Материалы сайта
Это интересно
Математический анализ
§ 2. Предел и непрерывность функции Пределом функции в точке называется число, к которому приближаются значения функции при приближении аргумента к этой точке. Строгое определение предела дается сначала для функций частного вида – последовательностей, а затем переносится на функции общего вида. На основе понятия предела определяются важнейшие понятия математического анализа – производная и интеграл. 1. Предел последовательности Последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел N = [pic]. Значения этой функции [pic], [pic]N, называются элементами или членами последовательности, число [pic] называется номером элемента [pic]. Для последовательностей используется обозначение [pic] или более наглядная запись [pic]. Задать последовательность можно с помощью формулы, связывающей [pic] и [pic]. Приведем примеры последовательностей, указав их различные представления: а) [pic], или [pic], или [pic]; б) [pic], или [pic], или [pic]; в) [pic], или [pic], или [pic]. Заметим, что элементы этих последовательностей ведут себя по-разному с увеличением номера [pic]: в первом случае убывают, приближаясь к нулю; во втором случае неограниченно возрастают; в третьем случае не приближаются ни к какому определенному числу, принимая поочередно значения [pic] и [pic]. Для описания поведения элементов последовательности при неограниченном увеличении n вводится понятие предела. Число а называется пределом последовательности [pic], если для любого положительного числа [pic] существует такой номер [pic], что для всех [pic] выполняется неравенство [pic] (то есть [pic] отличается от [pic] менее, чем на [pic]). Если предел существует, то говорят, что последовательность сходится, и пишут [pic] (читается: “предел [pic] равен [pic]”) или [pic] при [pic] (“[pic] стремится к [pic] при [pic], стремящемся к бесконечности”). В противном случае говорят, что последовательность расходится. Примеры. а) Последовательность [pic] сходится, ее предел равен нулю: [pic]. Это непосредственно следует из определения предела, поскольку при любом [pic] неравенство [pic] выполняется для всех [pic], и в качестве [pic] можно взять любое натуральное число, большее [pic]. б) Аналогично доказывается более общее утверждение: [pic] при любом [pic]. Например, [pic], [pic] и т. д. 2. Правила вычисления пределов последовательностей При вычислении пределов последовательностей используются следующие правила: I. Если последовательности [pic] и [pic] сходятся, то сходятся их сумма, разность и произведение, причем: 1) [pic], 2) [pic], 2. 3) [pic]; если [pic] и [pic], то сходится также и частное: 4) [pic]. II. Предел последовательности [pic], где [pic] - постоянная, равен этой постоянной: [pic]. III. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: [pic] (следствие правил I.3 и II). Применению указанных правил часто предшествуют некоторые предварительные преобразования выражения, стоящего под знаком предела. Примеры. а) [pic]; б) [pic]. 3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Последовательность [pic] называется бесконечно малой, если [pic]. Это означает, что для любого [pic] найдется номер [pic] такой, что для всех [pic] выполняется неравенство [pic]. Последовательность [pic] называется бесконечно большой, если для любого числа [pic] найдется такой номер [pic], что для всех [pic] справедливо неравенство [pic]. В этом случае пишут [pic] (читается: “предел [pic] равен бесконечности”) или [pic] при [pic] (“[pic] стремится к бесконечности при [pic], стремящемся к бесконечности”). Если при этом все элементы [pic] положительны, начиная с некоторого номера, то пишут [pic] (“предел [pic] равен плюс бесконечности”), а если отрицательны - используют запись [pic] (“предел [pic] равен минус бесконечности”). Заметим, что если [pic], то [pic] (при [pic]), то есть последовательность, обратная к бесконечно большой, является бесконечно малой. Аналогично, если [pic], то [pic] (при [pic]), – последовательность, обратная к бесконечно малой, является бесконечно большой. Справедливы также следующие утверждения: сумма и произведение двух бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями; произведение двух бесконечно больших последовательностей является бесконечно большой последовательностью; если оба предела [pic] и [pic] равны [pic] (или [pic]), то [pic] (соответственно [pic]). Примеры. а) Последовательности [pic], [pic], [pic], [pic] при [pic], [pic] являются бесконечно малыми, а обратные к ним последовательности {[pic]}, {[pic]}, {[pic]}, {[pic]} при [pic], {[pic]} – бесконечно большими. б) Последовательности [pic] и [pic] бесконечно большие, поэтому их сумма [pic] – также бесконечно большая. Отсюда следует, что [pic] – бесконечно малая последовательность, поскольку [pic]. 4. Число e Рассмотрим последовательность [pic]. Можно показать, что эта последовательность сходится; ее предел обозначается буквой [pic]: [pic]. Число [pic] играет важную роль в математике (служит основанием натуральных логарифмов); оно не является рациональным и приближенно равно [pic]. Исходя из определения числа [pic], можно получить более общую формулу: [pic], справедливую для любой постоянной [pic]. Приведем пример экономической задачи, в которой возникает число [pic]. Предположим, что в банк помещена сумма [pic] под [pic] годовых. Тогда через год сумма вклада составит [pic][pic], где введено обозначение [pic]. Предположим, что вклад можно снять по истечении любого срока в течение года, и начисление на вклад пропорционально этому сроку, т.