Материалы сайта
Это интересно
Дискретизация и квантование изображений
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК. Еще с середины 40-ых годов , специалисты по радиоэлектроники начали задумываться над возможностью применения специализированных цифровых устройств для решения разнообразных задач ,связанных с обработкой сигналов . Нечего и говорить , что в то время выводы не были благоприятными . С точки зрения стоимости, размеров и надежности предпочтение следовало отдать аналоговой фильтрации и аналоговым методам спектрального анализа . В 50-ых годах теория управления , частично основанная на работе Гуревича ( 1945 г.) , уже утвердилась как самостоятельное научное направление ; были глубоко изучены принципы дискретизации колебаний и возникающие при этом спектральные эффекты , а математический аппарат теории z-преобразования , существовавший еще со времен Лапласа , начал находить применение в радиоэлектроники и смежных дисциплинах . Однако достигнутый уровень развития техники позволял получить практические результаты только в задачах управления медленными процессами и обработке низкочастотных сейсмических сигналов . К середине 60-ых годов были оценены потенциальные возможности интегральных микросхем , что позволило представить полную систему обработки сигналов , для которых наилучшая техническая реализация была бы именно цифровой . Первый крупный вклад в теорию цифровой обработки сигналов , касающийся анализа и синтеза цифровых фильтров , был сделан Кайзером ( фирма Bell ) ; он показал , как можно рассчитывать цифровые фильтры с нужными характеристиками , используя билинейное преобразование . Примерно тогда же ( 1965 г.) появилась статья Кули и Тьюки о быстром методе вычисления дискретного преобразования Фурье , давшая мощный толчек развитию этого нового технического направления . Позже метод был развит и стал широко известен как быстрое преобразование Фурье ( БПФ ) . Ценность этого метода заключается в сокращении времени вычисления дискретного преобразования Фурье ( на один-два порядка для большинства практических задач ). Опубликование статьи Кули и Тьюки ускорило развитие строгой и достаточно полной теории цифровой фильтрации . Важнейшее значение метода БПФ состояло в том , что он наглядно продемонстрировал , насколько цифровые методы при спектральном анализе могут оказаться экономичнее аналоговых . После создания метода БПФ интенсивность исследований в области цифровой фильтрации резко возросла , и в настоящее время цифровые методы широко используются для спектрального анализа самых разнообразных сигналов , начиная с низкочастотных колебаний в сейсмологии и звуковых колебаний в гидрологии и при анализе речи и кончая видеосигналами в радиолокации . Первой попыткой исчерпывающего изложения теории цифровой обработки сигналов была книга Гоулда и Рэйдера ( 1969 г.) . Эту книгу применяли в качестве учебного пособия для аспирантов , и как руководство для инженеров ,работающих в промышленности . Естественно , что книга не могла удовлетворить и тех и других . Не нужно доказывать , что хорошее учебное пособие может быть составленно только на основе курса , читавшегося в течении по крайней мере несколько лет , и подходящего набора задач . ПРИЧИНЫ ВНЕДРЕНИЯ ЦОС В ЭЛЕКТРОСВЯЗЬ. 1. Сложность ( нередко невозможность ) решения некоторых задач аналоговым методом . 