Материалы сайта
Это интересно
Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |на тему: | | | |"Об интегральных формулах Вилля-Шварца | |для трехсвязных областей и ее применение | |к краевым задачам Дирихле". | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Оглавление. Введение. §1. О задачах Дирихле. а) Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона (классическая формулировка). б) Обобщенная задача Дирихле в) Видоизмененная задача Дирихле. г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей. д) Общая формулировка задачи Дирихле. е) Задача Неймана. §2. О задачах Шварца-Пуассона. а) Интеграл Шварца для круга. б) Интегральная формула Пуассона. в) Интеграл Пуассона для внешности круга. г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости. д) Задача Дирихле для кругового кольца. §3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового кольца (1912). а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля. б) Функции Вейерштрасса (I(u), [pic](u), [pic](u)). §4. О некоторых изменениях теории конформного отображения к краевым задачам. а) Об структурном классе интегральных представлений. б) О решении задачи Дирихле методом Чизотти для многосвязных областей. в) Интегральная формула Чизотти для заданных областей – решение задачи Дирихле для соответствующих областей. §5. Об интегральных представлениях Пуассона-Дирихле для заданных областей. §6. Интегральная формула Чизотти-Пуассона-Дирихле для конечных трехсвязных областей. Литература. Введение. В данной дипломной работе исследованы некоторые интегральные формулы (классические представления) аналитических и гармонических функций в заданных многосвязных областях. Даны новые методы решения классических краевых задач методом интегральных представлений аналитических функций, используя метод конформного отображения канонической области [pic](z) на соответствующие области G[pic](w). Используя фундаментальные интегральные формулы для круга и кругового кольца, автор обобщает задачи Пуассона, Дирихле, Дини, Шварца, Кристофеля- Шварца и Чизотти для многосвязных областей. В частности, найдены интегральные формулы для эксцентрического кругового кольца, двух-трехсвязных областей. И нашли применение их к решению классических краевых задач типа Дирихле-Неймана. Целью нашего исследования в предлагаемой работе являются: 1. Разобраться в вышеуказанных (непростых) известных классических задачах типа Шварца, Дирихле, Пуассона и Чизотти [1] – [7]. 2. Творчески изучая и классифицируя их, найти обобщение и решение этих задач для конкретных многосвязных областей (см. оглавление). Данная работа состоит из введения и 6 параграфов. В введении обосновывается постановка задачи, показывается актуальность рассматриваемой темы дипломной работы, дается краткий анализ и перечень работ по данному исследованию (1 – 24). Параграфы (§1, §2) не только вспомогательные материалы, необходимые для понимания основного содержания дипломной темы, но и являются справочной классификацией о задачах Дирихле (классическая, обобщенная, общая, видоизмененная) для любой связности заданной области G[pic]= G[pic](w) и задачах Шварца-Пуассона (для круга, кругового кольца, внешности кругов, для полуплоскости). В §3 интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового кольца в форме Ахиезера преобразована и получена новая компактная, контурная, структурная формула А.Вилля для кругового кольца. Здесь же, ввиду важности трех функций I(u), [pic](u) и [pic](u) для практического приложения и простоты реализации на ЭВМ, мы рассмотрели все варианты представления рядов данных функций (37) – (48) по справочникам [19] – [22] специальных функций (а), б)). Параграфы §4 - §6 – основное содержание самостоятельной работы автора: рассмотрены применение теории комфорного отображения к краевым задачам – решение задачи Дирихле методом Чизотти для заданных областей (§4). В §5 – интегральные представления Пуассона-Дирихле для круга, кругового кольца и, наконец, §6 – интегральная формула Чизотти-Шварца- Пуассона-Дирихле для конечных трехсвязных областей. Оглавление – ясное представление о единстве всех классических задач и о содержании предлагаемой работы (см. оглавление!). В данной работе все найденные решения выписываются почти в явном виде и параметры, фигурирующие в постановке задачи, определяются явно и однозначно. Основное содержание дипломной работы являются некоторыми обобщениями курсовых работ и самостоятельной работы автора. §1. О задачах Дирихле. а) Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона (классическая формулировка). 1. Задача нахождения функции, гармонической в некоторой области была названа Риманом задачей Дирихле. В классическом виде эта задача формулируется следующим образом. Пусть на границе [pic] области D+ задана непрерывная функция f([pic]). Найти непрерывную в [pic] и гармоническую внутри области D+ функцию U(z), принимающую на границе значения f([pic]). Таким образом, требуется, чтобы U(z) стремилась к f([pic]), когда z [pic] D+ стремится к [pic][pic][pic], u(z) > f([pic]), при z > [pic]. Задача Дирихле представляет интерес для физики. Так, потенциал установившегося движения несжимаемой жидкости, температура, электромагнитные и магнитные потенциалы – все являются гармоничными функциями. Примером физической задачи, приводящей к задаче Дирихле, служит определение температуры внутри пластинки при известных ее значениях на контуре. Из других физических задач возникла формулировка задачи Неймана. Найти гармоническую в области D+ функцию U(z) по заданным значениям ее нормальной производной [pic] на [pic], а также смешанной задачи Дирихле-Неймана. Найти гармоническую в D+ функцию по известным ее значениям на некоторых дугах границы [pic] и значениям нормальной производной на остальной части [pic]. Смешанная задача встречается главным образом в гидродинамике. Различные приложения этих задач можно найти, например, в книге Лаврентьев И.