желаемому при [pic]. Быстрые движения нужно анализировать на устойчивость, причём в зависимости от соотношения постоянной времени ДФ и фильтра оценки частных производных (ФОЧП), можно выделить следующие виды движений: 1) Постоянные времени этих фильтров соизмеримы Быстрые движения описывают комбинированные процессы в этих двух фильтрах. 2) Постоянные времени различаются на порядок В системе наблюдаются кроме медленных движений, быстрые и сверх- быстрые движения, соответствующие наименьшей постоянной времени. На устойчивость необходимо анализировать оба случая.