2. Прогресс в развитии электроники ( создание высокоскоростных многоразрядных АЦП , разработка сигнальных процессоров ) . 3. ЦОС позволяет реализовать универсальные модемы , в которых изменением программы осуществляется переход с одного вида сигнала на другой ( т.е. с одной модуляции на другую ). 4. ЦОС позволяет строить адаптивные радиоприемные устройства, работающие во все усложняющейся электромагнитной обстановке ( т.е. спектр постоянно загружается сигналами ) . 5. Простота , автоматически сменных , алгоритмов ЦОС и высокая точность их реализации . 6. ЦОС позволяет реализовать более сложные алгоритмы радио приема ( разнесенный прием , компенсация и подавление сосредоточенных помех и прием в целом ) . 7. При использование ЦОС значительно меньше влияет разброс параметров и действие дестабилизирующих факторов. 8. Высокая интеграция цифровых микросхем позволяет реализовать очень сложные алгоритмы приема сигналов , сохраняя приемлемый объем и стоимость аппаратуры . 9. Цифровая аппаратура легко поддается миниатюризации. Высокая технологичность и отсутствие регулировки понижает стоимость. 10.Проектирование цифровых устройств легче чем аналоговых и поддается автоматизации ( легко модулируются на ЭВМ ) . 11.ЦОС облегчает работу по созданию спецэфектов на ТВ ( работа режиссеров на теле-студии ) . 12.ЦОС позволяет существенно повысить качество изображения. ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ЦОС . 1. Для ЦОС необходимо преобразовать аналоговый сигнал в цифровой ( требуется достаточно большой уровень сигнала - порядка 1в ) . 2. Преобразование аналогово сигнала в цифровой приводит к появлению погрешности дискретизации во времени и к погрешности квантования по уровню ( специфические погрешности ) . 3. Процесс обработки сигналов сопровождается погрешностями , вызванными округлениями результатов ( это приводит к ошибкам - шумам ) . 4.Требуется увеличение динамического диапазона и ширины спектра преобразуемых аналоговых сигналов ( т.к. каналы с ограниченной полосой пропускания и сложной помеховой обстановкой ) . Чтобы достигнуть возможности аналоговой техники нужно иметь динамический диапазон АЦП 120- 130 дб с df=100 кГц . Таких АЦП пока нет . Реализуемый при df=100 кГц динамический диапазон АЦП 70-80 дб . Для широкополосных сигналов при df=100 Мгц динамический диапазон 6-24 дб . 5. Низкая скорость работы цифровых вычислительных устройств. (Сигнальные процессоры : КМ1813ВЕ11 , ТМS320.10 , ТМS320.20 , ТМS320.30 , ДSР5600 , ТМS320.50 .) ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА . Любой сигнал с ограниченным спектром ( бесконечный во времени ) однозначно определяется своими отсчетами , взятыми через интервал времени dt=1/2F т.е. [pic], где u(kDt)-аналоговая величина; Эта теорема утверждает , что если сигнал f(t) имеет преобразование Фурье Sf(w) отличное от нуля при частотах меньших 2pFm . То в отсчетах сигнала f(kDt) взятых через интервал Dt=1/2Fm содержится вся информация о непрерывной функции f(t) . Из теоремы следует , что эти отсчеты содержат информацию о сигнале f(t) в любой момент времени . Однако частота отсчетов должна быть по крайней мере в два раза больше высшей частоты сигнала Fm . Доказательство.: Дан сигнал f(t) , его спектр : S(w)=[pic] при |w|<2pFm , 0 , при |w|>2pFm. Представим некоторую реализацию сигнала f(t) и его спектр S(f): Если отсчеты