А. и Шабат Б.В. [1]. Итак, по многочисленности и разнообразию приложений задача Дирихле занимает исключительное место в математике. К ней непосредственно сводится основная задача в гидродинамике – задача обтекания, задачи кручения и изгиба в теории упругости. С нею же тесно связаны основные задачи статистической теории упругости. Мы будем заниматься плоской задачей, которая представляет для нас особый интерес как по обилию приложений, так и по большей разработанности и эффективности методов решения. 2. Совокупность гармонических функций – это совокупность всех решений уравнения Лапласа [pic], (1) которое является одним из простейших дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Подобно тому, как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений для выделения одного определенного решения задают дополнительные условия, так и для полного определения решения уравнения Лапласа требуются дополнительные условия. Для уравнения Лапласа они формулируются в виде так называемых краевых условий, т.е. заданных соотношений, которым должно удовлетворять искомое решение на границе области. Простейшее из таких условий сводится к заданию значений искомой гармонической функции в каждой точке границы области. Таким образом, мы приходим к первой краевой задаче или задаче Дирихле: Найти гармоническую в области D и непрерывную в [pic] функцию u(z), которая на границе D принимает заданные непрерывные значения u([pic]). К задаче Дирихле приводится еще, кроме вышеперечисленных, отыскание температуры теплового поля или потенциала электростатического поля в некоторой области при заданной температуре или потенциале на границе области. К ней сводятся и краевые задачи других типов. б) Обобщенная задача Дирихле. В приложениях условие непрерывности граничных значений [pic], является слишком стеснительным и приходится рассматривать обобщенную задачу Дирихле [1]: На границе [pic] области D задана функция [pic], непрерывная всюду, кроме конечного числа точек [pic], где она имеет точки разрыва первого рода. Найти гармоническую и ограниченную в области D функцию u(z), принимающую значения u(z) = [pic] во всех точках непрерывности этой функции. Если заданная функция [pic] непрерывна, то обобщенная задача Дирихле совпадет с обычной, ибо условие ограниченности функции u(z) следует из условия ее непрерывности в [pic]. Теорема единственности решения обобщенной задачи Дирихле: В данной области при заданной граничной функции [pic] существует не более одного решения обобщенной задачи Дирихле. Решение обобщенной задачи Дирихле можно свести к решению обычной задачи Дирихле. Можно доказать, что: 1. для любой односвязной области D и любой кусочно-непрерывной с точками разрыва первого рода граничной функции [pic] решение обобщенной задачи Дирихле существует. 2. решение обобщенной задачи Дирихле для единичного круга дается интегралом Пуассона [pic] , [pic], [pic]) (2) 3. для произвольной области D, мы получим искомую формулу для решения обобщенной задачи Дирихле интегральной формулой Дж.Грина [12, 18]: [pic] , (3) где [pic] - производная в направлении внутренней нормали к С, ds - элемент длины [pic], соответствующей [pic], [pic] - элемент внутренней нормали к [pic], [pic]- фиксированная произвольная точка области D, а функция [pic]; [pic], реализующая отображение D на единичный круг [pic] и [pic] - функция Грина для области D, гармоническую всюду в D кроме точки [pic], где имеет плюс. Формула Грина (3) выражает решение задачи Дирихле для некоторой области D через логарифм конформного отображения D на единичный круг, т.е. сводит решение задачи Дирихле к задаче конформного отображения. И обратное верно. Итак, задача конформного отображения области на единичный круг и задача Дирихле для той же области эквивалентны, они сводятся друг к другу с помощью простых операций дифференцирования и интегрирования. в) Видоизмененная задача Дирихле. Пусть S+ - связная область, ограниченная простыми замкнутыми непересекающимися гладкими контурами [pic], из которых первый охватывает все остальные. Под L мы будем подразумевать совокупность этих контуров [pic], ([pic]). Через [pic] - мы обозначим совокупность конечных областей [pic] заключенных, соответственно, внутри контуров [pic] и бесконечной области [pic], состоящей из точек расположенных вне [pic]. На контуры [pic] мы наложим еще следующее условие: угол, составляемый касательной к [pic] с постоянным направлением, удовлетворяет условию H; иными словами, мы будем считать, что L удовлетворяет условию Ляпунова [17,24]. Функция [pic] удовлетворяет условию H на этом множестве, если для любых двух [pic] переменной [pic] на этом множестве [pic] , (4) где A и [pic] - положительные постоянные показатели Гельдера, А – коэффициент, а [pic] - показатель условия Н и при [pic]=1 – условие Липшица, функции, удовлетворяющие условию Н называются непрерывными по Гельдеру и сильнее, чем обычное определение непрерывности. г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей [24]. Найти (действительную) функцию u(x,y), гармоническую в [pic], по граничному условию u=f(t) на L, (5) где f(t) – заданная на L (действительная) непрерывная функция; в случае бесконечной области от функции u(x,y) требуется еще, чтобы она оставалась ограниченной на бесконечности, т.