Материалы сайта
Это интересно
Лекции по Линейной алгебре
Абстрактная теория групп (продолжение) 6. Реализация абстрактной группы как группы преобразований. Существует несколько способов связать с данной абстрактной группой некоторую группу преобразований. В дальнейшем, если не оговорено противное, знак алгебраической операции в абстрактной группе будет опускаться. Пусть [pic] некоторая подгруппа. А) Для каждого [pic] определим отображение [pic](левый сдвиг на элемент h) формулой [pic]. Теорема 1 1. [pic] 2. Множество L(H,G)= [pic]является группой преобразований множества G. 3. Соответствие: [pic] является изоморфизмом групп H и L(H,G). Доказательство. 1. Надо проверить, что отображение [pic] взаимно однозначно для всякого [pic]. Если [pic], то [pic] по закону сокращения. Значит [pic] инъективно. Если [pic]любой элемент, то [pic] и [pic] так что [pic] к тому же и сюръективно. 2. Обозначим через ( операцию композиции в группе Sym(G) взаимно однозначных отображений [pic]. Надо проверить, что [pic] и [pic]. Пусть [pic] любой элемент. Имеем: [pic][pic][pic][pic][pic]; [pic] и значит, [pic]. 3. Пусть [pic]. Надо проверить, что l взаимно однозначно и сохраняет операцию. По построению l сюръективно. Инъективность вытекает из закона правого сокращения: [pic]. Сохранение операции фактически уже было установлено выше: [pic] [pic]. Следствие. Любая абстрактная группа изоморфна группе преобразований некоторого множества (Достаточно взять G=H и рассмотреть левые сдвиги). Для случая конечных групп получается теорема Кэли: Любая группа из n элементов изоморфна подгруппе группы [pic]подстановок степени n. B) Для каждого [pic] определим отображение [pic](правый сдвиг на элемент h) формулой [pic]. Теорема B. 1. [pic]. 2. Множество [pic] является группой преобразований множества G. 3. Соответствие [pic]является изоморфизмом групп H и R(H,G). Доказательство теоремы B вполне аналогично доказательству теоремы A. Отметим только, что [pic]. Именно поэтому в пункте 3 теоремы В появляется не [pic], а [pic]. С) Для каждого [pic] определим [pic](сопряжение или трансформация элементом h ) формулой [pic]. Теорема С. 1. Каждое отображение [pic] является изоморфизмом группы G с собой (автоморфизмом группы G). 2. Множество [pic] является группой преобразований множества G. 3. Отображение [pic] сюръективно и сохраняет операцию. Доказательство. 1. Поскольку [pic], отображение [pic] взаимно однозначно как композиция двух отображений такого типа. Имеем: [pic] и потому [pic] сохраняет операцию. 2. Надо проверить, что [pic] и [pic]. Оба равенства проверяются без труда. 3. Сюръективность отображения [pic] имеет место по определению. Сохранение операции уже было проверено в пункте 2. Замечание об инъективности отображения (. В общем случае отображение ( не является инъективным. Например, если группа H коммутативна, все преобразования [pic] будут тождественными и группа [pic]тривиальна. Равенство [pic]означает, что [pic] или [pic] (1) В связи с этим удобно ввести следующее определение: множество [pic] называется централизатором подгруппы [pic]. Легко проверить, что централизатор является подгруппой H. Равенство (1) означает, что [pic]. Отсюда вытекает, что если централизатор подгруппы H в G тривиален, отображение ( является изоморфизмом. 7. Смежные классы; классы сопряженных элементов. Пусть, как и выше, [pic] некоторая подгруппа. Реализуем H как группу L(H,G) левых сдвигов на группе G. Орбита [pic] называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично, рассматривая правые сдвиги, приходим к правым смежным классам [pic].Заметим, что [pic] стабилизатор St(g, L(H,G)) (как и St(g, R(H,G)) ) тривиален поскольку состоит из таких элементов [pic], что hg=g[pic]. Поэтому, если группа H конечна, то все левые и все правые смежные классы состоят из одинакового числа элементов, равного [pic]. Орбиты группы [pic] называются классами сопряженных элементов группы G относительно подгруппы H и обозначаются [pic] Если G=H, говорят просто о классах сопряженных элементов группы G. Классы сопряженных элементов могут состоять из разного числа элементов . Это число равно [pic], где Z(H,g) подгруппа H , состоящая из всех элементов h перестановочных с g. Пример. Пусть [pic]- группа подстановок степени 3. Занумеруем ее элементы: [pic]=(1,2,3); [pic]=(1,3,2); [pic]=(2,1,3); [pic]=(2,3,1); [pic]=(3,1,2); [pic]=(3,2,1). Пусть [pic]. Легко проверить, что левые смежные классы суть: [pic], [pic], [pic]. Правые смежные классы: [pic], [pic], [pic]. Все эти классы состоят из 2 элементов. Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H: [pic], [pic], [pic], [pic]. В то же время, [pic], [pic], [pic]. Теорема Лагранжа. Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G. Доказательство. По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов: [pic]. Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов, [pic], откуда и вытекает теорема. Замечание. Число s левых (или правых) смежных классов называется индексом подгруппы [pic]. Следствие. Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу. В самом деле, если [pic] эти подгруппы, то [pic] их общая подгруппа и по теореме Лагранжа [pic] - общий делитель порядков H и K то есть 1. 8. Нормальные подгруппы. Факторгруппы. Пусть [pic] любая подгруппа и [pic]-любой элемент. Тогда [pic]также является подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения [pic] является изоморфизмом. Подгруппа [pic] называется сопряженной по отношению к подгруппе H. Определение. Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой: [pic]. Равенство [pic]можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают. Примеры. В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение сопряжения в такой группе тождественно. В любой группе G нормальными будут , во первых, тривиальная подгруппа [pic] и, во вторых, вся группа G. Если других нормальных подгрупп нет, то G называется простой. 1. В рассмотренной выше группе [pic] подгруппа [pic]не является нормальной так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H будут подгруппы [pic] и [pic]. 2. Если [pic]- любая подгруппа, то ее централизатор Z = Z(H,G) - нормальная подгруппа в G , так как для всех ее элементов z [pic]. В частности, центр Z(G) любой группы G -нормальная подгруппа. 3. Подгруппа H индекса 2 нормальна. В самом деле, имеем 2 смежных класса : H и Hg = G-H = gH. Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе). Если подгруппа H нормальна в G, то множество всевозможных произведений элементов из двух каких либо смежных классов по этой подгруппе снова будет одним из смежных классов, то есть [pic]. Доказательство. Очевидно, что для любой подгруппы H [pic].Но тогда [pic]= [pic]= [pic]= [pic]. 1. Таким образом, в случае нормальной подгруппы H определена алгебраическая операция на множестве смежных классов. Эта операция ассоциативна поскольку происходит из ассоциативного умножения в группе G. Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс [pic]. Поскольку [pic], всякий смежный класс имеет обратный. Все это означает, что относительно этой операции множество всех (левых или правых) смежных классов по нормальной подгруппе является группой. Она называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Ее порядок равен индексу подгруппы H в G.