Материалы сайта
Это интересно
Математический анализ
§ 3. Производная и ее применение Производная характеризует скорость изменения функции при изменении ее аргумента. Она является основным инструментом исследования функций в математическом анализе, в частности, используется для отыскания точек экстремума: в этих точках производная либо равна нулю, либо не существует. Через производную определяется понятие эластичности функции, применяемое в экономических приложениях. 1. Определение производной и правила дифференцирования Пусть функция [pic] определена в некоторой окрестности точки [pic]. Пусть [pic] – приращение аргумента в точке [pic], а [pic] – соответствующее приращение функции. Составим отношение [pic] этих приращений и рассмотрим его предел при [pic]. Если указанный предел существует, то он называется производной функции [pic] в точке [pic] и обозначается [pic], [pic] или [pic], то есть [pic]. Операция вычисления производной называется дифференцированием, а функция, имеющая производную в точке, – дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала [pic], то она называется дифференцируемой на этом интервале. Примеры. Найдем производные функций в произвольной точке [pic]: а) [pic], [pic]; б) [pic], [pic] Заметим, что на практике при вычислении производных редко прибегают к определению. Вместо этого используют таблицу, содержащую выражения для производных всех основных элементарных функций, а также правила дифференцирования, позволяющие находить производную суммы, разности, произведения, частного и композиции функций. Приведем таблицу производных некоторых основных элементарных функций и правила дифференцирования. Таблица производных 1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic]; 4) [pic]; 5) [pic]; 6) [pic], где [pic], [pic] и [pic] - произвольные постоянные, [pic], [pic]. Примеры. Получим некоторые следствия формулы 2: а) [pic], б) [pic] ; в) [pic]. Правила дифференцирования 1) [pic]; 2) [pic], где [pic] - постоянная; 3) [pic]; 4) [pic]; 5) если [pic], а [pic], то производная сложной функции [pic] находится по формуле [pic], где индексы указывают, по какому аргументу производится дифференцирование. Примеры. Найдем производные функций, используя правила 1-4: а) [pic]; б) [pic]; в) [pic]; Примеры. Найдем производные сложных функций по правилу 5: а) [pic]; положим [pic], тогда [pic], и, следовательно, [pic]; б) [pic]; положим [pic], тогда [pic], и [pic]. Заметим, что производная [pic], называемая также первой производной функции [pic], сама является функцией аргумента [pic]. Производная этой функции называется второй производной функции [pic] и обозначается [pic], то есть [pic]. Аналогично можно ввести третью и более высокие производные. Примеры. Найдем вторые производные: а) [pic]; б) [pic]. 2. Геометрический и физический смысл производной а) Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции [pic], дифференцируемой в точке [pic] (рис. 13). Проведем через точки [pic] и [pic] графика прямую [pic], и пусть [pic] - угол ее наклона к оси [pic]. Тогда [pic]. (1) Рис. 13. Если [pic] стремится к нулю, то [pic] также стремится к нулю, и точка [pic] приближается к точке [pic], а прямая [pic] - к касательной [pic], образующей с осью [pic] угол [pic]. При этом равенство (1) принимает вид: [pic], (2) откуда следует, что производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Пример. Найдем угол [pic] наклона касательной к графику функции [pic] в точке [pic]. Поскольку [pic], то в силу формулы (2) получаем [pic]. Следовательно угол [pic], то есть касательная параллельна оси [pic]. б) Физический смысл производной. Если [pic] - время движения, а [pic] - путь, пройденный за это время, то отношение [pic] есть средняя скорость движения на отрезке [pic], а [pic] - мгновенная скорость в момент времени [pic]. 