сигнала брать с помощью бесконечно узких импульсов,расположенных в непосредственной близости друг от друга , мы однозначно определим любую функцию . Если интервал между импульсами увеличивать , то где-то мы начнем терять информацию о сигнале . Рассмотрим случай ,когда в качестве отсчетных импульсов используется периодическая последовательность импульсов длительностью t , повторяемых через Dt=1/2Fm . Временное и спектральное представление этих импульсов: Спектр отсчетных импульсов можно записать в виде ряда Фурье , т.е. yD(t)=A1coslt+A2coslt+A3coslt+............ Процедуру взятия отсчетов удобно рассматривать как умножение функции f(t) на функцию yD(t) . Результирующий дискретизованный сигнал можно представить в виде суммы последовательностей импульсов ,амплитуды которых равны значению функции f(t) в момент отсчета , а спектр такого сигнала представляет собой периодически повторяющуюся функцию Sf(w) с периодом l ,т.е.мы наблюдаем изменение амплитуды импульсов отсчета по закону f(t) и соответственно имеем амплитудную модуляцию каждой гармоники спектра импульсов отсчета сигналa : Для восстановления првоначального сигнала нам достаточно отфильтровать полученный сигнал ФНЧ с частотой среза расположенной в интервале от Fm до 1/Dt-Fm . Рассмотрим какова может быть наименьшая частота следования счетных D импульсов, что бы еще имелась возможность отфильтровать полезный сигнал. В случае , если 1/D t=2Fm мы еще имеем возможность отфильтровать полезный сигнал если же 1/Dt<2Fm ,то произойдет наложение спектральных составляющих и восстановление первоначального сигнала без ошибки станет невозможным. Следовательно , для восстановления сигнала ,полученные отсчетные импульсы необходимо подать на вход ФНЧ с частотой среза равной Fm. Реакция идеального ФНЧ на узкий импульс единичной амплитуду представляет собой функцию вида : y(t)=sin2pFt/2pFt На вход фильтра мы подаем сумму импульсов с амплитудами равными f(kDt) Разложение сигнала f(t) в ряд Котельникова указывает на технический способ передачи непрерывной функции (сигнала) f(t)с ограниченным спектром путем передачи отсчетных импульсов ,который сводиться к следующему: и со сдвигом один относительно другого на Dt=1/2Fm . Сигнал на выходе фильтра представляет собой сумму откликов ,т.е. [pic] Что соответствует ряду Котельникова . Восстановление сигналов по его отсчетам . 1)взятие отсчета f(kDt) функции f(t) в моменты kDt ; 2)значение полученных отсчетов передаются на приемную сторону с использованием любогометода кодирования и модуляции ; 3)на приемной стороне вырабатываются короткие импульсы ,амплитуды которых пропорциональны принятым значениям отсчетов ; 4)полученные импульсы подаются на идеальный ФНЧ с частотой среза Fм . На выходе фильтра получается функция f '(t) , пропорциональная переданной функции f(t) . Идеальный ФНЧ с полосой пропускания Fм при действии на его вход единичного импульса d(t) дает на выходе напряжение ,соответствующее функции : y(t)=sin2p Fmt/2pFmt При восстановлении функции f(t) на вход фильтра подают короткие импульсы с амплитудами , соответствующими f(kDt) и с интервалами Dt. На выходе фильтра получается напряжение , соответствующее сумме откликов фильтра на каждый из импульсов . В моменты времени kDt функция f(t) восстанавливается совершенно точно , так как в этот момент только одна из отсчетных функций y(t-kDt) не равна нулю . В остальные моменты времени для точного восстановления необходимо суммировать бесконечное число отсчетных функций . Ошибки восстановления сигнала по отсчетам Котельникова. Как было отмечено выше , точное восстановление сигнала возможно только при строго ограниченном спектре сигнала и при использовании идеального ФНЧ .