е. и стремится к вполне определенному пределу, когда z уходит в бесконечность. Напомним, что всякая функция u(z) гармоническая вне круга [pic] в ряд. [pic], [pic]) абсолютно и равномерно сходящийся вне круга любого радиуса [pic] поэтому u>[pic] при r>[pic]. Для некоторых применений не меньший интерес представляет и следующая задача, которая называется "видоизмененной задачей Дирихле". Термин этот введен в статье Н.И.Мусхелишвили и Д.З.Авазошвили [17]. Видоизмененная задача Дирихле – задача Дирихле для многосвязных областей. Найти функцию u(x,y), гармоническую в S+, непрерывную в [pic], по следующим условиям: 1. u(x,y)=[pic]Ф(z) является действительной частью функции Ф(z), голоморфной в S+; 2. она удовлетворяет граничному условию u=f(t)+[pic](t) на L, (6) где f(t) – заданная на [pic] непрерывная функция [pic], [pic], (7) где [pic] постоянные не задаваемые заранее; в случае бесконечной области требование u(x,y)=f(t)+[pic] на [pic] заменяются требованием ограниченности u(x,y) на бесконечности. Можно показать, что постоянные [pic] вполне определяются условиями самой задачи, если (произвольно) фиксировать одну из них. Если L состоит из единственного замкнутого контура, то различают два случая: а) р=0. Тогда S+ представляет собой конечную часть плоскости, ограниченную контуром [pic]; б) р=1, а контур [pic] отсутствует. Тогда область S+ представляет собой бесконечную часть плоскости, ограниченную контуром [pic]. Легко видеть, что в случае а) задачи А и В совпадают (если считать [pic]=0) в случае б) эти задачи непосредственно сводятся одна к другой. Каждая из задач А и В не может иметь более одного решения (если [pic]=0). д) Общая формулировка задачи Дирихле. Задача Дирихле – задача отыскания регулярной в области D гармонической функции и которая на границе Г области D совпадает с наперед заданной функцией [pic]. Задачу отыскания регулярного в области решения эллиптического уравнения 2-го порядка, принимающего на перед заданные значения на границе области, также называется задачей Дирихле, или первой краевой задачей. Вопросы связанные с этой задачей, рассматривались еще К.Гауссом, а затем Дирихле. Для областей D с достаточно гладкой границей Г решение задачи Дирихле можно представить интегральной формулой [pic], (8) где [pic] - производная по направлению внутренней нормали в точке [pic] функции Грина [pic], характеризуемой следующими свойствами: 1. [pic], при [pic] 3 или [pic], при [pic] 2, где [pic] - расстояние между точками [pic] и [pic], [pic] - площадь единичной сферы в [pic], [pic] - регулярная в [pic] гармоническая функция как относительно координат [pic], так и относительно координат [pic]; 2. [pic], когда [pic], [pic]. Для шара, полупространства и некоторых других простейших областей функция Грина строится явно и формула (8) дает эффективное решение задачи Дирихле. Получаемые при этом для шара и полупространства формулы носят название формул Пуассона. Задача Дирихле является одной из основных проблем теории потенциала – теории гармонических функций. Для обобщенного по Винеру решения задачи Дирихле справедливо интегральное представление в виде формулы Вилля-Пуассона [pic], (9) являющейся обобщением формулы (8). Здесь [pic] - гармоническая мера множества [pic] в точке [pic]. Отсюда возникает возможность рассмотрения обобщенной задачи Дирихле для произвольных граничных функций [pic], при этом можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в некоторой ослабленной форме. Например, если [pic] - область [pic] с достаточно гладкой границей Г, а граничащая функция [pic] имеет только точки разрыва 1-го рода, то можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в точках непрерывности [pic], для обеспечения единственности решения в точках разрыва требуется ограниченность решения. е) Задача Неймана. Наряду с задачей Дирихле для некоторых приложений важно рассмотреть так называемую вторую краевую задачу, или задачу Неймана: Найти гармоническую в области [pic] функцию [pic], зная значения ее нормальной производной на границе С: [pic] (10) и значение [pic] в какой-либо точке [pic] в области [pic]. Для определенности мы будем предполагать, что в (10) рассматривается внешняя нормаль, что означает угол, образованный этой нормалью с осью х. Функция [pic] может иметь на [pic] конечное число точек разрыва 1-го рода, функция и ее частные производные первого порядка предполагаются ограниченными. Следующая теорема выражает от нормальной производной гармонической функции: Если функция [pic] гармонична в односвязной области [pic] и непрерывна вместе со своими частными производными в [pic], то [pic], (11) где [pic] - граница области [pic] обозначает производную в направлении нормали к [pic], а [pic] - дифференциал дуги. Из этой теоремы следует, что для разрешимости задачи Неймана необходимо выполнения соотношения [pic]. (12) Доказывается единственность решения задачи Неймана и при доказательстве единственности решения задачи Неймана можно ограничиться случаем, когда область [pic] представляет собой полуплоскость ([pic]z, > 0). В дополнительном предположении непрерывности частных производных в [pic] решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для сопряженной гармонической функции. Две гармонические в области [pic] функции [pic] и [pic], связанные условиями Даламбера-Эйлера называются сопряженными. Как мы знаем, для всякой функции [pic]гармонической в односвязной области [pic], можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию [pic]. Так как функция определяется своими частными производными с точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех гармонических функций [pic] сопряженных с [pic] дает формула: [pic], (13) где С – произвольная действительная постоянная. Заметим, что в многосвязной области [pic] интеграл (13) по контуру [pic], определяет, вообще говоря, многозначную функцию: [pic], (14) где [pic] - произвольные целые числа, а [pic] - интегралы вдоль замкнутых контуров [pic], каждый из которых содержит внутри себя одну связную часть границы [pic]: [pic]. (15) Постоянные [pic] называются периодами интеграла (13) или циклическими постоянными. Можно доказать, что решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для сопряженной гармонической функции [pic], где [pic], [pic] носят название соответственно силовой функции и потенциала поля. Функции [pic] и [pic], представляющие собой регулярные решения системы Коши-Римана [6]: [pic] , [pic] [pic] (16) имеют частные производные всех порядков, т.