е. за полгода будет начислено [pic], за месяц - [pic], за один день - [pic]. Тогда к концу года можно получить доход больший, чем [pic], действуя следующим образом. Если, например, в середине года закрыть счет и полученную сумму [pic] снова положить в банк на оставшиеся полгода, то в конце года сумма вклада составит [pic]. Если повторять операцию закрытия-открытия счета чаще, например, каждый месяц, то к концу года будем иметь [pic], а если каждый день, то [pic]. Если предположить, что операция закрытия-открытия счета производится [pic] раз в году через равные промежутки времени, то в конце года сумма вклада составит [pic], а если представить, что проценты начисляются непрерывно (число операций закрытия-открытия счета неограниченно растет), то [pic]. Таким образом, максимальное число процентов, на которое гипотетически может увеличиться вклад при данной схеме начисления, составляет [pic]. Например, при номинальной ставке 100 % ([pic] максимальная эффективная ставка составит [pic]. 5. Предел функции Пусть функция [pic] определена на некотором интервале [pic], содержащем точку [pic], за исключением быть может самой этой точки. В дальнейшем любой интервал, содержащий некоторую точку [pic], будем называть окрестностью данной точки. Число [pic] называется пределом функции [pic] в точке [pic], если для любой последовательности [pic], [pic], сходящейся к [pic], последовательность значений функции [pic] сходится к [pic]. Обозначения: [pic] или [pic] при [pic]. При вычислении пределов функций используются те же правила, что и при вычислении пределов последовательностей. В частности, если существуют пределы [pic] и [pic], то [pic]; [pic]; [pic]; если, кроме того, [pic] (тогда [pic] для всех [pic], достаточно близких к [pic]), то [pic]. Примеры. а) Найдем предел функции [pic] в точке [pic]. Для произвольной последовательности [pic] такой, что [pic], [pic], на основании свойств пределов последовательностей имеем [pic]. Отсюда по определению предела функции получаем [pic]. б) Найдем предел функции [pic] в точке [pic], в которой функция не определена. Для произвольной последовательности [pic] такой, что [pic], [pic], имеем [pic]. Отсюда получаем [pic]. 6. Пределы в бесконечности. Бесконечные пределы Данное выше определение предела функции можно распространить на случаи, когда [pic] или [pic] (по отдельности или вместе) являются не числами, а символами [pic], [pic] или [pic]. Так, например, запись [pic], где [pic] - число, означает, что для любой бесконечно большой последовательности [pic], стремящейся к [pic], последовательность [pic] сходится к [pic]. Аналогично, запись [pic], означает, что для любой последовательности [pic], стремящейся к [pic], последовательность [pic] стремится к [pic]. Примеры. а) [pic]; б) [pic]; в) [pic]; г) [pic]. В качестве более сложного примера приведем равенство [pic], которое можно доказать, исходя из определения числа [pic]. Заметим, что этому равенству можно придать вид [pic]. 7. Непрерывность функции Функция [pic], определенная в некоторой окрестности точки [pic], называется непрерывной в точке [pic], если [pic]. Если ввести обозначения [pic] и [pic] ([pic] называется приращением аргумента, а [pic] - соответствующим приращением функции), то определению непрерывности можно придать вид [pic]. Таким образом, непрерывность означает, что малым приращениям аргумента соответствуют малые приращения функции. Функция называется непрерывной на множестве [pic], если она непрерывна в каждой точке этого множества. Справедливо следующее утверждение: все основные элементарные функции непрерывны на своих областях определения. Примеры. Следующие функции непрерывны на указанных множествах: а) функция [pic] непрерывна на R; б) функция [pic] непрерывна на [pic]; в) функция [pic] непрерывна для всех [pic]; г) функция [pic] непрерывна на [pic]. Упражнения 1. Найти пределы последовательностей: 1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic]; 4) [pic]; 5) [pic]; 6) [pic]; 7) [pic]; 8) [pic]; 9) [pic]; 10) [pic]; 11) [pic]; 12) [pic]; 13) [pic]; 14) [pic]; 15) [pic]; 16) [pic]; 17) [pic]; 18) [pic]; 19) [pic]; 20) [pic]; 21) [pic]; 22) [pic]; 23) [pic]; 24) [pic]. 2. Найти пределы функций: 1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic]; 4) [pic]; 5) [pic]; 6) [pic]; 7) [pic]; 8) [pic]; 9) [pic]; 10) [pic]; 11) [pic]; 12) [pic]; 13) [pic]; 14) [pic]; 15) [pic]; 16) [pic]; 17) [pic]; 18) [pic] ; 19) [pic]; 20) [pic] Ответы и указания к решению 1. 1) 0; 2) 0; 3) 1; 4) [pic]; 5) 0; 6) 0; 7) [pic]; 8) [pic]; 9) [pic]; 10) [pic]; 11) [pic]; 12) [pic]; 13) 0; 14) [pic]; 15) 0; 16) [pic]; 17) [pic]; представить [pic] в виде произведения [pic] ; 18) [pic]; 19) [pic]; 20) [pic]; 21) 0; преобразовать [pic] к виду [pic]; 22) 0; 23) [pic]; 24) [pic]. 1. 2. 1) 2; 2) 1; 3) 2; 4) 2; 5) 3; 6) 4; 7) [pic]; 8) [pic]; 9) 2; 10) 0; 11) [pic]; 12) [pic]; 13)[pic]; 14) [pic]; 15) 0; 16) 2; 17) [pic]; 18) [pic]; 19) [pic]; 20) [pic].