НА практике мы имеем дело с сигналами конечными во времени, т.е. бесконечным , теоретически , спектром и для восстановления используем реальные ФНЧ . Рассмотрим ошибки восстановления , вызванные реальностью сигнала (сигнал ограничен во времени , т.е. не ограничен по частоте ). Основная энергия сигнала сосредоточена в диапазоне частот до Fm и только малая доля будет выходить за Fm . 1)На основании т. Котельникова мы не можем восстановить спектральные составляющие , лежащие выше частоты Fm . 2)В спектре восстановленного сигнала появяться дополнительные составляющие , представляющие собой зеркальное отображение " вниз " по частоте спектральных составляющих сигнала относительно оси совпадающей с частотой среза идеального ФНЧ и равной Fm .Поясним это на рисунке: фнч S f(f) S1(f) S2(f) S3(f) 0 Fm 3Fm f Огибающая спектральной плотности сигнала f(t) представляет собой функцию S1(f) . Спектр отсчетных импульсов SDf(f) представляет собой периодически повторяемую функцию S1(f) с периодом 2Fm . Идеальный ФНЧ с частотой среза Fm не пропускает составляющие основного сигнала и пропускает составляющие сектра амплитудно-модулируемой первой гармоники спектра отсчетных импульсов (2Fм) . 3)При восстановлении сигнала конечной длительности следует иметь ввиду что : а) точность восстановления в средней части сигнала будет наибольшей, а по краям наименьшей; б) в моменты , соответствующие отсчетам сигнал восстанавливается точно, а в средней части между отсчетными моментами ошибка максимальна ВЫБОРКИ ИЗ АНАЛОГОВОГО СИГНАЛА. Схема взятия выборки из аналогового сигнала. 1-Умножитель 2-Схема хранения УВХ 3-Квантователь 4-Преобразователь АЦП 5-Регистр УВХ-устройство выборки и хранения. Перед умножителем стоит фильтр для уменьшения помех. Квантователь находит ближайший оцифрованный уровень. Устройство хранения дает время квантователю для принятия решения. Устройство хранения-конденсатор,окруженный ключами с большим сопротивлением ( т.е.RC-цепочкой с малой емкостью).Постоянная времени t стремится к единице, это переходный процесс в цепочке (т.е. конденсатор заряжается). За время Dt изменение сигнала мало,т.к. очень большое входное сопротивление преобразователя.Это и есть хранение. Преобразователь -преобразует вид кода (т.е. переводит его в бинарную систему счисления, за счет пороговых устройств). Регистр-считывает этот код, а за тем последовательно, побитно передает в линию. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. Квантование перидического сигнала. W=2p/T cosWT, cos2WT, ... , cosnWT. n=3 n=Ґ Много ли W нужно иметь и от чего это зависит (зависит от того насколько гладкий сигнал).