е. аналитические функции [pic] являются решением уравнения [pic]. (17) Условие (17) – условие комплексной дифференцируемости функции [pic]. §2. О задачах Шварца-Пуассона. а) Интеграл Шварца для круга Как известно, по данным значениям вещественной (мнимой) части функции находится с точностью до чисто мнимого слагаемого. Аналитический аппарат, дающий выражение функции [pic], регулярной в области, через значения [pic] на контуре, в том случае, когда область есть круг радиуса [pic], известен – это есть так называемый интеграл Шварца [6, 8, 9]: [pic] , ([pic], [pic]) (18) Полагая здесь [pic], мы найдем для [pic] чисто вещественное значение [pic], для которого мнимая часть обращается в нуль в начале координат. Чтобы получить общее решение, мы должны добавить к правой части произвольное мнимое число [pic]: [pic], [pic]. (19) Отделим в (18) вещественную и мнимую части, так как вещественная [pic] часть даст нам интеграл Пуассона для [pic] и мнимая же часть доставляет выражение [pic] через [pic]. Для единичного круга [pic], имеет вид: [pic], (20) где [pic], [pic] - представляет значение вещественной части искомой функции в точке [pic]. б) Интегральная формула Пуассона. Задача Дирихле об определении значений гармонической функции внутри круга, если известны ее значения на границе, решается, как известно, интегралом Пуассона: [pic], (21) где [pic] - полярные координаты точки, где ищется значение решения; [pic] - радиус окружности и [pic] - функция полярного угла [pic], дающая граничные значения [pic] [9]. Можно проверить разложением в ряд Тейлора, что [pic], ([pic], [pic]) Поэтому [pic] представима рядом: [pic] [pic] (22) где [pic] и [pic] - коэффициенты Фурье [pic]: [pic]; [pic]; [pic] В центре окружности при [pic] мы получаем: [pic] (23) Равенство (23) – теорема Гаусса о том, что значение гармонической функции в центре окружности есть среднее арифметическое ее значений на самой окружности. в) Интеграл Пуассона для внешности круга. Найти функцию, гармоническую и ограниченную вне окружности [pic] и принимающую на самой окружности заданные значения [9]: [pic], [pic] ([pic]). Покажем, что искомую функцию [pic] может быть представлена интегралом типа Пуассрна, который может быть получен из (1). Пусть [pic], а [pic], Функция [pic], гармоническая вне окружности [pic], перейдет в функцию [pic], гармоническую внутри круга радиуса [pic], принимающую на его границе значения [pic]. По формуле (1) она при [pic] представима интегралом Пуассона: [pic]. Если в этом равенстве подставить вместо [pic] и [pic] их выражения через [pic] и [pic] и заменить переменную интегрирования, положив [pic], то мы получим формулу Пуассона для внешности окружности: [pic], (24) решающую поставленную задачу. Она отличается от (1) только тем, что в ней [pic] и [pic] переменились местами, так что ядро интеграла (4) отличается от ядра интеграла Пуассона (1) только знаком. Разложение искомой функции в тригонометрический ряд, подобный ряду (22), представляющей ее вне окружности: [pic]. (25) Если в (25) [pic]([pic], то получим теорему Гаусса для внешности окружности: [pic], (26) т.е. значение гармонической функции на бесконечности есть среднее арифметическое значений на граничной окружности. г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости. Аналитический аппарат, позволяющий гармоническую функцию внутри верхней полуплоскости по известным граничным значениям ее вещественной оси, можно получить из интеграла Пуассона путем преобразования круга [pic] плоскости [pic] на верхнюю полуплоскость [pic] при помощи функции [pic] Граничные значения на окружности [pic] перейдут в граничные значения на вещественной оси и мы получим искомую формулу в виде [1]: [pic], ([pic]) (27) При неточных графических расчетах формулу (27) удобнее употреблять в ином виде, взяв за переменную интегрирования не [pic], а угол [pic], который образует прямая [pic] с перпендикуляром [pic] к оси [pic], опущенным из точки [pic], имеем: [pic], [pic] и окончательно имеем: [pic]. (28) д) Задача Дирихле для кругового кольца. Граничные значения гармонической функции [pic] на окружности кольца [pic] мы будем предполагать заданными в форме функций от полярного угла [pic] и обозначим их соответственно через [pic] и [pic]. Сопряженная с [pic] гармоническая функция [pic] будет вообще говоря, не однозначной, и фкп [pic] будет состоять из двух слагаемых: однозначной составляющей, могущей быть разложенной в ряд Лорана в кольце, и логарифм [pic] с вещественным коэффициентом: [pic], [pic]. (29) Отделяя вещественную и мнимую части, мы получим решение поставленной задачи – задачи Дирихле в кольце, но здесь суммируется не так просто. Существует более компактная и эффективная формула – интегральная формула Вилля для кругового кольца [2], [3]. §3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового кольца (1912). Пусть в плоскости комплексного переменного [pic] дано круговое кольцо [pic], ограниченное окружностями [pic], [pic], где заданное положительное число [pic]<1. Требуется найти регулярную и однозначную внутри области [pic] функцию [pic], если известны значения ее вещественной части на границах кольца. Для случая круга аналогичная задача решается известной формулой Шварца Г. (1869г) (п.1) [pic], ([pic], [pic]), где с – действительная переменная. Здесь предполагается, что радиус круга равен 1, а положение точки на окружности определяется аргументом [pic] этой точки, так что [pic] представляет значение вещественной части искомой функции в точке [pic]. Нашей задачей является переход от круга к кольцу и построение формулы, аналогичной формуле (1). Обозначим через [pic] и [pic] значения вещественной части искомой функции [pic] в точках с аргументом [pic] на внешней, соответственно внутренней, границе [pic]. Основной нашей целью является выяснение того, как скажется на формуле переход от односвязной области к двусвязной. Величина [pic], где интеграл справа берется по окружности радиуса [pic] ([pic]) с центром в точке [pic], очевидно, не зависит от [pic]. Тем же свойством обладает и вещественная часть написанного интеграла. Отсюда, приближая вначале [pic] к 1, а замечая, что в интеграле можно [pic] сделать требуемые предельные переходы, получим: [pic]. (30) Это условие, таким образом, необходимо для разрешимости поставленной нами проблемы, и мы должны предположить, что она выполняется. Искомая функция [pic] может быть разложена в ряд Лорана [pic]. (31) Мы найдем разложения обеих функций [pic], [pic] в ряды Фурье. Из этих разложений получаются коэффициенты [pic] в виде некоторых интегралов и подставляя в (31) получим известную формулу Анри Вилля для кругового кольца в форме Н.И.Ахиезера [7]. [pic], (32) где с – произвольная вещественная константа, [pic] - произвольное положительное число, а чисто мнимое число [pic] находится с помощью равенства [pic], (33) [pic], [pic] и, наконец [pic] - функция Вейерштрасса. Формула (32), принадлежащая Вилли, представляет собой аналог формулы Шварца для кругового кольца; она приведена в иной форме, например в монографии Н.Ахиезера [7]. а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля (32). Формула Анри Вилля в форме Н.И.Ахиезера [7]. [pic], (34) где из (33) следует, что [pic], где [pic] - положительное действительное число, можно придать более компактную форму, если несколько преобразуем (32), учитывая (33) и замечая, что [pic] можно выразить через [pic] с учетом граничных свойств: [pic] [pic] [pic], [pic] [pic] [pic] [pic] [pic], [pic]; (35) [pic] [pic] [pic] [pic] [pic], [pic]. Таким образом, интегральная формула (32) с учетом (34) и (35) примет следующий окончательный вид: [pic], (36) где с – постоянная. Формулу (36) можно назвать канонической, компактной и контурной интегральной формулой Анри Вилля для кругового кольца. б) Функции Вейерштрасса. В виду важности трех функций Вейерштрасса [pic], [pic] и [pic] для практического применения и простоты реализации на ЭВМ мы рассмотрим следующие варианты представления данных функций [19] - [22]: 1. [pic] (37) или [pic] (38) 2. [pic], [pic] : [pic] , [pic] (39) [pic] , [pic] для действительных нулей [pic] полинома [pic] возможны следующие частные случаи: [pic] : [pic] , [pic] [pic] , [pic] [pic]. 3. [pic], [pic], где [pic], [pic], [pic]. 4. [pic] (41) где [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. 5. [pic], т.е. [pic], (44) где ([pic]), [pic], [pic] (45) или 6. [pic] (46) [pic] – эллиптическая функция Вейерштрасса [pic]. Функция Вейерштрасса [pic], (48) так что [pic]. Функция Вейерштрасса [pic] определяется с помощью равенства [pic]. Из этой формулы следует и [pic] где путь интегрирования не проходит ни через одну вершину сетки периодов, отличную от точки [pic]. §4. О некоторых применениях теории конформного отображения к краевым задачам. а) Об структурном классе интегральных представлений. Как известно, интегральное представление аналитических функций ИПАФ давно служит: - как удобный аппарат для обозримого представления аналитических решений дифференциальных уравнений. Например, специальные функции – функции Бесселя, Эйри, Лежандра, Лагера, Эрмита, многочлены Чебышева, гипергеометрическая функция и многие другие – являются решениями линейных дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами; - для исследования ассимптотики этих решений и их аналитического продолжения; - несколько позже – нашли применения для решения граничных задач теории аналитических функций и сингулярных уравнений; - исследование внутренних и граничных свойств аналитических функций различных классов, а также для решения других, самых разнообразных вопросов математического анализа (интегралы Коши, Пуассона, Шварца, Чизотти и т.п.) Обширный класс интегральных представлений аналитических функций, используемых для получения и исследования аналитических решений дифференциальных уравнений (АРДУ), описывается общей формулой: [pic] (49) где [pic] - ядро типа Шварца, зависящее от связности данной области, [pic] - аналитическая функция, регулярная и однозначная в (n+1) – связной канонической круговой области [pic], [pic] - заданная плотность – вещественная функция в точках [pic], [pic] контура круговой области [pic]. Вещественные [pic] и комплексные [pic] таковы, что [pic]: [pic], [pic], ([pic], [pic]). (50) По заданным интегральным представлениям (49) можно найти аналитическое решение дифференциальных уравнений (АРДУ) для произвольных областей [pic] плоскости [pic], ограниченную замкнутыми кривыми [pic] типа Ляпунова. (Существует касательная в каждой точке [pic], [pic], [pic], [pic] - угол между касательными; кривая замкнута и ограничена). Используя интегральные