3. Исследование функций с помощью производной Функция [pic] называется возрастающей (убывающей) на интервале [pic], если для любых [pic] из [pic] следует [pic] ([pic]). Интервалы возрастания или убывания могут быть найдены на основании следующего утверждения. Теорема 1. Если [pic] для всех [pic], то функция [pic] возрастает на интервале [pic]; если [pic] для всех [pic], то функция [pic] убывает на интервале [pic]. Точка [pic] называется точкой локального максимума (минимума) функции [pic], если для всех [pic] из некоторой окрестности точки [pic], [pic], выполнено неравенство [pic] ([pic]). Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции. Для отыскания точек экстремума используются следующие теоремы. Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Если функция [pic] имеет экстремум в точке [pic] и дифференцируема в этой точке, то [pic]. Из этой теоремы вытекает, что в точках экстремума функции производная либо равна нулю, либо не существует. Такие точки называются критическими. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Теорема 3 (достаточное условие экстремума). Пусть [pic] - критическая точка функции [pic]. Если при переходе через точку [pic] производная [pic] меняет знак с "+" на "–", то в точке [pic] функция [pic] имеет максимум, а если с "–" на "+", то – минимум. Если производная не меняет знак при переходе через точку [pic], то в этой точке экстремума нет. Проводимый на основе сформулированных теорем анализ поведения функций используют при построении их графиков. Примеры. а) Найдем интервалы возрастания и убывания функции [pic], и ее экстремумы. Производная рассматриваемой функции существует при любом [pic] и равна [pic]. Приравняв производную нулю и решив полученное квадратное уравнение, найдем две критические точки: [pic] и [pic]. Ось [pic] разбивается этими точками на три интервала: [pic], [pic] и [pic], причем на каждом из них [pic] сохраняет знак. Определим эти знаки, например, вычислив [pic] в произвольных точках указанных интервалов, получим: [pic] на [pic] и [pic], и [pic] на [pic]. Отсюда в силу теорем 1-3 заключаем, что функция [pic] возрастает на интервалах [pic] и [pic], убывает на интервале [pic], в точке [pic] достигает максимального значения [pic], а в точке [pic] - минимального значения [pic]. б) Пусть [pic]. Тогда [pic], и единственной критической точкой является [pic]. Так как знак производной не меняется при переходе через эту точку, то она не является точкой экстремума. График этой функции приведен в § 1 на рис. 7. в) Пусть [pic], [pic]. Тогда [pic] при всех [pic]. Это означает, что данная функция возрастает на интервалах ([pic]) и ([pic]). г) Точка [pic] является критической точкой функции [pic] - производная функции в этой точке не существует. Функция достигает в этой точке минимума, что иллюстрирует ее график (рис. 5). 4. Эластичность функции Пусть аргумент [pic] функции [pic] получает приращение [pic]. Тогда значение функции изменяется на величину [pic]. Отношение [pic] характеризует среднее изменение функции, приходящееся на единицу изменения ее аргумента, а предел этого отношения при [pic] равен производной [pic]. Рассмотрим относительные изменения переменных [pic] и [pic], выраженные, например, в процентах: [pic] и [pic]. Их отношение [pic] показывает, на сколько процентов в среднем меняется [pic] при изменении [pic] на [pic]. Предел этого отношения при [pic] называется эластичностью функции [pic] и обозначается [pic], то есть [pic]. Так как [pic], то справедлива формула [pic]. Примеры. а) Пусть [pic], тогда [pic] и, следовательно, [pic]. При [pic] получаем [pic], то есть при увеличении [pic] от 2 до 2,02 (на 1%) значение [pic] изменяется примерно на [pic]. б) Пусть [pic], тогда [pic] и, следовательно, [pic]. При [pic] получим [pic]. Следовательно, увеличение [pic] от 3 до 3,03 ведет к уменьшению [pic] примерно на [pic]. в) Пусть [pic], тогда [pic] и, следовательно, [pic]. В этом случае эластичность постоянна и равна [pic], то есть при любом значении аргумента его увеличение на 1% ведет к уменьшению