Если ширина спектра периодического сигнала конечно, то он описывается конечным числом гармоник .N-кол-во отсчетов на один период. ДПФ строго описывает периодический сигнал с конечным спектром ( если это не соблюдается ,то появляется ошибка в представлении сигнала ДПФ ). N-1 Cд(t)=е Ckd(t-kDt), где Т=NDt, Ck=C(kDt). k=0 Ґ т C(t)d(t-t)dt=C(t)-фильтрующее свойство d-функции. -Ґ Ґ Cд(t)=е Cn*exp(j2npk/T) Пара преобразований Фурье -Ґ T Cn=1/T тCд(t)exp(-j2npt/T)dt 0 NDt N-1 Сn=1/NDt т е Ckd(t-kDt)exp(-j2npt/T)dt=(сжали ось времени symbol 120 \f "Symbol" \s 10?symbol 61 \f "Symbol" \s 10’t/symbol 68 \f "Symbol" \s 10?tsymbol 125 \f "Symbol" \s 10= 0 k=0 N N-1 N-1 N =1/N т е Ckd(x-k)exp(-j2pnx/n)dx=1/N е Ck т d(x-k)exp(- j2npx/N)dx= 0 k=0 k=0 0 N-1 =1/N е Ckexp(-j2npk/N) k=0 T=NDt N-1 Cn=1/N е Ck exp(-j2npk/N) Пара дискретного преобразования Фурье k=0 N-1 Ck= е Cn exp(jk2np/N) 0 Cn-комплексная гармоника, а N-кол-во отсчетов. СВОЙСТВА ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ. 1. Линейность - если в цепи отклик на сумму воздействий равен сумме откликов. Спектр суммы сигналов равен сумме спектров сигналов. N-1 Ck= е Сxn exp(j2npk/N) 0 Выборки двух сигналов. N-1 Uk= е Cyn exp(j2npk/N) 0 Zk=Ck+Uk , Линейность преобразования Фурье Сzn=Cxn+Cyn ( для интегралов и сумм). 2. Для дискретного сигнала кол-во отсчетов спектра ( Сn) равно кол-ву отсчетов сигнала. 3.Коэффициент (Со) дает постоянную составляющую. N-1 Со=1/N е Ck ѕ это математическое ожидание. k=0 4. Если N-четное ,то тогда N-1 k Cn/2=1/N е Ck(-1) k=0 5. Если Ck - вещественные, то Cn ,расположенные симметрично относительно Cn/2 образуют комплексно сопряженные пары. N-1 N-1 + C =1/N е Ck exp(-j2pk(N-n)/N)=1/N е Ck exp(j2kp/N)=Cn N-n k=0 k=0 Отсчеты выше C повторяют спектр от Co до C . N/2 N/2 Но мы не нарушаем теорему Котельникова, т.к. Сn комплексное число, оно требует два числа для своего представления. Следовательно нужно ровно N отсчетов ,как и по Котельникову ( N=2FT=T/Dt). ЦАП и АЦП. 1 3 5 4 2 ЦАП АЦП 2 +5в +15в +5в 6 7 6 1.Стробирующий импульс ( аналоговая величина, соответствующая дис- кретному слову). 2. N-разрядное дискретное слово (код). 3.Опорное аналоговое напряжение (определяет от какого сигнала ведется счет т.е. служит для получения единиц измерения в дискретных долях). 4.Аналоговый сигнал. 5.Пуск (внешний сигнал - для конкретного момента времени будет получен код). 6.Логическое питание. 7.Аналоговое питание. Отдельные земли обеспечивают подавление импульсных помех ( т.е.возрастает помехоустойчивость) по питанию. Входные и выходные сигналы ЦАП и АЦП. Сигналы ЦАП АЦП аналоговый на выходе ; напряжение вход ; напряжение ; полярность ; или ток ; полярность ; ве- величина ; ( есть однополярные личина ( бывают одно- и двуполярные АЦП ) ; и двуполярные ЦАП ) (2.5В , 5В , 10В , 10.24В , 20В) (2.5В,5В,10В,10.24В,20В) (1мА,1.2мА,1.5мА,2.5мА) цифровое вход ; послед. или парал. выход ; последовательный слово ( шина ) включение ; или параллельный ; логические уровни : ттл-5В ; эсл- -5В,-2.5В ; кмоп-3В,15В ; источник питания : анал.±15,±12В ; дискр.+5В . сигналы стробирующий импульс а) входной импульс начала управления ( при завершении ввода преобразования. слова , т.е. тактовый ввод) б) вых. “состояние” ( говорит , что на выходе появился код ) Dt между сигналами а и б - это врнмя , затрачи- ваемое АЦП на преобра- зование. опорный эталонное напряжение , эталонное напряжение ; относительно которого внешнее , внутреннее ; ведется счет ; можно использавать перемен- ное При преобразовании мы можем получать прямой код Uвых. ( 0-10В ), или двуполярный ( ± 10В ). При использовании ЦАП и АЦП необходимо обра- тить внимание на используемый код ( т.