представления Чизотти, мы получим решение задачи Дирихле для области [pic] и интегральные формулы Пуассона для [pic]: [pic] [pic](51) [pic] [pic]. (52) Из (52) получим: [pic]; [pic]. где [pic], [pic] [pic], [pic] [pic], [pic] [pic], [pic], [pic], [pic] [4]; В случае круга: [pic], [pic][pic]. Круговое кольцо: [pic]; [pic], где [pic] - функция Вейерштрасса, [pic] [pic], [pic], [pic], [pic] - некоторые постоянные, определяемые из нормировки отображений функций [pic], [pic], [pic] - периоды функции [pic]. Формулу (53) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для областей [pic], или решениями задачи Дирихле для рассматриваемой области или интегральными формулами Пуассона для соответствующих канонических областей [pic]. б) О решении задачи Дирихле методом Чизотти для многосвязных областей Как мы знаем, решение задачи Дирихле для произвольных многосвязных областей найти явное и эффективное решение трудоемкая или невозможная проблема. Поэтому более эффективное нахождение краевых задач представляет немаловажный интерес в теории аналитических и гармонических функций для многосвязных областей ( неконцентрического кругового кольца, внешности двух кругов и для конечных двух-трехсвязных областей и т.д.) используя интегральную формулу Чизотти для заданных соответствующих областей. 1. Построим функцию [pic], дающую конформное отображение [pic] на [pic], где [pic], [pic]; ([pic]): [pic], (57) где [pic] и [pic] - постоянные, [pic] определяется однозначно по формуле Шварца для соответствующих заданных областей. Пусть [pic] - регулярная функция в [pic]. Так как подинтегральное выражение (57) представимо по формуле Эйлера в следующем виде: [pic], то [pic] (58) [pic] С учетом (58) интегральная формула (57) примет вид: [pic]; [pic]. где [pic] и [pic] - постоянные (к=1,2). Формулу (59) можно назвать интегральной формулой Дирихле-Чизотти для конечных многосвязных областей, т.к. формула (57) есть интегральная формула Чизотти для конечных многосвязных круговых областей. Если найден [pic] и [pic] от известного интегрального выражения [pic]): [pic], т.е. [pic]; (60) [pic], то мы получим решение граничной задачи Пуассона для канонических (конечных, бесконечных) областей [pic]. 2. Если область [pic] - концентрическое круговое кольцо, то [pic], (61) где [pic] - заданная функция [pic] - функция Вейерштрасса, то мы имеем интегральную формулу Вилля-Шварца (61) в компактной контурной форме. Из (61) получим: [pic], (62) [pic], (63) где [pic], [pic], [pic], [pic]. Формулы (62) и (63) называются интегральными формулами Вилля-Пуассона. Подставляя (62) и (63) в исходную интегральную (59) мы получим интегральную формулу Дирихле через интеграл Чизотти. Формулы (62) и (63) можно назвать интегральными формулами Дирихле-Чизотти для конечных двусвязных областей. в) Интегральная формула Чизотти для заданных областей – решение задачи Дирихле для соответствующих областей. Если известны интегральные формулы Шварца для круговых областей [pic], дающие аналитической в [pic] функции [pic] через нормальной производной ее действительной части на границе [pic] области [pic] и интегральные представления Чизотти для круговых областей, дающие выражение функции [pic], реализующей конформное отображение области [pic] на ограниченную гладкой кривой (51), (52), то поэтому интегральную формулу, дающую конформное отображение [pic] на [pic] через нормальную (касательную) производную ее действительной (мнимой) части [pic] на границе [pic], естественно назвать интегральной формулой Дини-Шварца-Чизотти для заданных областей. Можно рассмотреть интегральные формулы Дини-Шварца для многосвязных областей и их применение к решению краевых задач типа Дирихле. Решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле сопряженной гармонической функции. Учитывая, что задача конформного отображения многосвязной области [pic] на каноническую область [pic] и задача Дирихле для той же области эквивалентны (49), используем интегральный метод Чизотти для соответствующих областей (50), (51). Применяя ИПАФ типа Шварца регулярной и однозначной в [pic], найдем решение задачи Дирихле, как представляющее однозначную и аналитическую (гармоническую) в произвольной многосвязной области функцию [pic] (64) удовлетворяющую в [pic] уравнению [pic] (65) и граничному условию [pic], [pic], (66) где [pic]. Решение задачи (65) и (66) в заданных произвольных областей [pic] имеет следующий вид: [pic] (67) или после соответствующих преобразований получим (§4 п."б"): [pic]; [pic], (68) где [pic] и [pic] постоянные, определяемые нормировкой функции [pic], [pic] - угол наклона касательной [pic] в точке [pic], соответствующей [pic] при отображении [pic]. Пусть теперь [pic] - каноническая область (круг, концентрическое круговое кольцо, внешность двух кругов, …), а [pic] - соответствующая область, ограниченная контуром [pic]. Построим функцию [pic], дающую конформное отображение [pic] на [pic]. Причем будем для простоты считать, что [pic], [pic]. В силу конформности отображения [pic] всюду в [pic] функция равна [pic]; [pic] на [pic] (69) [pic], [pic] Следовательно, функцию [pic]можно представить следующими интегральными формулами типа Шварца: [pic], [pic], ([pic]); [pic], [pic], ([pic]; (70) [pic], [pic], где [pic] - ядро Шварца для круга; [pic] - функция Вейерштрасса; [pic] - ядро Александра-Сорокина для неконцентрического кругового кольца; [pic] - ядро для внешности двух окружностей; [pic] - ядро для симметричных и равных (неравных) окружностей. Интегральное представление (68) назовем интегральной формулой для решения задачи типа Дирихле для рассмотренных областей [pic]. Для нахождения гармонической [pic] (или [pic]) в произвольной односвязной области [pic]функций, достаточно знать [pic] или [pic] обычные классические интегральные формулы Пуассона для круга [pic]: [pic] или [pic]. 