Материалы сайта
Это интересно
Математический анализ
§ 5. Определенный интеграл Определенный интеграл функции равен пределу интегральных сумм, сопоставляемых ей по некоторым правилам. Для непрерывной неотрицательной функции определенный интеграл равен площади фигуры, заключенной между графиком функции и осью [pic]. При вычислении определенного интеграла от непрерывной на отрезке функции используется формула Ньютона-Лейбница, выражающая определенный интеграл через первообразную функции. 1. Определение Пусть функция [pic] определена на отрезке [pic]. Разобьем отрезок на [pic] частей точками [pic] ([pic]) такими, что [pic]. Длины полученных отрезков обозначим [pic] ([pic]), и пусть [pic] – наибольшая из этих длин. Выберем на каждом из отрезков разбиения произвольную точку [pic] и составим сумму [pic], (1) которую назовем интегральной суммой для функции [pic]. Рассмотрим интегральные суммы, соответствующие разбиениям отрезка [pic] при различных значениях [pic]. Если существует предел таких сумм при [pic], то он называется определенным интегралом функции [pic] на отрезке [pic] и обозначается [pic], при этом функция [pic] называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [pic], числа [pic] и [pic] называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Заметим, что всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке. Пример. Функция [pic] непрерывна на отрезке [pic] и, следовательно, интегрируема на нем. Чтобы вычислить интеграл [pic], достаточно рассмотреть любую последовательность разбиений отрезка [pic], для которой [pic], и найти предел соответствующей последовательности интегральных сумм. При этом промежуточные точки [pic] для каждого разбиения можно выбирать произвольно. Рассмотрим равномерные разбиения вида [pic], [pic], а в качестве [pic] выберем правые концы отрезков [pic], то есть положим [pic], [pic]. В этом случае имеем [pic], [pic], и интегральная сумма (1) принимает вид [pic]. Переходя к пределу при [pic], получаем [pic]. 1. 2. Геометрический смысл Пусть функция [pic] непрерывна на отрезке [pic] и неотрицательна: [pic]. Фигуру, ограниченную графиком функции [pic] , вертикальными прямыми [pic] и [pic] и осью [pic], назовем криволинейной трапецией. Рассмотрим разбиение отрезка [pic], описанное в предыдущем пункте, и соответствующую интегральную сумму (1). Заметим, что слагаемые в (1) равны площадям прямоугольников с основаниями [pic] и высотами [pic] ([pic]), а вся сумма представляет площадь ступенчатой фигуры, образованной этими прямоугольниками, см. Рис. 14. Предел интегральных сумм (если он существует), то есть определенный интеграл, естественно принять в качестве площади криволинейной трапеции. Рис. 14. 3. Формула Ньютона – Лейбница Если функция [pic] непрерывна на отрезке [pic] и [pic] - любая ее первообразная на этом отрезке, то справедлива основная формула интегрального исчисления: [pic], называемая формулой Ньютона-Лейбница. Используя краткое обозначение [pic], эту формулу можно записать в виде [pic]. Таким образом, вычисление определенного интеграла от непрерывной функции сводится к отысканию ее первообразной, то есть, по существу, неопределенного интеграла, что позволяет использовать методы, изложенные в § 4. Пример. Найдем интеграл [pic]. Поскольку [pic], то по формуле Ньютона-Лейбница получаем [pic]. Пример. Площадь [pic] криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции [pic], осью [pic] и прямыми [pic] и [pic], равна [pic]. Упражнения 1. Вычислить определенные интегралы: 1) [pic]; 6) [pic]; 11) [pic]; 2) [pic]; 7) [pic]; 12) [pic]; 3) [pic]; 8) [pic]; 13) [pic]; 4) [pic]; 9) [pic]; 14) [pic]. 5) [pic]; 10) [pic]; 2. Найти площади фигур, ограниченных линиями: 1. 1) [pic], [pic], [pic], [pic]; 2. 2) [pic], [pic], [pic], [pic]; 3) [pic], [pic]. Ответы 1. 1) 4; 2) [pic]; 3) [pic]; 4) 1; 5) 0; 6) 2([pic]); 7) [pic]; 8) 2; 9) 0; 10) [pic]; 11) [pic]; 12) [pic]: 13) [pic]; 14) [pic]; 2. 1) 12; 2) 1; 3) [pic]; Графики функций [pic] и [pic] пересекаются в точках с абсциссами [pic]. Площадь фигуры может быть вычислена как разность двух площадей: [pic] и [pic].