к. они различны ). Однополярные : как правило старший разряд обеспечивает 0,5 Uопор. , n следующий разряд 0,25 Uопор. , ... , младший 1/ 2 Uопор. . Двуполярные : первый разряд дает знак , следующий 0,5 Uопор. , n-1 младший 1/2 Uопор. . -0,51 ё -0,38 ® 000 Декодирование аналогового -0,38 ё -0,26 ® 001 напряжения в бинарное число -0,26 ё -0,13 ® 010 DU = 0,128 - шаг квантования. -0,13 ё 0 ® 011 Uразмаха = 1,024 В. 0 ё 0,13 ® 100 ( ошибка не больше 0,5 DU ). 0,13 ё 0,26 ® 101 0,26 ё 0,38 ® 110 0,38 ё 0,51 ® 111 ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЦАП. 1.Цепочка взвешенных резисторов. R R Rвх.оу№0 ,Rключей№0 (удается реали- зовать ключи с сопротивлением R»10 Ом) 2R Uвых~еIвх 4R Недостатки: ОУ Слишком большой разброс сопротивлений 8R Uвых и как следствие трудность в изготовление их на одной микросхеме . Влияние Rвх.оу на цепь. Uопорное 2.Цепочка R-2R . +Uопорн 2R Uвых Достоинства: Более технологична ,т.к.всего два номинала сопротивлений. -Uопорн 2R R Rн 2R R 2R R 2R АНАЛОГО-ЦИФРОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ. А).АЦП последовательного приближения (скоростные). xi(t) УВХ Ком- схема Umax пар. управл Uвх 1/2Umax ЦАП RG Uвых Umin цап n вых 1 2 3 4 5 1.При подачи пускового импульса , после УВХ обнуляется регистр (RG), затем в старший разряд регистра дается “1”,на выходе ЦАП появляется напряжение равное 0.5Umax .Если Uвых.увх>Uвых.цап ,то ”1” в старшем разряде остается ( иначе она стирается ). 2.Опять ставят “1” в следующий разряд регистра ....................................... ............................................................................ ........................................... Кол-во шагов соответствует кол-ву разрядов АЦП. Б).АЦП параллельного действия . Uопорн. В качестве опорного на каждый компаратор (К) подается сетка УВХ R напряжений - Uопорн. xi(t) K n 2 n R Kол-во компараторов = 2 . K При подачи сигнала на вход АЦП , R ДЕКО- все компараторы у которых K ДЕР Q2 Uопорн.=0 . ѕ ѕ 6. Если Гауссовский шум то A(t)=0 и B(t)=0 ( Т.е. нулевые мат. ожидания ) . Если A(t)=F то это значит что в случайном процессе появилась детерменированная ф-ия . x(t)=A(t)cosw0t + B(t)sinw0t+ Fcosw0t 7. A (t)=B (t) =Gx - мощность реализации . ѕ ѕ ѕ E (t)= A (t)+B (t) =2Gx - мощность огибающей . 8. Ba(t)=Bб(t) ( т.к. скорости изменения одинаковы ) 9. Bx(t)=Ba(t)cosw0t ДИСКРЕТНАЯ СВЕРТКА. Ґ f(t)=тC(t)y(t-t)dt - Свертка -интеграл Дюамеля (прохождение -Ґ сигнала через нелинейную инерционную цепь) N-1 fm=1/N* е CkUm-k - Свертка дискретных сигналов. k=0 m=0,1,2,3,...,N-1.Т.к.число отсчетов описывающее сигнал Х(t) ,будет описывать и функцию fn. N-1 Ck=еСxn exp(j2pk/N) ;Cxn-амплитуда “n”-ой гармоники спектра. n=0 N-1 Ym-k=е Cyl exp(j2pk/N) l=0 N-1 N-1 N-1 fm=1/N е [ е Cxn exp(j2pk/N)][ е Cyl exp(j2pl(m-k)/N)]= k=0 n=0 l=0 N-1 N-1 N-1 =1/N е е CxnCyl exp(j2plm/N) е exp(j2p(n-l)k/N) n=0 l=0 k=0 N-1 При n=l , е exp(j2p(n-l)k/N)=N (Если n№l ,то сумма равна “0”). k=0 Тогда получаем: N-1 fm= е Cfn exp(j2pmn/N) ,где Cfn=CxnCyn n=0 Если в одном из пространств пары преобразования Фурье мы производим умножение ,то во втором пространстве будет про- изводиться свертка .Это требуется для анализа длинной после- довательности ,где легче перемножить спектры ,а потом взять обратное преобразование Фурье . Ck 2 2 2 Yk 3 2 1 -1 0 1 2 -1 0 1 2 CmY(0-m) еXmY(1-m) еXmY(2-m) еXmY(3-m) еXmY(4-m) fm 12 6 0 1 2 3 4 m