2. Для нахождения решения задачи Дирихле в произвольной двусвязной ограниченной (конечной) области [pic] через [pic] - решение кругового кольца надо пользоваться контурной компактной формулой Вилля, т.е. [pic] и [pic] - интегральные формулы Пуассона для кругового кольца ([pic]): [pic], [pic]. Таким образом, аналогичными примерами можно найти и для остальных рассмотренных областей решения задачи Дирихле ([pic]) через [pic] и [pic]. §5. Об интегральных представлениях Пуассона-Дирихле для заданных областей. Пусть [pic], [pic], [pic] - нормированная функция дает конформное отображение канонической области [pic] плоскости [pic] на соответствующую область [pic] плоскости [pic]. Простоты ради будем считать, что [pic]. В силу конформности отображения [pic] мы имеем, что [pic] всюду в [pic] и, как легко видеть реальная (действительная) часть голоморфной в [pic] функции [pic] равна [pic] на окружностях [pic]: [pic], (72) где [pic] при [pic], ([pic]), (73) [pic], [pic] - угол наклона касательной к [pic]в точках [pic], соответствующих [pic] при отображении [pic]. Область [pic]ограничена гладкими кривыми типа Ляпунова [pic], а в каждой точке [pic] контура области [pic] плоскости [pic] известен угол наклона [pic]. Здесь вещественные числа [pic] и комплексные числа [pic], [pic] таковы для конечной [pic] - связной области, что [pic] [pic], [pic], ([pic], [pic]). (74) При этом будем считать, что [pic] - внешняя, а [pic] - внутренние кривые, и будем считать, что [pic], [pic] [5]. Из существования отображающей функции [pic] следует, что функция [pic] регулярная, однозначная и эффективная в канонической области [pic]согласно равенству (64), представляется по интегральной формуле Шварца [5] в форме Александрова-Сорокина в следующем виде: [pic]. (75) Функция [pic] регулярна и действительные части на граничных компонентах [pic] принимают непрерывные значения [pic], определяемые равенством (65), а [pic] - ядро определяется следующими формулами [5]: [pic], (76) [pic], (77) 1, при [pic] -1, при [pic], с – вещественное число. Если мы в (67) отделим вещественную и мнимую части, то мы получим две интегральные формулы Пуассона для [pic] - связных круговых областей [pic]; что мы и делаем, следуя вычислениям Александрова-Сорокина [5], т.е. решаем задачу Дирихле-Пуассона: об определении значений гармонической функции внутри канонической области [pic], если известны ее значения на границах [pic], [pic] - функция полярного аргумента, дающая граничные значения [pic]. [pic], (78) [pic], (79) где [pic], [pic], [pic]. Рассмотрим некоторые частные задачи Дирихле-Пуассона для [pic]. Следствие 1. Если в формулах (72) и (73) положить [pic], то мы получим формулу Пуассона – интеграл Пуассона для круга [ ]: [pic], ([pic]) (80) [pic], ([pic]) (81) Следствие 2. Если в формулах (72) и (73) положить [pic], то мы получим две интегральные формулы Пуассона для кругового кольца: [pic], (82) [pic], (83) где (74) и (75) – реальные и мнимые части компактной интегральной формулы Вилля-Шварца для кругового кольца [2], [pic] - функция Вейерштрасса, [pic] - угол наклона касательной к [pic] в точке [pic], [pic], [pic] - периоды, с – произвольная постоянная, [pic] ([pic]). Так как функция [pic]) представляется быстро сходящимися рядами, то формулы (74) и (75) можно с успехом использовать для приближенного решения соответствующих граничных задач. Следствие 3. Если в формулах (70) и (71) [pic] - задана нормальная (касательная) производная, то мы получим две интегральные формулы Дини- Шварца для соответствующих областей, т.е. получим непосредственное обобщение интеграла Дини, дающее решение граничной задачи Неймана для заданных рассмотренных областей. В случае единичного круга [pic] эта формула имеет вид[1, 9]: [pic], (84) где действительная функция [pic] при [pic], под [pic] понимается дифференцирование по направлению внутренней нормали, а с – произвольная постоянная. Формула (76) имеет место при условии, что [pic]. (85) Условие (77) – необходимое и достаточное условие дл разрешимости рассматриваемой граничной задачи и при его выполнении искомая однозначная аналитическая функция определяется с точностью до произвольного комплексного постоянного слагаемого. А из (76) следуют формулы Дини: [pic], [pic]. В случае кругового кольца [pic], имеем [pic], (87) где [pic], [pic] [pic], [pic]. Формула (80) – формула Дини-Шварца или интегральная формула Дини- Шварца для кругового кольца. Если в равенстве (79) отделить действительные и мнимые части, то мы получим непосредственное обобщение интегральной формулы Дини, дающее решение граничной задачи Неймана для кругового кольца: [pic], [pic], где [pic], [pic], [pic]. Формулу (81) можно назвать формулой Дини-Вилля для кругового кольца. Аналогично можно найти интегральные формулы Пуассона, Шварца-Дини для любых ([pic]) связных (конечных и бесконечных) областей, используя формулы (70) и (71). §6. Интегральная формула Чизотти-Пуассона-Дирихле для конечных трехсвязных областей. Формула Чизотти для многосвязных круговых областей дает выражение функции, реализующей конформное отображение области [pic] ограниченной окружностями [pic], ([pic], [pic]0, 1, 2 и [pic]) на многосвязную область [pic] плоскости [pic], ограниченную гладкими кривыми [pic] [pic]. Если в каждой точке [pic], где [pic], контура [pic] области [pic] плоскости [pic] известен угол наклона [pic] касательной к [pic], где [pic], [pic] - внешняя, [pic] - внутренние, [pic], [pic]. Построим функцию [pic] дающую конформное отображение области [pic] на [pic], где [pic]. тогда [pic] голоморфна в [pic] и действительная часть голоморфной функции [pic] равна [pic] на окружности [pic], т.