Материалы сайта
Это интересно
Лекции по Математическому анализу
Интегрирование с помощью подстановки. Пусть подынтегральная ф-ия в интеграле непрерывна на Х и ф-ия [pic] дифф. на промежутке Т и имеет на нем обратную ф-ию [pic] с [pic]на промежутке Х , тогда справедливо: [pic] Алгоритм интегрирования подстановкой. 1. Для интеграла подынтегральная ф-ия [pic]такая, что [pic] является табличным или сводится к нему так, что легко находится [pic]. 2. Нах. обратную ф-ию [pic] и подставляем в [pic], которая и будет первообразной для исходного интеграла. Алгоритм: 1. Часть подынтегрального выражения вводится под знак дифференциала и полученное выражение под знаком дифференциала обозначается как новая переменная. 2. В подынтегральной ф-ии делается замена переменной на новую, находится [pic] от новой переменной. 3. В [pic] возвращ. к старой переменной. Интегрирование по частям. Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим: [pic] [pic] Пример: [pic] Рекомендации: В интегралах с подынтегральным выражением вида: [pic] (Pn –многочлен степени n ) Pn принимается за u В интегралах с подынтегральным выражением вида: [pic] за u ( [pic] Интегрирование с подстановкой выражений вида [pic] после двукратного интегрирования по частям приводится к линейному уравнению относительно вычисляемого интеграла. Интегрирование дробно-рациональных выражений Df Дробно-рациональная ф-ия [pic]- отношение 2х многочленов [pic]- многочлены степени n и m соответственно. Рациональная дробь правильная, если степень числителя строго меньше степени знаменателя, обратно - неправильная. Zm Неправильная рациональная дробь путем выделения целой части приводится к сумме многочлена и правильной рациональной дроби; многочлен называется целой частью неправильной дроби. Простейшие (элементарные) рациональные дроби и их применение. К простым рациональным дробям относятся рациональные дроби типов: [pic]- вещественные постоянные 2.[pic]- вещественные постоянные, [pic] 3. [pic] 4. [pic] Интегрирование 1го типа: [pic] Интегрирование 2го типа: [pic] Интегрирование 3го типа: проводится в два этапа: 1. В числителе выделяется дифференциал знаменателя: [pic] [pic] 2. Выделение полного квадрата в знаменателе второго интеграла. [pic] [pic] [pic] Интегрирование 4го типа: [pic] 1. Выделяем в числителе *** знаменателя: [pic] Выделяем в знаменателе 2го интеграла ф-лы квадрата: [pic] Рекуррентная формула для вычисления Jm (вычисление происходит путем подстановки в известную форму) [pic] [pic] Разложение рациональной дроби на простейшие. В курсе алгебры доказываются утверждения