значения функции также на [pic]. Функция [pic] называется эластичной в точке [pic], если [pic], нейтральной, если [pic], и неэластичной, если [pic]. Пример. Дана зависимость спроса [pic] от цены [pic]: [pic]. Найдем эластичность спроса [pic], и рассмотрим ее значения при некоторых [pic]. Так как [pic], то [pic]. При [pic] имеем [pic], откуда [pic], то есть спрос неэластичен. Если [pic], то [pic], [pic], – спрос нейтрален. При [pic] получим [pic], то есть [pic] и, значит, спрос эластичен. Эластичность спроса означает, что его относительное изменение по абсолютной величине превосходит относительное изменение цены; неэластичность означает меньшее относительное изменение спроса по сравнению с ценой; нейтральность – равенство этих изменений по абсолютной величине. Пример. Пусть зависимость спроса от цены представлена функцией [pic]. Величина [pic] равна выручке, получаемой от продажи товара в объеме, равном спросу на товар. Выясним, как изменяется спрос с увеличением цены. Для этого найдем производную [pic]: [pic], откуда [pic]. Будем предполагать, что [pic], поскольку, как правило, спрос уменьшается с ростом цены. В этом случае [pic] и, следовательно, имеем [pic]. Отсюда видно, что если спрос эластичен ([pic]), то [pic], и с повышением цены выручка от продажи товара снижается; если спрос нейтрален ([pic]), то [pic], и выручка мало зависит от изменения цены; если спрос неэластичен ([pic]), то [pic], и выручка увеличивается с ростом цены. Упражнения 1. Найти производные [pic] функций: 1) [pic]; 2)[pic]; 3) [pic]; 4) [pic]; 5) [pic]; 6) [pic]; 7) [pic]; 8) [pic]; 9) [pic]; 10) [pic]; 11) [pic]; 12) [pic]; 13) [pic]; 14) [pic]; 15) [pic]; 16) [pic]; 17) [pic]; 18) [pic]; 19) [pic]; 20) [pic] 21) [pic]; 22) [pic]; 23) [pic]; 24) [pic]; 25) [pic]; 26) [pic]. 2. 2. Определить угол наклона касательной к графику функции: 1)[pic] при [pic]; 2) [pic] при [pic]; 3)[pic] при [pic]; 4)[pic] при[pic]. 3. Найти промежутки возрастания и убывания функций и их экстремумы: 1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic]; 4) [pic]; 5) [pic]; 6) [pic]; 7) [pic]; 8) [pic]; 9) [pic]; 10) [pic]. 4. Найти эластичность функций: [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; 6) [pic]. 5. Для заданной зависимости спроса [pic] от цены [pic] найти эластичность спроса и вычислить ее при заданном значении [pic]: 1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic]. 6. Для заданной зависимости спроса [pic] от цены [pic] найти значения цены, при которых выручка возрастает с увеличением цены: 1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic]. Ответы и решения 1. 1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic]; 4) [pic]; 5) [pic]; 6) [pic]; 7) [pic]; 8) [pic]; 9) [pic]; 10) [pic]; 11) [pic]; 12) [pic]; 13) [pic]; 14) [pic]; 15) [pic]; 16) [pic]; 17) [pic]; 18) [pic]; 19) [pic]; 20) [pic]; 21) [pic]; 22) [pic]; 23) [pic]; 24) [pic]; 25) [pic]; 26) [pic]. 2. 1) Угол наклона касательной [pic] поскольку[pic]; 2) [pic]; 3) [pic], 4) [pic]. 3. 1) При [pic] функция убывает, при [pic] - возрастает; [pic] ; 2) Функция возрастает при [pic] и [pic]; убывает при [pic] ; [pic]; [pic]; 3) Функция убывает при всех [pic]; 4) Функция возрастает при всех [pic]; 5) Функция убывает при [pic], возрастает при [pic]; [pic] ; 6) Функция убывает при всех [pic]; 7) Функция возрастает при [pic], убывает при [pic]; [pic]; 8) Функция убывает при [pic]и [pic], возрастает при [pic]; [pic] , [pic]; 9) Функция возрастает при [pic], убывает при [pic];[pic]; 10) Функция убывает при [pic], возрастает при [pic]; [pic]; 4. 1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic]; 4) [pic]; 5) [pic]; 6) [pic]. 5. 1) [pic], [pic]; спрос нейтрален; 2) [pic], [pic]; спрос эластичен; 3) [pic], [pic]; спрос неэластичен. 6. 1) [pic]; 2) [pic]; 3) Таких значений цены нет; выручка не меняется с ростом цены. ----------------------- [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]