Материалы сайта
Это интересно
Лекции по Математическому анализу
Интегрирование с помощью подстановки. Пусть подынтегральная ф-ия в интеграле непрерывна на Х и ф-ия [pic] дифф. на промежутке Т и имеет на нем обратную ф-ию [pic] с [pic]на промежутке Х , тогда справедливо: [pic] Алгоритм интегрирования подстановкой. 1. Для интеграла подынтегральная ф-ия [pic]такая, что [pic] является табличным или сводится к нему так, что легко находится [pic]. 2. Нах. обратную ф-ию [pic] и подставляем в [pic], которая и будет первообразной для исходного интеграла. Алгоритм: 1. Часть подынтегрального выражения вводится под знак дифференциала и полученное выражение под знаком дифференциала обозначается как новая переменная. 2. В подынтегральной ф-ии делается замена переменной на новую, находится [pic] от новой переменной. 3. В [pic] возвращ. к старой переменной. Интегрирование по частям. Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим: [pic] [pic] Пример: [pic] Рекомендации: В интегралах с подынтегральным выражением вида: [pic] (Pn –многочлен степени n ) Pn принимается за u В интегралах с подынтегральным выражением вида: [pic] за u ( [pic] Интегрирование с подстановкой выражений вида [pic] после двукратного интегрирования по частям приводится к линейному уравнению относительно вычисляемого интеграла. Интегрирование дробно-рациональных выражений Df Дробно-рациональная ф-ия [pic]- отношение 2х многочленов [pic]- многочлены степени n и m соответственно. Рациональная дробь правильная, если степень числителя строго меньше степени знаменателя, обратно - неправильная. Zm Неправильная рациональная дробь путем выделения целой части приводится к сумме многочлена и правильной рациональной дроби; многочлен называется целой частью неправильной дроби. Простейшие (элементарные) рациональные дроби и их применение. К простым рациональным дробям относятся рациональные дроби типов: [pic]- вещественные постоянные 2.[pic]- вещественные постоянные, [pic] 3. [pic] 4. [pic] Интегрирование 1го типа: [pic] Интегрирование 2го типа: [pic] Интегрирование 3го типа: проводится в два этапа: 1. В числителе выделяется дифференциал знаменателя: [pic] [pic] 2. Выделение полного квадрата в знаменателе второго интеграла. [pic] [pic] [pic] Интегрирование 4го типа: [pic] 1. Выделяем в числителе *** знаменателя: [pic] Выделяем в знаменателе 2го интеграла ф-лы квадрата: [pic] Рекуррентная формула для вычисления Jm (вычисление происходит путем подстановки в известную форму) [pic] [pic] Метод неопределенных коэффициентов. 1. Разложим знаменатель на множители: [pic] 2. Правильная дробь разлагается в сумму простейших и каждому множителю вида [pic]соотв. сумма из n простейших дробей вида: [pic] с неопределенным коэф. A1 …n Каждому множителю вида[pic] соот. сумма из m простейших дробей вида:[pic] с неопределенным коэф.B1 C1… 3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф., основанном на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у них равные коэффициенты при одинаковых степенях. 4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения. Определенный интеграл Задача, приводящая к понятию определенного интеграла. Вычисление площади криволинейной трапеции: Df. Криволинейная трапеция – фигура на площади, ограниченной линиями с уравнениями [pic] 1. Отрезок [pic]разобьем на n частей: [pic] ********* Длина каждого отрезка[pic] 2. Т.к. [pic]- непрерывна на [pic], то она непрерывна на каждом частичном отрезке, принад. **** 3. Впишем в трапецию мн-к, состоящий из пр-в с основаниями, совпадающими с частичными отрезками и высотой mi Суммируем площади пр-в – получаем площадь трапеции. [pic] Меняя n , получаем числовую последовательность площадей, вписанных в многоугольник. [pic]********** 4. Опишем около трапеции многоугольник ********************************** Необходимое условие существование определенного интеграла. Df. Пусть существует интеграл [pic] подынтегральная ф-ия [pic]ограничена на [pic] Доказательство: Пусть [pic]- неограниченна на [pic], то при любом разбиении этого отрезка она неограниченна на каком-то из частичных отрезков ( ***[pic]на частичном отрезке, мы можем сделать значение ф-ии в т. [pic] сколь угодно большим по модулю ( интегральная сумма, соотв. этому прозв. разб. будет неограниченна ( не имеет предела ( противоречит условию (ф-ия [pic] ограничена на [pic] Некоторые классы интегральных ф-ий. Df. Любая ф-ия, для которой существует определенный интеграл на [pic], интегрируема на этом промежутке. Множество таких ф-ий обозначают [pic] К интегрируемым на [pic] ф-иям относятся: 1. Ф-ии, непрерывные на [pic] 2. Монотонные на [pic] 3. Имеющие на отрезке конечное или счетное мн-во точек разрыва 1-го рода. Свойства определенного интеграла. Df. Промежуток с гранич. т. A и B ориентированным, если указано направление перехода от т. A к т. B. 1. Пусть сущ. определенный интеграл [pic] сущ. определенный интеграл[pic] и справедливо равенство [pic] 2. [pic] Док-во: [pic] [pic] 3. Свойство линейности определенного интеграла: 1. Пустьф-ии[pic]интегрируемы на [pic]*** [pic] 2. Пусть [pic], то для любой произвольной постоянной [pic] [pic] - справедлива формула [pic] 4. Аддитивность определенного интеграла: Пусть ф-ия [pic] интегрируема на большем их трех помежутков [pic], тогда она интегрируема на обоих меньших промежутках и справедлива формула: [pic] Свойство монотонности. 1. Пусть ф-ия [pic] неотрицательна на [pic] и интегрируема на нем, [pic] Док-во: В силу н-ва для ф-ий любая интегрируема ф-ия неотрицательна ( любая последовательность интегрируемых сумм будет иметь неотрицательный предел ( интеграл будет неотрицательным. [pic] [pic] 2. Пусть ф-ия [pic] на [pic], искл. конечн. точек, и интегрируема на [pic], тогда [pic] Док-во: Из интегрируемости следует, что предел не зависит от выбора разбиения на [pic]. Достаточно строить инт. разбиения так, чтобы точки, в которых ф-ия равна нулю, являлись точками разбиения. А следовательно в силу аддитивности интеграл по всему прмежутку равен сумме интегралов по частичным промежуткам, т.к **** [pic] Df Две ф-ии [pic], заданные на [pic], значения которых различны на [pic] лишь в конечном ч. точек называются эквивалентными на этом отрезке. 3. Инт. от эквивалентных ф-ий совп. Пусть [pic]эквивалентны и интегрируемы на [pic], тогда [pic] (они не совпадают а интегралы совпадают). Д-во: [pic] на [pic] лишь в конеч. ч. точек отр. [pic], следовательно по 2му [pic] [pic] 4. Пусть [pic] на [pic], кроме конечного ч. точек, [pic] инт. на [pic], [pic], то [pic] 5. Пусть [pic] инт-ма на [pic] ( модуль ф-ии тоже интегрируем на [pic] и справедливо неравенство: [pic] 6. Пусть [pic] интегрируема на [pic], [pic], то существует М, такая что [pic] Интеграл как ф-ия переменного верх. предела. Пусть ф-ия [pic] инт. на [pic], [pic], то она инт. на любом отрезке между [pic] Рассмотрим определенный интеграл [pic]. Из определения опр. интеграла следует,что любому х соот. единст. значние этого интеграла. Определенный интеграл с перемнного верх. предела – есть ф-ия своего предела [pic]