е. [pic], [pic], (90) где [pic] - угол наклона касательной к [pic] в точках [pic] соответствующих при отображении функцией [pic]. Из существования отображающей функции следует, что функция [pic] в области [pic] согласно (82) можно представить по формуле Шварца для многосвязных областей. Функция [pic] регулярна и однозначна в области [pic] и ее действительная часть на [pic] принимает непрерывные значения [pic]. Тогда с помощью формулы Шварца, с учетом (82) функция [pic] принимает вид: [pic], (91) где [pic], [pic], [pic], [pic] - заданная плотность по граничному условию (81), [pic] - ядро, определяемое следующими формулами: [pic], где: [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. [pic]; [pic], где [pic] ядра, зависящие от натурального параметра. Определив [pic], мы сможем из (82) найти [pic]: [pic], (93) где А – произвольная постоянная, [pic] - определяется равенством (83). Отсюда интегрируя обе части (85) получим: [pic], (94) (86) – есть формула Чизотти для конечных трехсвязных областей. Итак, интегральная формула Чизотти для конечных трехсвязных областей имеет вид: [pic] где А и В – постоянные, определяемые из нормировки функций: [pic],[pic],[pic]>0. Если [pic], то [pic] и [pic] - две интегральные формулы Пуассона для заданных трехсвязных областей. Если [pic], то [pic] [pic], где [pic], [pic] (Шварц, 1869), [pic], [pic] (Вилля, 1921), (96) [pic], [pic] (Александров-Сорокин, 1972), Формулу (87) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для рассмотренных областей [pic], а формулы (88) – интегралами типа Шварца, а реальные и мнимые части от функции [pic] - интегральными формулами типа Пуассона. Аналогичные формулы мы получим и для неконцентрического кругового кольца, и для внешности [pic] и [pic] окружностей [4]. Рассмотренные выше формулы (86) – (88) – очень эффективны, когда [pic] - правильные многоугольники (формулы Кристоффеля-Шварца-Дирихле для рассмотренных областей). Замечание 1. Так как заданные функции [pic] - являются быстро сходящимися рядами (см. §3, формулы (37) – (48)), то все рассмотренные интегральные формулы можно с успехом использовать и для приближенного решения соответствующих граничных задач. Замечание 2. Так как решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для сопряженной однозначной гармонической функции, мы рассмотрели только задачу Дирихле. Замечание 3. Классические краевые задачи являются частными случаями задачи: Найти регулярное в области [pic] решения эллиптического уравнения [pic], (97) удовлетворяющие на границе [pic] условию [pic], (98) где [pic] - производная по некоторому направлению, а [pic] - заданные непрерывные на [pic] функции, причем [pic] всюду на [pic] и 1. при [pic], [pic] - задача Дирихле; 2. при [pic], [pic] - задача с косой производной, которая переходит в задачу Неймана, если направление [pic] совпадет с направлением по нормали. Литература. 1. М.А.Лаврентьев, В.В.Шабат. "Методы теории функции комплексного переменного". М. 1965. 2. Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для кругового кольца". Труды ВЦАН Груз. ССР 1973. т.XII вып.I, стр.218-222. 3. Д.А.Квеселава, Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для многосвязных круговых областей". ВЦАН Груз. ССР 1977. т.XVI, вып.I, стр.256-260. 4. Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для (n+1) – связных бесконечных областей". Труды ВЦАН Груз. ССР 1980. т.XX вып.I, стр.219-224. 5. И.А.Александров, А.С.Сорокин. "Задача Шварца для многосвязных областей". СМЖ. 1972. т.XIII. 5., стр.970-1001. 6. А.В.Бицадзе. "Основы ТАФКП". М. 1984. 7. Н.И.Ахиезер. "Элементы теории эллиптических функций". М. 1970, стр.9-34; 179-190; 224-229. 8. В.И.Смирнов. "Курс высшей математики". т.3 часть вторая, изд. 6. М. 1956, стр.182-184. 9. Л.В.Канторович, Крылов. "Приближенные методы высшего анализа". М.-Л., 1962, стр.584-645. 10. Ф.Д.Гахов. "Краевые задачи". М. 1977. изд. 3. 11. И.И.Привалов. "Граничные свойства аналитических функций". М.-Л. 1950. 12. Математическая энциклопедия. т.1-5. 1977-85. 13. В.А.Змарович. "О структурных формулах теории специальных классов АФ". Известия Киевского политехнического института. т.15, стр.126-148. 14. Х.Т.Тлехугов. "О применении формулы Чизотти к приближенному отображению с особой нормировкой". Сообщения АН Груз. ССР, 1981. т.101. 1., стр.21- 24. 15. Х.Т.Тлехугов. "О приближенном конформном отображении методом растяжения". Известия АН Азер. ССР, 1977. 5., стр.37-40. 16. Х.Т.Тлехугов. "Применение формулы Чизотти к приближенному отображению". Сообщения АН Груз. ССР, 1974. т.73. 3., стр538-540. 17. Н.И.Мусхелишвили, Д.З.Авазошвили. "Сингулярные и интегральные уравнения". М. 1956. 18. С.Г.Михлин. "Интегральные уравнения". ОГИЗ. М.-Л. 1947. 19. Бейтмен и Эрдейн. "Высшие трансцендентные функции". М. 1967. стр.294. 20. Градштейн, Рыжик. "Таблицы интегралов и произведений". М. 1962. стр.931- 935. 21. М.Абрамович, И.Стиган. "Справочник по специальным функциям". М. "Наука", 1979. стр.442-445. 22. Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. "Специальные функции". М. 1968. стр.120-143. 23. Д.А.Квеселова, Х.Т.Тлехугов. "Формула Дини-Шварца для кругового кольца". Труды ВЦ. АН Груз. ССР, т.12. вып.1, 1973, стр.214-219. 24. Н.И.Мусхелишвили. "Сингулярные интегральные уравнения". М. 1962. стр.245-269. ----------------------- [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] (40) (47) (53) [pic] (54) (55) (56) (59) (71) [pic] [pic] [pic] (86) (88) [pic] (89) [pic] (92) (95) [pic]