Материалы сайта
Это интересно
Лекции по Математическому анализу
Переход к пределу в неравенстве Теорема: Пусть f(х) и ((х) имеют конечные пределы в т. y=a, тогда справедливо: 1. [pic] 2. [pic] 3. [pic] 4. [pic] Доказательство: 1. Пусть [pic], тогда по общему свойству №6 [pic], а это противоречит 1 Замечание: 1. Из утверждения №3 следует, что предел неотрицательной ф-ии является неотрицательным. 2. При пределов к противоположным можно обе части умножать на (-1). Теорема 2(о двух миллиционерах ) Пусть в некоторой области Д выполняется система неравенств [pic] и а – предел точки. Пусть существуют равные пределы [pic], тогда существует [pic]. Доказательство: [pic] [pic] Первый замечательный предел [pic] Доказательство: докажем для [pic]справедливость неравенства [pic] В силу четности входящих в неравенство ф-ий, докажем это неравенство на промежутке[pic] Из рисунка видно, что площадь кругового сектора [pic] [pic], так как х>0, то [pic], 2. следовательно, что [pic] [pic] [pic] 3. Покажем, что [pic] [pic] [pic] 4. Докажем, что [pic] [pic] 5. Последнее утверждение: [pic] Второй замечательный предел Понятие касательной к прямой. Прямая, проходящая через две точки кривой – секущая. Предельное положение секущей, которое она занимает при стремлении т. М к т. М0 называется касательной к кривой в т. М0 Бесконечные пределы ф-ии. Если в общем определении предела через окрестности положить в качестве А бесконечно удаленную точку, то получим определение бесконечного предела. Так как различают три вида бесконечно удаленных точек, то существуют три определения: 1. [pic] 2. [pic] 3. [pic] Понятие непрерывности ф-ии. Непрерывность – такое свойство ф-ии, как отсутствие точек разрыва у графиков этой ф-ии. Т.е. строится единственной непрерывной линией. График непрерывной ф-ии ; График ф-ии, разрывной в т. С; 1.Ф-ия [pic] называется непрерывной в точке х0 , если предел [pic]в данной точке совпадает со значением ф-ии в этой же точке [pic] 2. 3. Разность [pic]-приращение аргумента в точке х0 4. Разность [pic]- приращение ф-ии в точке х0 вызывает приращение аргумента [pic] 5. Ф-ия [pic] называется непрерывной в точке х0 , если бесконечно малому аргументу соответствует бесконечно малое значение ф-ии в точке х0 . Общие свойства ф-ии, непрерывной в точке. Представим ф-ию с помощью бесконечно малых 1. [pic] 2.Пусть ф-ия [pic] непрерывна в точке х0 и ее значение в этой точке отлично от нуля, то существует целая окрестность х0 , в которой ф-ия не равна нулю и сохраняет знак f(x0) [pic] sign(х)(сигнум) [pic] Доказательство: а) [pic] б) [pic] Из а) и б) следует: [pic] ----------------------- [pic] [pic] [pic] [pic]